關(guān)注數(shù)學(xué)理解，促進(jìn)有效學(xué)習(xí)

張偉

【摘要】判斷學(xué)習(xí)者是否有效達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)的重要標(biāo)志之一，就是學(xué)生是否獲得了數(shù)學(xué)理解。本文嘗試闡述對數(shù)學(xué)理解的認(rèn)識，并給出達(dá)成數(shù)學(xué)理解的教學(xué)實(shí)施建議：重設(shè)計(jì)，結(jié)合問題情境促進(jìn)學(xué)生理解；重引導(dǎo)，結(jié)合數(shù)學(xué)活動加深學(xué)生理解；重建構(gòu)，結(jié)合知識連接提升學(xué)生理解；重感悟，結(jié)合回顧反思內(nèi)化學(xué)生理解。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解 有效學(xué)習(xí)

學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解意味著什么？

孔凡哲教授認(rèn)為：“學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)理解，就意味著這名學(xué)生能夠用自己的故事表達(dá)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，對其中本質(zhì)內(nèi)涵的反映準(zhǔn)確無誤?！闭J(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)則認(rèn)為：“獲得數(shù)學(xué)理解意味著數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵已經(jīng)融化在學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，并形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)觀念?！?/p>

一般來說，理解就是指學(xué)習(xí)者運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗(yàn)去認(rèn)識未知事物的屬性、聯(lián)系和關(guān)系，逐步認(rèn)識新事物的本質(zhì)和規(guī)律的思維活動。由于數(shù)學(xué)本身具有抽象性與概括性，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知時(shí)，往往是先認(rèn)識研究對象的外部特征，構(gòu)建相應(yīng)的心理表象，然后結(jié)合新舊知識間的聯(lián)系，經(jīng)過動態(tài)的探究與體驗(yàn)，逐步認(rèn)識抽象的數(shù)學(xué)概念，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征及規(guī)律，從而達(dá)到掌握并應(yīng)用新知的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

所以，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)理解的實(shí)質(zhì)是在感知的基礎(chǔ)上，通過思維加工，使新的數(shù)學(xué)知識與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有知識發(fā)生相互作用，并將新知識和原有知識融為一體，內(nèi)化為學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)切實(shí)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，采取多種措施深化數(shù)學(xué)理解，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

一、重設(shè)計(jì)，結(jié)合問題情境促進(jìn)學(xué)生理解

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于思維的研究成果表明：“思維通常是由問題情境產(chǎn)生的，且以解決問題為目的?！币话銇碚f，創(chuàng)設(shè)問題情境就是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗(yàn)，將學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)成若干與學(xué)生生活接近，且具有一定的趣味性和挑戰(zhàn)性的問題。其實(shí)質(zhì)在于揭示事物的矛盾或引起主體內(nèi)心的沖突，從而喚起思維，激發(fā)學(xué)生積極思考，促進(jìn)學(xué)生獲得深層次理解。

如張齊華老師執(zhí)教《認(rèn)識整萬數(shù)》時(shí)，關(guān)于教學(xué)數(shù)位拓展這一環(huán)節(jié)（學(xué)生原來只認(rèn)識到個(gè)位、十位、百位、千位，本節(jié)課要認(rèn)識萬級中的四個(gè)數(shù)位），就是在老師不斷創(chuàng)設(shè)的問題情境中，學(xué)生接連遭遇認(rèn)知沖突，原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)平衡被不斷打破，最終在合作探究中，學(xué)生重構(gòu)知識系統(tǒng)的過程。

