基于最優(yōu)算法的網絡控制系統(tǒng)性能研究

李 志 慧，郭 戈，王 兵

(1.大連理工大學 控制科學與工程學院, 遼寧 大連 116024；2.大連海事大學 信息科學技術學院， 遼寧 大連 116026；3.國網吉林省電力有限公司檢修公司， 吉林 長春 130021 )

基于最優(yōu)算法的網絡控制系統(tǒng)性能研究

李 志 慧1，郭 戈*2，王 兵3

(1.大連理工大學 控制科學與工程學院, 遼寧 大連 116024；2.大連海事大學 信息科學技術學院， 遼寧 大連 116026；3.國網吉林省電力有限公司檢修公司， 吉林 長春 130021 )

針對時隙ALOHA隨機調度下的離散網絡控制系統(tǒng)，提出一種閉環(huán)系統(tǒng)特征矩陣譜條件數(shù)與極點配置相結合的控制器設計方法．為了同時考慮控制系統(tǒng)與通信系統(tǒng)性能，將閉環(huán)系統(tǒng)特征矩陣譜條件數(shù)的最小值問題轉化為無約束最優(yōu)化問題，進而實現(xiàn)控制器設計的優(yōu)化，降低控制系統(tǒng)對信道吞吐率的要求，使得控制系統(tǒng)與較低吞吐率的通信系統(tǒng)同時穩(wěn)定，從而實現(xiàn)網絡控制系統(tǒng)的穩(wěn)定．仿真結果表明，該方法設計的控制器具有良好的控制性能，能夠在較低吞吐率的信道中穩(wěn)定運行．

網絡控制系統(tǒng)；吞吐率；時隙ALOHA；極點配置；最優(yōu)化

0 引 言

在制造業(yè)、車輛、航空器、航天器、船舶等領域，系統(tǒng)信息與控制信號之間經常需要通過網絡傳輸，每個經過網絡連接的系統(tǒng)組成部分都稱為節(jié)點．當一個系統(tǒng)的閉環(huán)回路需要通信信道連接時，被稱為網絡控制系統(tǒng)，通信信道連接傳感器與控制器或控制器與執(zhí)行器．由于網絡資源有限，多個傳感器共同分享一個信道時，如果沒有協(xié)作，信息將會頻繁地發(fā)生碰撞，子系統(tǒng)不能及時獲取信息，最終導致通信系統(tǒng)和控制系統(tǒng)不穩(wěn)定．因此，多個節(jié)點接入網絡時，接入信道的方式成為了關注的熱點問題．MAC層決定信息接入信道的方式，將通信系統(tǒng)中的MAC層協(xié)議與控制系統(tǒng)性能相結合，對于保證通信系統(tǒng)與控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重要意義．

通信系統(tǒng)中MAC層調度協(xié)議負責分配多用戶共享的信道資源，TDMA是多址協(xié)議中的一種信道劃分方式，其在時域上實現(xiàn)用戶信號正交化．在文獻[1-2]中，采用固定分配方式將用戶接入網絡．在文獻[1]中，根據MRBS序列產生的接入序列，子系統(tǒng)周期性地接入網絡中，但沒有考慮未接入信息因素的影響．文獻[2]中，結合最優(yōu)控制，得出周期性調度序列．然而，固定分配方式很難處理突發(fā)和分布式網絡控制系統(tǒng)問題．隨機分配方式[3]不同于固定分配方式，適合處理分布式網絡控制系統(tǒng)的問題，通過退避算法[4]來減少碰撞次數(shù)，如純ALOHA調度協(xié)議[5]、時隙ALOHA調度協(xié)議[6-7]、載波偵聽多路訪問/碰撞避免調度協(xié)議(CSMA/CA)[8]．在隨機接入的通信系統(tǒng)中，吞吐率是重要的性能指標，可以利用單位時間內通信系統(tǒng)成功傳輸信息的概率表示．純ALOHA調度協(xié)議的吞吐率很低；時隙ALOHA調度協(xié)議在純ALOHA調度協(xié)議的基礎上改進，其吞吐率提高了一倍；CSMA/CA調度協(xié)議通過偵聽信道提高吞吐率，但增加了成本．本文的通信系統(tǒng)采用時隙ALOHA調度協(xié)議，規(guī)定各個傳感器只能在時隙開始時刻傳輸數(shù)據．在時隙ALOHA調度協(xié)議下，網絡控制系統(tǒng)轉化為一個隨機系統(tǒng)．

