概率論在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

熱孜亞·熱吉甫

【摘要】高等數(shù)學(xué)是難度較大的課程，尤其是數(shù)學(xué)課程中的計(jì)算問題及證明問題成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要阻礙，概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，實(shí)踐證明如果在數(shù)學(xué)應(yīng)用中合理地引入概率論不僅能夠提高數(shù)學(xué)解題效率，而且還能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.因此，本文結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，闡述概率論引入到高等數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用體現(xiàn)，以此進(jìn)一步完善概率論發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】概率論；高等數(shù)學(xué)；應(yīng)用；效率

高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)常會(huì)遇到比較難的計(jì)算問題，如果不能找到科學(xué)的計(jì)算方法，不僅影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且還會(huì)增加解題的步驟.概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)規(guī)律的知識(shí)，實(shí)踐證明在數(shù)學(xué)解題過程中合理地引入概率論可以將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生快速地解答，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.因此，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用中要巧妙地引用概率論以提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)的效率.

一、概率論的概述

概率論是研究隨機(jī)性和不確定性等現(xiàn)象的數(shù)學(xué)學(xué)科.概率論研究始于17世紀(jì)中期，是由瑞士數(shù)學(xué)家雅科比·伯努利在“伯努利大數(shù)定理”中提出的，并且隨著概率論的不斷發(fā)展，其應(yīng)用的領(lǐng)域也在不斷發(fā)展.概率論說(shuō)明了理論與實(shí)踐之間的密切關(guān)系，尤其是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)概率論已經(jīng)得到全面的應(yīng)用與發(fā)展，正如拉普拉斯所說(shuō)：“生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題.”在概率論中，概率分布是基礎(chǔ)性概念，利用概率分布的性質(zhì)可以進(jìn)行化簡(jiǎn).就是說(shuō)，使用大于0而小于1的數(shù)字對(duì)某些事件發(fā)生的概率進(jìn)行構(gòu)造，然后按照概率分布解決實(shí)際問題.

二、概率論在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

眾所周知，高等數(shù)學(xué)部分內(nèi)容的難度較大，如果采取傳統(tǒng)的解題思路進(jìn)行計(jì)算，不僅解題的步驟煩瑣，而且得到的結(jié)果在準(zhǔn)確性上也不高，甚至難度大的題目還會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，久而久之則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)失去興趣，將概率論引入到高等數(shù)學(xué)應(yīng)用中，對(duì)簡(jiǎn)化解題步驟、降低題目難度都具有積極的意義.結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，概率論在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用具體體現(xiàn)在：

（一）概率論在高等數(shù)學(xué)不等式中的應(yīng)用

概率論是研究偶然事件規(guī)律性的數(shù)學(xué)課程，通俗講就是事件發(fā)生可能性的大小，隨機(jī)事件就是在一定的條件下可能發(fā)生或者可能不發(fā)生事件.不等式是高等數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，也是學(xué)生普遍感覺學(xué)習(xí)困難的知識(shí)點(diǎn)，因此，將概率論應(yīng)用到不等式中，是因?yàn)椴坏仁脚c概率論存在某些相似性，例如，概率論的思想包含了對(duì)非等式問題的研究，都是對(duì)某些概率的規(guī)律總結(jié)與研究.下面通過以下例子進(jìn)行說(shuō)明.

例1求證：如果k=1，2，3，…，n；xk≥0，則x1x2x3…xn≤x1+x2+x3+…+xnn.

證明首先要建模，設(shè)隨機(jī)變量ξ分布是P（ξ=xb），b=1，2，3，…，在存在xb=0的情況下，x1x2x3…xn≤x1+x2+x3+…+xnn顯然是成立的，在全部的xb>0的情況下，定義函數(shù)f（a）=lna（a>0），那么f（a）=lna（a>0）就是上凸函數(shù)，則由f（E（ξ））≥Ef（ξ）：ln∏nb=1xb1n=1n∑nb=1lnxb=E（f（a））≤f（Ea）=ln（Ea）=ln1n∑nb=1xb.

兩邊分別取e作為底的指數(shù)，則可以得到

x1x2x3…xn≤x1+x2+x3+…+xnn.

（二）概率論在廣義積分中的應(yīng)用

概率論是解決廣義積分問題的主要手段，也是在廣義積分解題中應(yīng)用比較成熟的方法之一.另外，在高等數(shù)學(xué)中求解級(jí)數(shù)是難度較大的題目，因此，更應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)期望與方差知識(shí)的引入，進(jìn)而化簡(jiǎn)解題過程，得出結(jié)果.具體應(yīng)用如下所示：

例2∑a223a-1，解答時(shí)構(gòu)造服從于P=13幾何分布的隨機(jī)變量ξ，則P（ξ=a）=1323a-1；E（ξ）=3，D（ξ）=6.

顯然Eξ2=E（ξ）2+D（ξ）=15，并且

Eξ2=lim∞n=1a21323n-1=13lim∞n=1a223n-1=15.

最終得出∑n=1a223n-1的值為45.

其次，解答高等數(shù)學(xué)問題時(shí)可變形被積函數(shù)，將其轉(zhuǎn)變?yōu)檎龖B(tài)分布隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，再進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算，便能順利地解答出相關(guān)題目.

例如，求解：∫+∞-∞（4a2+5a+6）b-（a2+2a+3）da.

分析該題目可知原被積分函數(shù)中包含因式b-a2+2a+3），因此，可先對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)整理，配方后得出b-2b-（a+1）2.觀察可知其剛好屬于σ=12，μ=-1正態(tài)分布概率密度函數(shù)的組成部分，所以=hb24（-1）2+122+5（-1）+6=7hb2.

最終得出原積分的數(shù)值為7hb2.

最后，計(jì)算積分時(shí)可采用分部計(jì)算法，但是利用該種計(jì)算方法需要多次運(yùn)用分部積分法，同時(shí)還要進(jìn)行極限的計(jì)算，因此，計(jì)算過程十分煩瑣.為高效地解答出相關(guān)題目，可借助指數(shù)分布隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望解答相應(yīng)題目，以降低解題難度.

（三）利用概率模型求解高等數(shù)學(xué)問題

例如，計(jì)算∑nk=2Cknxkyn-k（x>0，y>0）這一題目時(shí)，需首先對(duì)其進(jìn)行分析.即依據(jù)不均勻規(guī)則將一枚硬幣共拋出n次，每次硬幣掉落在地面上時(shí)正面朝上的概率為P=xx+y，在上拋n次整個(gè)過程中出現(xiàn)正面次數(shù)用字母T表示，于是P={T=k}=CknPk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），由分布規(guī)律理論可知：

1=∑nk=0P{T=k}=∑nk=0CknPk（1-P）n-k

=∑nk=0Cknxx+ykyx+yn-k.

最后便可順利地得出該題目的計(jì)算結(jié)果：

∑nk=2Cknxkyn-k=（x+y）n-yn-nxyn-1.

三、結(jié)束語(yǔ)

很多高等數(shù)學(xué)題目難度較大，為降低解題難度，教學(xué)實(shí)踐中教師應(yīng)幫助學(xué)生正確理解概率論的相關(guān)概念，并積極地鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生使用概率論知識(shí)分析數(shù)學(xué)問題，尋找出簡(jiǎn)單的解題思路，進(jìn)而提高解題效率，保證計(jì)算結(jié)果的正確性，幫助學(xué)生樹立起解答數(shù)學(xué)問題的信心，逐步培養(yǎng)其學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情.

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