圈與路聯(lián)圖點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ-全染色和點(diǎn)可區(qū)別Ⅵ-全染色

苗 婷 婷,王 治 文,陳 祥 恩*

(1.西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070；2.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 寧夏 銀川 750021 )

圈與路聯(lián)圖點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ-全染色和點(diǎn)可區(qū)別Ⅵ-全染色

苗 婷 婷1,王 治 文2,陳 祥 恩*1

(1.西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070；2.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 寧夏 銀川 750021 )

一個(gè)圖G的Ⅰ-全染色是指若干種顏色對(duì)圖G的全體頂點(diǎn)及邊的一個(gè)分配使得任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)及任意兩條相鄰邊被分配到不同顏色．圖G的Ⅵ-全染色是指若干種顏色對(duì)圖G的全體頂點(diǎn)及邊的一個(gè)分配使得任意兩條相鄰邊被分配到不同顏色．對(duì)圖G的一個(gè)Ⅰ(Ⅵ)-全染色及圖G的任意一個(gè)頂點(diǎn)x，用C(x)表示頂點(diǎn)x的顏色及x的關(guān)聯(lián)邊的顏色構(gòu)成的集合(非多重集)．如果f是圖G的使用k種顏色的一個(gè)Ⅰ(Ⅵ)-全染色，并且?u，v∈V(G)，u≠v，有C(u)≠C(v)，則稱f為圖G的k-點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ(Ⅵ)-全染色，或k-VDITC(VDVITC)．圖G的點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ(Ⅵ)-全染色所需最少顏色數(shù)目，稱為圖G的點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ(Ⅵ)-全色數(shù)．利用組合分析法及構(gòu)造具體染色的方法，討論了圈與路的聯(lián)圖Cm∨Pn的點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ(Ⅵ)-全染色問題，確定了這類圖的點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ(Ⅵ)-全色數(shù)，同時(shí)說明了VDITC猜想和VDVITC猜想對(duì)于這類圖是成立的．

Ⅰ-全染色；點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ-全染色；點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ-全色數(shù)；圈與路的聯(lián)

0 引 言

點(diǎn)可區(qū)別正常邊染色、點(diǎn)可區(qū)別一般邊染色以及點(diǎn)可區(qū)別正常全染色分別在文獻(xiàn)[1-2]、[3-5]和[6-7]中被研究．文獻(xiàn)[8]討論了兩類點(diǎn)可區(qū)別的未必正常的全染色：點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ-全染色和點(diǎn)可區(qū)別Ⅵ-全染色．本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上討論圈與路的聯(lián)圖Cm∨Pn的點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ-全染色和點(diǎn)可區(qū)別Ⅵ-全染色問題，確定這類圖的點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ-全色數(shù)和點(diǎn)可區(qū)別Ⅵ-全色數(shù)，且證明VDITC猜想和VDVITC猜想對(duì)Cm∨Pn是成立的．

1 準(zhǔn)備工作

所謂圖G的全染色是指若干種顏色對(duì)于圖G的點(diǎn)及邊的一個(gè)分配．

對(duì)于圖G的一個(gè)全染色，如果任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)有不同顏色，并且任意兩條相鄰邊有不同顏色，那么稱它為圖G的Ⅰ-全染色．

對(duì)于圖G的一個(gè)全染色，如果任意兩條相鄰邊有不同顏色，那么稱它為圖G的Ⅵ-全染色．

χⅠvt(G),

χⅠvt(G)=min{k|G

如果f是圖G的使用顏色1，2，…，k的一個(gè)Ⅰ-全染色，并且?u，v∈V(G)，u≠v，有C(u)≠C(v)，則稱f為圖G的k-點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ-全染色，或k-VDITC．圖G的點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ-全染色所需最少顏色數(shù)目，稱為圖G的點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ-全色數(shù)，記為即有k-VDITC}．

