利用圖示法增強(qiáng)信號(hào)課程的教學(xué)效果

鄭丹玲　蔚承英　黃勝

[摘 要]信號(hào)與系統(tǒng)和數(shù)字信號(hào)處理課程是大學(xué)生認(rèn)為比較難的兩門課程，感覺課程抽象，不好理解，數(shù)學(xué)推導(dǎo)多，但是推導(dǎo)的結(jié)果有什么物理含義，直接從表達(dá)式中很難理解。圖示法就是以圖形的方式直觀的展現(xiàn)數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果的物理含義，其最為關(guān)鍵的一步是對(duì)仿真結(jié)果的分析，教師在講解時(shí)一定要將matlab仿真圖形與數(shù)學(xué)的推導(dǎo)結(jié)果相結(jié)合，說(shuō)明總結(jié)仿真圖形反映出的問題的實(shí)質(zhì)，讓學(xué)生通過仿真圖形理解數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果反映出來(lái)的物理含義。

[關(guān)鍵詞]圖示法；信號(hào)；頻譜分析；教學(xué)

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2017）07-0022-02

信號(hào)與系統(tǒng)和數(shù)字信號(hào)處理課程是通信類，電子類，控制類等專業(yè)非常重要的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，但是由于本課程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)相對(duì)比較多，有些還比較晦澀難以理解，甚至有些學(xué)生到本課程結(jié)束，都還不知道數(shù)字信號(hào)處理課程中各種變換到底是怎么回事。實(shí)際上要充分理解信號(hào)的各種變換，就是要理解信號(hào)的時(shí)域改變以后頻域會(huì)發(fā)生什么樣的變化，反之，信號(hào)的頻域發(fā)生改變，信號(hào)的時(shí)域波形又會(huì)怎樣變化，也就是信號(hào)的時(shí)域描述和信號(hào)的頻域描述之間的變換關(guān)系。

一、引入圖示法教學(xué)的必要性

圖示法就是以圖形的方式展現(xiàn)所要講解和闡述內(nèi)容的要旨，用圖形展現(xiàn)繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)所表達(dá)的結(jié)果，通過對(duì)人的感官刺激使課程內(nèi)容形象化。傅里葉變換是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，教材中有個(gè)N點(diǎn)矩序列的頻譜的例題，但它只以N=4為例畫了頻譜圖，在該圖中學(xué)生只能看出離散序列傅里葉變換的周期性，并不能理解到點(diǎn)數(shù)N的變化對(duì)頻譜的影響，而在窗函數(shù)設(shè)計(jì)法中，又用到了N的變化對(duì)頻譜的影響，并以文字的方式說(shuō)明了一下，學(xué)生感覺很抽象，無(wú)法理解N的變化對(duì)頻譜有什么影響。還有用DFT進(jìn)行頻譜分析時(shí)，最后用文字說(shuō)明柵欄效應(yīng)與頻率分辨率是兩個(gè)不同的概念，學(xué)生完全不能理解。

二、利用圖示法教學(xué)的三個(gè)案例

下面本人結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過三個(gè)組圖對(duì)上述兩個(gè)問題加以說(shuō)明。

組圖（一）左側(cè)圖形是門寬為4π、幅值為1的門函數(shù)及其以不同采樣頻率進(jìn)行采樣而得的離散矩形序列，右側(cè)圖形是它們的傅里葉變換對(duì)應(yīng)的幅頻特性圖（聲明：組圖（一）中的ω均為模擬角頻率，單位rad/s）。

組圖（一）要反映的是連續(xù)信號(hào)以不同的采樣周期進(jìn)行采樣，得到的各離散采樣信號(hào)所對(duì)應(yīng)頻譜發(fā)生了什么相應(yīng)改變。要想很好的利用組圖（一）將問題講透徹，本人建議采取這樣幾步進(jìn)行講解。

第一、應(yīng)該幫助學(xué)生復(fù)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)課程中講過的門函數(shù)的傅里葉變換和時(shí)域取樣定理。

第二、提示學(xué)生思考：對(duì)門寬為4π的門函數(shù)分別以取樣間隔T=π/2s、πp/4s、π/8s進(jìn)行取樣，得到的取樣信號(hào)將分別為8點(diǎn)、16點(diǎn)、32點(diǎn)矩形序列；由取樣定理可知這三個(gè)序列對(duì)應(yīng)的幅頻特性是門函數(shù)的幅頻特性分別以ω=4rad/s、8rad/s、16rad/s為周期進(jìn)行周期延拓而成的，理論分析完了，再觀察仿真圖形，與理論分析進(jìn)行結(jié)合；

第三、最后這一步最為關(guān)鍵，是圖解法的精要所在，往往常被忽視，就是對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行總結(jié)分析。組圖（一）的結(jié)論就是：采樣信號(hào)的幅頻特性是周期的。若選用頻率作橫軸，則周期為fs=1/T（單位Hz），其中T為時(shí)域的采樣周期（時(shí)域采樣間隔）；若選用模擬角頻率作橫軸，則周期為Ω=2π/T（單位rad/s）；若選用數(shù)字角頻率作橫軸，則周期為ω=ΩT=2π（單位rad）；在此將三個(gè)頻率軸以及它們之間的關(guān)系也捎帶將清楚了。

在幅頻特性的每個(gè)周期內(nèi)，主瓣和旁瓣個(gè)數(shù)之和等于矩形序列的點(diǎn)數(shù)N，并且以等間隔ω=2π/N振蕩衰減，幅值隨著N的增加而正比增加。此結(jié)論說(shuō)明了矩形序列的點(diǎn)數(shù)N對(duì)幅頻特性的影響。