張教師先讓學(xué)生用三顆棋子放在每人一張紙印的計(jì)數(shù)器的不同位置，教師問：“都是三顆棋子，表示的數(shù)一樣大嗎？”從而引出數(shù)位、計(jì)數(shù)單位，這是學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)。緊接著教師讓學(xué)生撥一個(gè)3萬，學(xué)生困惑：計(jì)數(shù)器的最高位現(xiàn)在只有千位，怎么辦呢？學(xué)生紛紛說不行，這時(shí)有一個(gè)學(xué)生站起來說：“行?！痹谇簧戏派?0個(gè)珠子就是3萬。教師用課件演示：在千位上放30個(gè)珠子。在得到老師的肯定后，同學(xué)們紛紛投來贊許的目光。但教師結(jié)合課件又追問：“看看這么多的珠子，你們對他的做法有意見嗎？”一石激起千層浪，剛剛形成的統(tǒng)一意見被打破，學(xué)生再次陷入認(rèn)知沖突。生1：“計(jì)數(shù)器每個(gè)數(shù)位上只有10個(gè)珠子，沒有30個(gè)珠子?！鄙?：“計(jì)數(shù)器上沒有這么長的針，30個(gè)珠子疊加在一起會掉下來?！保ㄆ聊伙@示，確是如此）生3：“前面我們學(xué)過滿十進(jìn)一，何況現(xiàn)在已經(jīng)滿三十了?！甭犓麄冞@么一說，其他人（包括剛才提出在千位上放30個(gè)珠子的同學(xué)）也覺得有點(diǎn)不對勁。教師順?biāo)浦鄣貑枺骸澳悄懿荒軘[出一個(gè)符合規(guī)則的三萬？”學(xué)生提出不能，因?yàn)闆]有萬位。教師：“如果允許兩個(gè)人合作呢？”學(xué)生頓悟：同桌的兩個(gè)同學(xué)把兩張紙印的計(jì)數(shù)器拼接在一起（此處有效滲透了分級的概念）。學(xué)生紛紛在左邊計(jì)數(shù)器上擺上3個(gè)珠子。教師又問：“這是個(gè)位，并不是……”（學(xué)生第三次陷入沖突），有學(xué)生提出將“個(gè)”改成“萬”，其余依次改為“十萬、百萬、千萬”。教師追問怎么改最簡便（只要在原來的個(gè)、十、百、千后面分別加一個(gè)“萬”字）。此處向?qū)W生滲透了萬級和個(gè)級的一一對應(yīng)關(guān)系，同時(shí)為后面分級讀數(shù)做了鋪墊，學(xué)生對數(shù)位這一知識的拓展自然也就水到渠成了。

二、重引導(dǎo)，結(jié)合數(shù)學(xué)活動加深學(xué)生理解

理解的過程需要學(xué)生經(jīng)歷探究、操作、交流等一系列數(shù)學(xué)活動，對頭腦中的表象能進(jìn)行初步加工，并形成一定的認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上教師恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥與引導(dǎo)能促使學(xué)生對所研究的知識做出更全面的理解。

如教學(xué)六年級“圓柱的認(rèn)識及表面積”一課時(shí)，學(xué)生已有了生活中關(guān)于柱體的經(jīng)驗(yàn)，但是他們往往會把生活中的類似圓柱（如柱子、粉筆等實(shí)質(zhì)上是圓臺）和數(shù)學(xué)上的圓柱混為一談。這時(shí)就需要教師幫助引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)上的圓柱進(jìn)行全面而深刻的認(rèn)識，結(jié)合“指一指”“摸一摸”“比一比”“剪一剪”“算一算”等數(shù)學(xué)活動，充分認(rèn)識數(shù)學(xué)上的圓柱上下是兩個(gè)完全相同的圓，沿著高剪開后，側(cè)面是一個(gè)長方形，從而對圓柱特征形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到這些特征并能解決類似已知底面半徑和高求圓柱表面積（如圖1）時(shí)，說明學(xué)生對于圓柱表面積的認(rèn)識及計(jì)算算理的理解都達(dá)到了較好水平。在此基礎(chǔ)上若還能解決“選擇下列（1）～（8）中哪幾號材料可以制成圓柱體，共有多少種不同的選法”（如圖2，單位：厘米）這樣的問題，則說明學(xué)生已能對該部分知識靈活運(yùn)用，達(dá)到了高層次理解。