很多學者對隨機系統(tǒng)進行了研究，文獻[9]將多個傳感器接入網絡的方式表述為隨機伯努利過程，但并未考慮碰撞問題．文獻[10]設計在一個周期內總能保證信息接入的通信協(xié)議，但是并沒有考慮控制器的設計問題．文獻[11]針對具有不同傳輸速率的子系統(tǒng)設計了隨機接入序列．文獻[12]將執(zhí)行器接入網絡的過程描述為Markov過程，利用LMI進行控制器設計和穩(wěn)定性分析．文獻[13]將傳感器和執(zhí)行器的接入過程均描述為Markov過程，利用LMI進行控制器設計和穩(wěn)定性分析．然而它們在通信協(xié)議的實現(xiàn)中，仍然需要進一步完善．本文不同于文獻[12]和[13]之處是，基于隨機調度協(xié)議的網絡控制系統(tǒng)，采用極點配置的方法分析穩(wěn)定性性能和設計控制器．

本文采用時隙ALOHA調度協(xié)議，將通信系統(tǒng)的吞吐率與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性及控制器設計相結合，實現(xiàn)通信系統(tǒng)與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的協(xié)同設計．

1 問題描述

1.1 系統(tǒng)構成

考慮時隙ALOHA調度協(xié)議下單信道離散網絡控制系統(tǒng)如圖1所示，傳感器是時間驅動的，控制器和執(zhí)行器是事件驅動的，n個傳感器共同分享一個信道，通過時隙ALOHA調度協(xié)議競爭網絡資源.

圖1 網絡控制系統(tǒng)Fig.1 Networked control systems

被控對象描述為離散時不變系統(tǒng)：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

(1)

式中：x∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)；u∈Rm是控制輸入；A∈Rn×n和B∈Rn×m分別為適當維數(shù)的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣．矩陣對(A,B)可控，矩陣B是列滿秩的．

1.2 信息接入機制

時隙ALOHA調度協(xié)議將時間分成相同長度的時隙T，每個時隙可以發(fā)送一個數(shù)據包，各個傳感器獨立地傳輸數(shù)據，傳感器i只能在某時隙的開始時刻傳輸控制信息，如果只有一個傳感器i在某時隙傳輸信息，則傳感器i能夠成功傳輸控制信息；如果兩個或更多傳感器在同一時隙傳輸信息，則會發(fā)生碰撞，任一傳感器都不能成功傳輸信息，未成功發(fā)送的控制信息需要等待重傳；如果在某時隙傳感器都沒有傳輸信息，則信道空閑．

吞吐率S定義為某時隙成功發(fā)送數(shù)據包的平均個數(shù)，網絡負載G定義為某時隙發(fā)送數(shù)據包(成功發(fā)送的數(shù)據包和未成功發(fā)送需要重傳的數(shù)據包)的平均個數(shù)[14]．由于各個傳感器的統(tǒng)計特性相同，pi=S/n，Gi=G/n．吞吐率S=G(1-G/n)n-1．當網絡負載為1時，系統(tǒng)的吞吐率取得最大值，Smax=(1-1/n)n-1．