若將模擬角頻率轉(zhuǎn)換為數(shù)字角頻率，則發(fā)現(xiàn)各系列的幅頻特性均以關(guān)于ω=π呈對(duì)稱關(guān)系。可借此強(qiáng)調(diào)一下數(shù)字系統(tǒng)中ω=0附近是低頻，ω=π附近是高頻。這些結(jié)論也是后面窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的理論基礎(chǔ)。

組圖（二）是用來(lái)說(shuō)明利用DFT進(jìn)行頻譜分析時(shí)，通過補(bǔ)零增大N可以改善柵欄效應(yīng)，但是并沒有提高頻譜的分辨率這一問題的。把門函數(shù)在[0，4π）區(qū)間進(jìn)行等間隔取樣，取樣間隔為π/2，這樣就得到了8點(diǎn)矩形序列，再將這8點(diǎn)矩形序列分別補(bǔ)零到N=16點(diǎn)、32點(diǎn)、64點(diǎn)和128點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)間距仍取π/2，然后再做N點(diǎn)DFT，觀察補(bǔ)零后各序列的幅頻特性的變化。

首先要學(xué)生清楚知道8點(diǎn)矩形序列的幅度頻譜。這個(gè)內(nèi)容組圖（一）中已有結(jié)論，在此要進(jìn)行復(fù)習(xí)，8點(diǎn)矩形序列的幅頻特性應(yīng)該是以2π為周期，關(guān)于ω=π呈現(xiàn)偶對(duì)稱，在一個(gè)周期內(nèi)，主瓣與旁瓣的個(gè)數(shù)之和等于8，極大值也等于8。

然后當(dāng)對(duì)8點(diǎn)矩形序列及其補(bǔ)零序列做N點(diǎn)DFT，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)此時(shí)的頻譜是離散的，這些離散信號(hào)構(gòu)成的包絡(luò)始終都是8點(diǎn)矩形序列一個(gè)周期內(nèi)的頻譜，只是密度不同罷了。

結(jié)論：如果我們研究的就是8點(diǎn)矩形序列的頻譜，也就是有限長(zhǎng)序列的頻譜，很顯然通過補(bǔ)零增大N，頻譜變得密集了，更加接近于8點(diǎn)矩形序列的幅度頻譜，顯然可以增大頻率分辨率，可以改善柵欄效應(yīng)。但如果我們研究的是連續(xù)信號(hào)門函數(shù)的頻譜，發(fā)現(xiàn)補(bǔ)零來(lái)增大N，并沒有使頻譜更接近門函數(shù)的頻譜，也就是頻率分辨率并沒有得到改善。又或者我們研究的是無(wú)限長(zhǎng)序列的頻譜，通過補(bǔ)零增加序列的長(zhǎng)度N，也是不能改善頻率分辨率的。這一點(diǎn)將通過組圖（三）進(jìn)一步說(shuō)明。

組圖（三）是單邊指數(shù)序列x（n）=（0.8）nu（n）截取不同長(zhǎng)度N后所得有限長(zhǎng)序列及其對(duì)應(yīng)的DFT的圖形。通過此圖反映對(duì)無(wú)限長(zhǎng)序列截取不同長(zhǎng)度N對(duì)頻譜分辨率的影響。

該圖的講解過程：首先討論單邊指數(shù)序列x（n）=（0.8）nu（n）的頻譜，可以采用零極圖定性繪制，也可用表達(dá)式推導(dǎo)幅頻特性，再繪制曲線，總之可以得到它是以2π為周期的連續(xù)譜，再與組圖（三）比較，注意組圖（三）中之畫出了一個(gè)周期的頻譜。

然后分別演示截取單邊指數(shù)的前11個(gè)點(diǎn)的DFT和截取單邊指數(shù)前41個(gè)點(diǎn)的DFT，最后讓學(xué)生觀察截取不同長(zhǎng)度N對(duì)頻譜的影響，哪一個(gè)更能反映單邊指數(shù)的頻譜，也就是那種頻譜分辨率高，結(jié)論：截取長(zhǎng)度N越大，幅頻特性曲線越接近于單邊指數(shù)序列的頻譜，所以截取長(zhǎng)度N越大頻譜分辨率越高。

在此老師也可以改變指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的參數(shù)值，讓學(xué)生觀察底數(shù)的變化對(duì)頻率特性的影響。底數(shù)的改變，實(shí)質(zhì)上就是極點(diǎn)的改變，此時(shí)頻率實(shí)特性發(fā)生的改變，也就是極點(diǎn)對(duì)頻率特性的影響。

三、結(jié)束語(yǔ)

圖示法的例子還有很多，在此不再一一列舉。圖示法以圖形直觀的反映出數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出的結(jié)論，但是要讓學(xué)生自己用剛剛聽過數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果與matlab仿真圖形相結(jié)合是有相當(dāng)難度的，加之有些學(xué)生對(duì)matlab可能也不熟悉，所以教師的引導(dǎo)與講解是非常必要的，也是圖示法教學(xué)最為重要的環(huán)節(jié)，直接影響教學(xué)效果好壞。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 陳后金，胡健，薛鍵.信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：清華大學(xué)出版社，北方交通大學(xué)出版社，2003.

[2] 楊小非.信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：北京科學(xué)出版社，2013.

[3] 陳懷琛.數(shù)字信號(hào)處理教程——MATLAB釋義與實(shí)現(xiàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2013.

[特約編輯：黃緊德]