χⅥvt(G),

χⅥvt(G)=min{k|G

如果f是圖G的使用顏色1，2，…，k的一個(gè)Ⅵ-全染色，并且?u，v∈V(G)，u≠v，有C(u)≠C(v)，則稱f為圖G的k-點(diǎn)可區(qū)別Ⅵ-全染色，或k-VDVITC．圖G的點(diǎn)可區(qū)別Ⅵ-全染色所需最少顏色數(shù)目，稱為圖G的點(diǎn)可區(qū)別Ⅵ-全色數(shù)，記為即有k-VDVITC}．

)χⅠvt(G)=ζ(G)

猜想1[8](VDITC猜想或ζ(G)+1．

)χⅥvt(G)=ζ(G)

猜想2[8](VDVITC猜想或ζ(G)+1．

引理1 對(duì)于任意圖G，如果存在兩個(gè)Δ(最大度)頂點(diǎn)，則

χⅠvt(G)≥Δ+1.

引理

2[8]χⅠvt(G)≥ζ(G).

命題

1ζ(G)≤χⅥvt(G)≤χⅠvt(G).

假設(shè)p∈Z，而q為正整數(shù)，用(p)q表示{1，2，…，q}中的模q同余于p的那個(gè)數(shù)，即(p)q∈{1，2，…，q}且(p)q≡p(modq)．

令V(Cm∨Pn)={u1，…，um，v1，…，vn}，E(Cm∨Pn)={u1u2，u2u3，…，um-1um，umu1，v1v2，v2v3，…，vn-1vn}∪{uivj|i=1，2，…，m；j=1，2，…，n}．

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)Cm∨Pn是圈Cm和路Pn的聯(lián)，m>n≥2，則

χⅠvt(Cm∨Pn)=m+2,n=2,3;m+3,n≥4.{

證明 當(dāng)n=2，m=3時(shí)，C3∨P2有5個(gè)m+1度的點(diǎn)，有5-VDITCf，其染色方式很容易得到．

,χⅠvt(Cm∨P2)≥m+2,

當(dāng)n=2，m≥4時(shí)，Cm∨P2有兩個(gè)m+1度的點(diǎn)，m個(gè)4度點(diǎn)，由引理1知只需給出Cm∨P2的一個(gè)(m+2)-點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ-全染色f．令

f(uivj)=i+j，f(uivj)∈{2，…,m+2}， 1≤i≤m，j=1，2；f(uiui+1)=i，i∈{2，…，m-1}；f(u1u2)=m+2，f(umu1)=1，f(v1v2)=1,f(v1)=1，f(v2)=3，f(u1)=2;f(ui)=i+2，i∈{2，…，m}

最終得到的上述全染色是Ⅰ-全染色，并且在此染色下有

C(v1)={1，2，3，…，m+1}，C(v2)={1，3，4，…，m+1，m+2}；C(ui)={i-1，i，i+1，i+2}，i∈{3，…，m-1}；C(u1)={1，2，3，m+2}，C(u2)={2，3，4，m+2}，C(um)={m-1，m+1，m+2，1}

可見m+2個(gè)點(diǎn)的色集合彼此互異，故上述Ⅰ-全染色是點(diǎn)可區(qū)別的．

當(dāng)n=3，m=4時(shí)，C4∨P3有1個(gè)m+2度的點(diǎn)，有6-VDITCf，當(dāng)n=3，m=5時(shí)，C5∨P3有1個(gè)m+2度的點(diǎn)，有7-VDITCf，它們的染色方式容易得到，文中不詳細(xì)寫出．

χⅠvt(Cm∨P3)≥Δ(Cm∨P3)=m+2.

f(uivj)=(i+j)m+2，f(uivj)∈{1，…，m+2}，1≤i≤m，j=1，2，3；f(uiui+1)=i，i∈{1，2，…，m-1}，f(umu1)=m，f(v1v2)=1，f(v2v3)=2；f(v1)=1，f(v2)=2，f(v3)=4，f(u1)=3，f(um)=m+1，f(ui)=i+3，i∈{2，…，m-1}