1.3 時隙ALOHA調度協(xié)議下系統(tǒng)模型

由信息接入機制得知，傳感器i(i=1,2,…,n)接入網絡的過程是一個隨機過程．用二值函數(shù)δi(k):R→{0,1}表示傳感器i在時刻k接入網絡的狀態(tài)．δi(k)=1代表傳感器i在時刻k接入網絡，其發(fā)生的概率為pi；δi(k)=0代表傳感器i在時刻k未接入網絡，即未接入網絡的概率為1-pi．每個傳感器接入網絡的概率是相同的，為了表達方便，將傳感器接入網絡的概率表示為p=pi，每個傳感器未接入網絡的概率表示為1-p=1-pi．矩陣σ(k)=diag{δ1(k),…,δn(k)}表示所有傳感器在時刻k接入網絡的狀態(tài)，其由時隙ALOHA調度協(xié)議的方式決定信息接入序列，σ(k)∈{η0,η1,…,ηi,…,ηn}，ηi(i=1,2,…,n)表示只有傳感器i接入網絡，僅第i個對角元素為1，其余元素為0的矩陣．η0是零矩陣，表示沒有傳感器接入網絡．

(2)

(3)

結合式(3)，系統(tǒng)(1)表示為

x(k+1)=[A+BKσ(k)]x(k)

(4)

本文的目的是設計使得時隙ALOHA調度協(xié)議下單信道離散網絡控制系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器，分析時隙ALOHA調度協(xié)議下，通信系統(tǒng)吞吐率與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和系統(tǒng)動態(tài)特性的關系．

2 穩(wěn)定性分析

對于給定傳感器個數(shù)的系統(tǒng)，其吞吐率S=pn，為了保證網絡控制系統(tǒng)的穩(wěn)定，一方面需要保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一方面需要保證通信系統(tǒng)的穩(wěn)定性．通信系統(tǒng)穩(wěn)定性[15]的一種解釋為系統(tǒng)的輸出量不小于系統(tǒng)的輸入量，即系統(tǒng)實際吞吐率小于系統(tǒng)所能容納的最大吞吐率．本文結合兩方面的穩(wěn)定性展開討論．接下來介紹控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性．

引理1 控制器(3)可以使系統(tǒng)(4)均方穩(wěn)定[16]，如果存在矩陣

(5)

是Schur穩(wěn)定的，?代表克羅內克積．

定理1 系統(tǒng)(4)是均方穩(wěn)定的，如果存在控制器(3)，滿足

ρ(A?A+(S/n)(A?BK+BK?A+ (BK?BK)Φ))<1

(6)

證明 根據式(5)得

(7)

時隙ALOHA調度協(xié)議下的單信道網絡每次只能傳輸一個傳感器信息，因此有

(8)

其中I∈Rn×n．進一步有

(9)

因此得出：

W=A?A+(S/n)(A?BK+BK?A+ (BK?BK)Φ)=p(AK?AK)+(1-p)(A?A)+p(BK?BK)(Φ-I)

(10)

其中AK=A+BK．定理1得證．

注：定理1也可以直接利用狀態(tài)誤差矩陣證明．

定義1Pmax是能使系統(tǒng)穩(wěn)定的信息未接入網絡概率的上界，即在信息未接入網絡概率小于Pmax的情況下，網絡控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的．

注：Pmax反映了具有開環(huán)的系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，當Pmax較大時，系統(tǒng)仍保持穩(wěn)定，則系統(tǒng)具有較好的性能，事實上，在傳輸過程中具有信息丟失的系統(tǒng)的動態(tài)性能也是由閉環(huán)系統(tǒng)的極值點決定的．很明顯，如果閉環(huán)系統(tǒng)是名義穩(wěn)定的，則Pmax大于零．直接求信息未接入網絡概率是比較困難的，將其轉化為求Pmax的下界．

λ^

∈spec(W)，存在λ∈spec(AK?AK)滿足

λ^-pλ≤

(11)

λ^-pλ≤(1-p)κ22(AK)(A22+BK22)

(12)

式(12)可寫為

λ^-(1-α)λ≤ακ22(AK)(A22+BK22)

(13)

其中p=1-α．

(14)

由式(14)可得因此系統(tǒng)(4)在控制器(3)下是均方穩(wěn)定的．

由式(14)得出

α< (15)