三、重建構(gòu)，結(jié)合知識連接提升學(xué)生理解

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往呈螺旋上升式，所學(xué)知識既與原有知識有關(guān)，也對后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響，其內(nèi)在有著較為緊密的結(jié)構(gòu)性。因此教師在組織教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系，注重打通知識間的連接，從而幫助學(xué)生重建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如，教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)，首先需要學(xué)生對以前學(xué)習(xí)過的同分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法熟練掌握。教師可以先復(fù)習(xí)幾組同分母分?jǐn)?shù)加減法的練習(xí)，再出示新授例題：，引導(dǎo)學(xué)生探究：“可以通過哪些方法算出結(jié)果？”“為何不能直接相加？”組織學(xué)生討論后匯報(bào)：①轉(zhuǎn)化成小數(shù)計(jì)算，②畫圖推導(dǎo)后計(jì)算，③通分后再計(jì)算。讓學(xué)生對這幾種方法進(jìn)行比較，找出方法間的共同點(diǎn)：都是將新知轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的方法加以解決（這里又蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化策略的滲透）。在呈現(xiàn)多種方法之后，師生可以通過比較討論得出最優(yōu)方法，即通分后再計(jì)算。從而使學(xué)生認(rèn)識到異分母分?jǐn)?shù)加減法與同分母分?jǐn)?shù)加減法間的本質(zhì)聯(lián)系——只有分?jǐn)?shù)單位相同時(shí)才能直接相加減。

教學(xué)到此時(shí)，學(xué)生對于“為什么只有分?jǐn)?shù)單位相同時(shí)才能直接相加減”這一結(jié)論可能還不能完全理解。教師可以將之前學(xué)過的“整數(shù)”“小數(shù)”“分?jǐn)?shù)”加減法計(jì)算法則集中呈現(xiàn)，讓學(xué)生理解“整數(shù)相加減需要相同數(shù)位對齊”“小數(shù)相加減需小數(shù)點(diǎn)對齊”“分?jǐn)?shù)加減法需要同分母后才能相加減”，這三者都體現(xiàn)了加減法運(yùn)算法則的本質(zhì)特征：“只有當(dāng)計(jì)數(shù)單位相同時(shí)才能相加減?！贝藭r(shí)新舊知識間的連接打通了，學(xué)生也就真正理解了。

四、重感悟，結(jié)合回顧反思內(nèi)化學(xué)生理解

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，學(xué)生出現(xiàn)理解上的困難，有時(shí)僅僅是因?yàn)椤八季S上邁不過一道坎兒”。教學(xué)過程中結(jié)合回顧與反思，如果學(xué)生突然頓悟了，自然也就理解了，教師需要做的就是增加讓學(xué)生體驗(yàn)感悟的機(jī)會。

在教學(xué)“長方體和正方體體積的統(tǒng)一公式”時(shí)，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察長方體和正方體的示意圖（如圖3），認(rèn)識了“底面積”概念及計(jì)算方法，再聯(lián)系前一節(jié)課所學(xué)的長方體和正方體體積公式（V長=abc，V正=a×a×a），探究“長

方體和正方體的體積還可以怎么算”。最終，學(xué)生交流匯報(bào)得出長方體、正方體體積=底面積×高（即V=Sh）。在學(xué)生探討“你能說說這個(gè)公式是怎么得到的嗎”時(shí)，多數(shù)學(xué)生能結(jié)合原有體積公式，理解這兒的S=ab，S=a×a，只不過原來的棱長c和棱長a統(tǒng)一稱之為“h”了。所以說，多數(shù)學(xué)生的理解是基于對原有體積公式的推理上。

此時(shí)若適當(dāng)回顧反思，不難發(fā)現(xiàn)長方體體積還可以是“側(cè)面積×長”或“正面積×寬”。這兩種計(jì)算方法與“底面積×高”的區(qū)別僅在于長方體不同的擺放位置，其共同實(shí)質(zhì)是：某一面面積與其相垂直棱長的乘積，都可以計(jì)算出長方體體積。學(xué)生在這一點(diǎn)上有頓悟，數(shù)學(xué)理解就到位了。