最終得到的上述全染色是Ⅰ-全染色，并且在此染色下有

C(v1)={1，2，3，…，m+1}，C(v2)={1，2，3，…，m+1，m+2}，C(v3)={1，2，4，5，…，m+1，m+2}；C(ui)={i-1，i，i+1，i+2，i+3}，i∈{2，…，m-1}，C(u1)={1，2，3，4，m}，C(um)={m-1，m，m+1，m+2，1}

可見m+3個(gè)點(diǎn)的色集合彼此互異，故上述Ⅰ-全染色是點(diǎn)可區(qū)別的．

當(dāng)n≥4時(shí)有以下兩種情形需要考慮．

情形1m≥n+2

χⅠvt(Cm∨Pn)≥ζ(Cm∨Pn)=m+3.

f(uivj)=(i+j)m+1，f(uivj)∈{1，2，…，m+1}，1≤i≤m，1≤j≤n；

f(vjvj+1)=m+2，j∈{1，2，…，n-1}，且j是奇數(shù)；f(vjvj+1)=m+3，j∈{1，2，…，n-1}，且j是偶數(shù)

f(uiui+1)=(i-1)m+1，i∈{1，2，…，m-1}；f(umu1)=m

f(ui)=i+1，f(ui)∈{2，…，m+1}，1≤i≤m

f(vj)=m+2，j∈{1，2，…，n}，且j是奇數(shù)；f(vj)=m+3，j∈{1，2，…，n}，且j是偶數(shù)

最終得到的上述全染色是Ⅰ-全染色，并且在此染色下有

C(ui)={i+1，(i+2)m+1，…，(i+n)m+1，i-1，(i-2)m+1}，i≠1，m；C(u1)={2，3，…，n+1，m+1，m}，C(um)={m+1，1，2，…，n-1，m-2，m}，C(vj)={j+1，(j+2)m+1，…，(j+m)m+1，m+2，m+3}，j≠1；C(v1)={2，3，…，m+1，m+2}

可見m+n個(gè)點(diǎn)的色集合彼此互異，故上述Ⅰ-全染色是點(diǎn)可區(qū)別的．

情形2m=n+1

χⅠvt(Cm∨Pn)≥ζ(Cm∨Pn)=m+3.

f(uivj)=(i+j)m+1，f(uivj)∈{1，2，…，m+1}，1≤i≤m，1≤j≤n；

f(uiui+1)=m+2，i∈{2，3，…，m-1}，且i是奇數(shù)；f(uiui+1)=m+3，i∈{2，3，…，m-1}，且i是偶數(shù)；當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，f(umu1)=m+3，f(u1u2)=m+2；當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，f(umu1)=m+2，f(u1u2)=1

f(vjvj+1)=m+2，j∈{1，2，…，n-1}，且j是奇數(shù)；f(vjvj+1)=m+3，j∈{1，2，…，n-1}，且j是偶數(shù)

f(ui)=i+1，f(ui)∈{2，…，m+1}，1≤i≤m

f(vj)=m+2，j∈{1，2，…，n}，且j是奇數(shù)；f(vj)=m+3，j∈{1，2，…，n}，且j是偶數(shù)

最終得到的上述全染色是Ⅰ-全染色，并且在此染色下有

C(ui)={i+1，(i+2)m+1，…，(i+n)m+1，m+2，m+3}，i≠1，2；當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，C(u1)={2，3，…，m，m+2，m+3}，C(u2)={3，4，…，m+1，m+2，m+3}；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，C(u1)={2，3，…，m，m+2，1}，C(u2)={3，4，…，m+1，m+3，1}；C(vj)={j+1，(j+2)m+1，…，(j+m)m+1，m+2，m+3}，j≠1；C(v1)={2，3，…，m+1，m+2}

可見m+n個(gè)點(diǎn)的色集合彼此互異，故上述Ⅰ-全染色是點(diǎn)可區(qū)別的．

定理2 設(shè)Cm∨Pn是圈Cm和路Pn的聯(lián)，n>m≥3，則

χⅠvt(Cm∨Pn)=n+3.