根據式(11)得出由于

λ^

是任意的，控制器K可以使系統(tǒng)(4)均方穩(wěn)定．

注：從通信角度，當網絡負載G=1時，系統(tǒng)的吞吐率取得最大值，Smax=(1-1/n)n-1，由于系統(tǒng)的吞吐率與未接入概率之間存在關系S=pn=(1-α)n，如果通信系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則一定存在Smax≥S，(1-1/n)n-1≥(1-α)n．

3 控制器設計

選擇控制器矩陣K∈Rm×n使得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣A+BK的譜表示為任意基數(shù)為n的自共軛復數(shù)，換言之，存在一個可逆的矩陣T∈Rn×n，滿足

(A+BK)T=TΛ

(16)

式中：Λ為實偽對角陣，滿足

其中αl±βli(l=1,2,…,n1)、γv(v=1,2,…,n-2n1)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征值．

式(16)可以被表示為

AT-TΛ+BG=0

(17)

G=KT

(18)

(19)

對于非零數(shù)ω，Ji(Gi)=Ji(ωGi)，使得海森矩陣在最小點奇異，為克服此困難，選擇一個輔助目標函數(shù)[17]

(20)

給定G的初始值，利用梯度解下降法求能使輔助目標函數(shù)ψq(G)最小的T(G)，進而求出具有魯棒性能的控制器K=GT-1．

4 數(shù)值仿真

圖2表示系統(tǒng)的狀態(tài)誤差，驗證本文設計控制器的有效性．圖3中(a)和(b)分別代表傳感器1和傳感器2接入網絡的序列，“1”代表傳感器正在傳輸信息，“0”代表傳感器沒有傳輸信息．圖3(c) 中的“1”代表信道正在傳輸信息，“0”代表信道處于空閑狀態(tài).

圖2 優(yōu)化極點配置控制器下系統(tǒng)狀態(tài)誤差Fig.2 The system state error under the optimal polenassignment controller

(a) 傳感器1

(b) 傳感器

(c) 信道狀態(tài)

圖3 接入序列
Fig.3 The access sequence

圖4 次優(yōu)化極點配置控制器下系統(tǒng)狀態(tài)誤差Fig.4 The system state error under suboptimal polenassignment controller

5 結 語

本文針對時隙ALOHA調度協(xié)議下單信道離散網絡控制系統(tǒng)，基于閉環(huán)系統(tǒng)特征矩陣譜條件數(shù)與極點配置設計控制器．首先將時隙ALOHA 調度協(xié)議下網絡控制系統(tǒng)建模成離散的隨機網絡控制系統(tǒng)，然后推出通信系統(tǒng)吞吐率與控制系統(tǒng)動態(tài)特性的關系，最后利用MATLAB仿真工具，驗證了本文設計方法的有效性．本文未考慮退避過程產生延時的影響，今后將對其進一步研究．

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Performance study of networked control system based on optimal algorithm

LI Zhihui1,GUO Ge*2,WANG Bing3

(1.School of Control Science and Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.School of Information Science and Technology, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China；3.State Grid Jilin Maintenance Company, Changchun 130021, China )

For the discrete networked control system under slotted-ALOHA scheduling protocol, a controller design method is proposed based on the spectrum condition number of eigenmatrix and pole assignment of the closed system. Considering both of the performances of control system and communication system, the minimization problem of the spectrum condition number of eigenmatrix for the closed system is looked as unconstrained optimization problem to realize the optimization of the controller and reduce the need of channel throughput by control system, which can simultaneously stabilize the control system and the low-throughput communication system, and finally realize the stabilization of the networked control system. The simulation results prove that the controller designed by the method is of good control performance and can guarantee the stability in the channel with low throughput.

networked control system; throughput; slotted-ALOHA; pole assignment; optimization

1000-8608(2017)04-0418-06

2016-09-24；

2017-05-23．

國家自然科學基金資助項目(61273107,61573077).

李志慧(1990-)，女，博士生，E-mail:lizhihui1650@163.com；郭 戈*(1972-)，男，教授，E-mail:geguo@yeah.net.

TP18

A

10.7511/dllgxb201704013