χⅠvt(Cm∨Pn)≥ζ(Cm∨Pn)=n+3.

情形1m≡0(mod 2)．令

f(uivj)=(i+j-1)n+1，f(uivj)∈{1，2，…，n+1}，1≤i≤m，1≤j≤n

f(vjvj+1)=n+2，j∈{1，2，…，n-1}，且j是奇數(shù)；f(vjvj+1)=n+3，j∈{1，2，…，n-1}，且j是偶數(shù)

f(uiui+1)=n+2，i∈{1，2，…，m-1}，且i是奇數(shù)；f(uiui+1)=n+3，i∈{1，2，…，m-1}，且i是偶數(shù)；f(umu1)=n+3

f(ui)=i，f(ui)∈{1，2，…，m}，1≤i≤m

f(vj)=n+2，j∈{1，2，…，n}，且j是奇數(shù)；f(vj)=n+3，j∈{1，2，…，n}，且j是偶數(shù)

最終得到的上述全染色是Ⅰ-全染色，并且在此染色下有

C(ui)={i，i+1，(i+2)n+1，…，(i+n-1)n+1，n+2，n+3}，1≤i≤m；C(vj)={j，j+1，(j+2)n+1，…，(j+m-1)n+1，n+2，n+3}，j≠1；C(v1)={1，2，3，…，m，n+2}

可見m+n個(gè)點(diǎn)的色集合彼此互異，故上述Ⅰ-全染色是點(diǎn)可區(qū)別的．

情形2m≡1(mod 2)．令

f(uivj)=(i+j-1)n+1，f(uivj)∈{1，2，…，n+1}，1≤i≤m-1，1≤j≤n；f(umvj)=(i+j+2)n+2，1≤j≤n

f(vjvj+1)=n+3，j∈{1，2，…，n-1}，且j是奇數(shù)；f(vjvj+1)=n+2，j∈{1，2，…，n-1}，且j是偶數(shù)

f(uiui+1)=n+2，i∈{1，2，…，m-1}，且i是奇數(shù)；f(uiui+1)=n+3，i∈{1，2，…，m-1}，且i是偶數(shù)；f(umu1)=n+1

f(ui)=i，f(ui)∈{1，2，…，m}，1≤i≤m

f(vj)=n+3，j∈{1，2，…，n}，且j是奇數(shù)；f(vj)=n+2，j∈{1，2，…，n}，且j是偶數(shù)

最終得到的上述全染色是Ⅰ-全染色，并且在此染色下有

C(ui)={i，i+1，(i+2)n+1，…，(i+n-1)n+1，n+2，n+3}，i≠1，m；C(u1)={1，2，…，n，n+1，n+2}，C(um)={1，2，…，n-1，n+1，n+2，n+3}；C(vj)={j，j+1，(j+2)n+1，…，(j+m-2)n+1，j-1，n+2，n+3}，j≠1；C(v1)={1，2，…，m-1，n+2，n+3}

可見m+n個(gè)點(diǎn)的色集合彼此互異，故上述Ⅰ-全染色是點(diǎn)可區(qū)別的．

因此，不管哪種情形所得到的染色f都是Cm∨Pn的一個(gè)VDITC．

定理3 設(shè)Cn∨Pn是路Cn和圈Pn的聯(lián)，n≥3，則

χⅠvt(Cn∨Pn)=n+3,n=3,4;n+4,n≥5.{

C3∨P3、C4∨P4的VDITC很容易得到，文中略去．

當(dāng)n=5時(shí)

,χⅠvt(C5∨P5)≥n+3=8.

χⅠvt(C5∨P5)≥9,

故且C5∨P5的一個(gè)9-VDITC很容易得到，文中不詳細(xì)給出．

當(dāng)n=6時(shí)

,χⅠvt(C6∨P6)≥n+3=9.

χⅠvt(C6∨P6)≥10.

故下面給出C6∨P6的一個(gè)10-VDITCf．令

f(uivj)=(i+j)10，f(uivj)∈{1，2，…，10}，1≤i≤6，1≤j≤6；f(u5v6)=3

f(uiui+1)=(i-1)10，i∈{1，2，…，5}，f(u6u1)=1；f(vjvj+1)=j，j∈{1，2，…，5}

點(diǎn)ui與vj染其關(guān)聯(lián)邊的顏色，其中ui染偶數(shù)色，vj染奇數(shù)色，并且相鄰點(diǎn)著不同色．特別地，f(v5)=1．

最終得到的上述全染色是Ⅰ-全染色，并且在此染色下有

C(ui)={(i-2)10，i-1，i+1，(i+2)10，…，(i+6)10}，i∈{2，…，5}；C(u1)={1，2，…，7，10}，C(u6)={1，2，3，4，7，8，9，10}，C(vj)={j-1，j，j+1，(j+2)10，…，(j+6)10}，j∈{2，3，4}；C(v1)={1，2，3，…，6，7}，C(v5)={1，3，4，…，10}，C(v6)={1，2，5，7，…，10}

可見12個(gè)點(diǎn)的色集合彼此互異，故上述Ⅰ-全染色是點(diǎn)可區(qū)別的．

χⅠvt(Cn∨Pn)≥ζ(Cn∨Pn)=n+4.

f(uivj)=(i+j-1)n+1，f(uivj)∈{1，2，…，n+1}，1≤i≤n，1≤j≤n

f(uiui+1)=n+2，i∈{1，2，…，n-1}，且i是奇數(shù)；f(uiui+1)=n+3，i∈{1，2，…，n-1}，且i是偶數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(unu1)=n+3；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f(unu1)=n+4

f(vjvj+1)=n+4，j∈{1，2，…，n-1}，且j是奇數(shù)；f(vjvj+1)=n+3，j∈{1，2，…，n-1}，且j是偶數(shù)

f(ui)=i，1≤i≤n；f(vj)=n+3，j∈{1，2，…，n}，且j是奇數(shù)；f(vj)=n+4，j∈{1，2，…，n}，且j是偶數(shù)

最終得到的上述全染色是Ⅰ-全染色，并且在此染色下有

C(ui)={i，i+1，(i+2)n+1，…，(i+n-1)n+1，n+2，n+3}，i≠1，n；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，C(u1)={1，2，3，…，n，n+2，n+3}，C(un)={n，n+1，1，…，n-2，n+2，n+3}；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，C(u1)={1，2，…，n，n+2，n+4}，C(un)={n，n+1，1，…，n-2，n+3，n+4}

C(vj)={j，j+1，(j+2)n+1，…，(j+n-1)n+1，n+4，n+3}，j≠n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，C(vn)={n，n+1，1，…，n-2，n+3}；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，C(vn)={n，n+1，1，…，n-2，n+4}

可見2n個(gè)點(diǎn)的色集合彼此互異，故上述Ⅰ-全染色是點(diǎn)可區(qū)別的．

定理4 若圖G是圈Cm與路Pn(m≥3，n≥2)的聯(lián)，則

χⅥvt(Cm∨Pn)=χⅠvt(Cm∨Pn).

由命題1知上述定理顯然成立．

3 結(jié) 語(yǔ)

,χⅥvt(Cn∨Pn)=χⅠvt(Cn∨Pn)=ζ(Cn∨Pn)+1,

χⅥvt(Cm∨Pn)=χⅠvt(Cm∨Pn)=ζ(Cm∨Pn).

點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ(Ⅵ)-全色數(shù)的確定和點(diǎn)可區(qū)別正常全色數(shù)的確定一樣，是困難的問題．目前缺少有效的方法和有力的工具，已得到的相關(guān)結(jié)論很少，并且其研究主要集中在具體圖上．通過本文的討論，可以看出VDITC猜想及VDVITC猜想對(duì)Cm∨Pn(m≥3，n≥2)是成立的：當(dāng)n=5，6時(shí)而對(duì)其他的Cm∨Pn有以后將繼續(xù)對(duì)圈和圈、圈和扇及圈和輪的聯(lián)圖的點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ(Ⅵ)-全色數(shù)進(jìn)行研究．

[1]BURRIS A C, SCHELP R H. Vertex-distinguish proper edge-colorings [J]. Journal of Graph Theory, 1997, 26(2):73-82.

[2]BAZGAN C, HARKAT-BENHAMDINE A, LI Hao,etal. On the vertex-distinguish proper edge-colorings of graphs [J]. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 1999, 75(2):288-301.

[3]HARARY F, PLANTHOLT M. The point-distinguishing chromatic index [M] //HARARY F, MAYBEE J S, Eds. Graphs and Application. New York:Wiley Interscience, 1985:147-162.

[5]CHEN Xiang′en. Point-distinguishing chromatic index of the union of paths [J]. Czechoslovak Mathematical Journal, 2014, 64(3):629-640.

[6]ZHANG Zhongfu, QIU Pengxiang, XU Baogen,etal. Vertex-distinguishing total colorings of graphs [J]. Ars Combinatoria, 2008, 87:33-45.

[7]CHEN Xiang′en, MA Yanrong. Vertex-distinguishing total colorings of 2Cn[J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 2013, 28(3):323-330.

[8]CHEN Xiang′en, LI Zepeng. Vertex-distinguishing Ⅰ-total colorings of graphs [J]. Utilitas Mathematica, 2014, 95:319-327.

Vertex-distinguishing Ⅰ-total colorings and vertex-distinguishing Ⅵ-total colorings of join-graph of cycle and path

MIAO Tingting1,WANG Zhiwen2,CHEN Xiang′en*1

(1.College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, China；2.School of Mathematics and Computer Sciences, Ningxia University, Yinchuan 750021, China )

Ⅰ-total coloring of a graphGis an assignment of several colors to the vertices and edges of graphGsuch that any two adjacent vertices

ifferent colors and any two adjacent edges receive different colors. Ⅵ-total coloring of a graphGis an assignment of several colors to the vertices and edges of graphGsuch that any two adjacent edges receive different colors. For Ⅰ(Ⅵ)-total coloring of graphGand a vertexxof graphG,C(x) is used to denote the set (not multiset) composed of color ofxand colors of the edges incident withx. Letfbe Ⅰ(Ⅵ)-total coloring of a graphGusingkcolors andC(u)≠C(v) for any two different verticesuandvof graphG, thenfis called ak-vertex-distinguishing Ⅰ(Ⅵ)-total coloring of graphG, ork-VDITC (VDVITC) of graphGfor short. The minimum number of colors required in a VDITC (VDVITC) is the vertex-distinguishing Ⅰ(Ⅵ)-total chromatic number. The problems of vertex-distinguishing Ⅰ(Ⅵ)-total colorings of the join-graphCm∨Pnof cycle and path are discussed by the method of combinatorial analysis and constructing concrete coloring. Meanwhile, vertex-distinguishing Ⅰ(Ⅵ)-total chromatic numbers of graphCm∨Pnare determined. The results illustrate that the VDITC conjecture and VDVITC conjecture are valid for graphCm∨Pn.

Ⅰ-total coloring; vertex-distinguishing Ⅰ-total coloring; vertex-distinguishing Ⅰ-total chromatic number; join of cycle and path

1000-8608(2017)04-0430-06

2016-06-25；

2017-06-02．

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61163037，61163054，11261046，61363060)；寧夏回族自治區(qū)百人計(jì)劃資助項(xiàng)目.

苗婷婷(1991-)，女，碩士生，E-mail:miaotingting6130@163.com；陳祥恩*(1965-)，男，教授，碩士生導(dǎo)師，E-mail:chenxe@nwnu.edu.cn.

O157.5

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10.7511/dllgxb201704015