數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

劉衍鵬?お?

[摘要]數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題的應(yīng)用非常常見(jiàn).把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言用直觀、形象的圖形來(lái)表達(dá)，把抽象的概念和具體的圖形聯(lián)系起來(lái)，把數(shù)與形的信息融合在一起，簡(jiǎn)化了很多數(shù)學(xué)問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合；應(yīng)用；高中數(shù)學(xué)

[中圖分類(lèi)號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2017）20002901

數(shù)形結(jié)合是指將抽象、復(fù)雜的

數(shù)學(xué)語(yǔ)言

、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái).由于圖形在表達(dá)方式上具有形象、具體、易理解等特點(diǎn)，所以數(shù)形結(jié)合可以“以形助數(shù)”，對(duì)優(yōu)化解題過(guò)程、快速有效找到答案具有重要意義.本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識(shí)和題型分類(lèi)淺談這種方法的使用.

一、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問(wèn)題

集合是高中數(shù)學(xué)區(qū)別于初中數(shù)學(xué)的一個(gè)非常明顯的標(biāo)志性概念，是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性知識(shí).集合知識(shí)的內(nèi)在關(guān)系包括交集、并集和補(bǔ)集，外在表達(dá)式一般為{A，B，C}.我們可以很清楚地看到，兩集合的關(guān)系容易用圖形表現(xiàn)出來(lái)，數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生形象地認(rèn)識(shí)集合與集合的關(guān)系.韋恩圖可以用來(lái)表示具體化的集合問(wèn)題.一般用圓來(lái)表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合無(wú)公共元素.利用韋恩圖法能直觀地解答集合之間的關(guān)系的問(wèn)題.

【例1】某單位人數(shù)共50人，組織了羽毛球、籃球和乒乓球3種球類(lèi)的比賽，其中參加羽毛球比賽的員工有38人，參加籃球比賽的員工有35人，參加乒乓球比賽的員工有31人，既參加羽毛球比賽又參加籃球比賽的員工有29人，既參加羽毛球比賽又參加乒乓球比賽的員工有28人，既參加籃球比賽又參加乒乓球比賽的員工有26人，羽毛球、籃球和乒乓球比賽都參加的員工有24人，問(wèn)：有多少人沒(méi)有參加這次的球類(lèi)比賽？

分析：這是一道常見(jiàn)的生活問(wèn)題的集合問(wèn)題，該問(wèn)題可以采用韋恩圖來(lái)解決.如圖1所示，參加羽毛球和籃球比賽，但沒(méi)有參加乒乓球比賽的員工有a=29-24=5（人）；參加羽毛球和乒乓球比賽，但沒(méi)有參加籃球比賽的員工有b=28-24=4（人）；參加了籃球和乒乓球比賽，但是沒(méi)有參加羽毛球比賽的員工有c=26-24=2（人）；只參加了籃球比賽的員工有d=35-24-5-2=4（人）；只參加乒乓球比賽的員工有e=31-24-4-2=1（人）.因此，至少參加了三種球類(lèi)比賽中一項(xiàng)的員工人數(shù)是38+4+2+1=45（人），故三種球類(lèi)運(yùn)動(dòng)都沒(méi)有參加的員工人數(shù)是50-45=5（人）.

二、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決極值問(wèn)題

極值問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題.大部分極值問(wèn)題是應(yīng)用抽象的代數(shù)方法來(lái)求解的.而對(duì)部分極值問(wèn)題，可以根據(jù)已知條件中的信息，構(gòu)建合適的集合圖形，將復(fù)雜、煩瑣的代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成形象、直觀的幾何問(wèn)題，讓求解過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，也讓學(xué)生更容易理解和掌握.

【例2】已知x2+2x=-y2，求（x-1）2+（y+1）2的最小值.

分析：按照一般的算法，可能先需要用x的公式來(lái)表示y，接著用二次函數(shù)的公式來(lái)求（x-1）2+（y+1）2的極值，運(yùn)算量較大，而且計(jì)算過(guò)程煩瑣，得出的答案甚至還會(huì)擴(kuò)大化.用數(shù)學(xué)結(jié)合的思路，則可以快速、形象地解決問(wèn)題.

由x2+2x=-y2，可以推出x2+2x+y2=0，

即（x+1）2+y2=1，

（x，y）就是到點(diǎn)（-1，0）距離為1的點(diǎn)，可以用圖2中的圓表示，該圓圓心是

（-1，0），半徑則是1.而（x-1）2+（y+1）2則可以表示到點(diǎn)P（1，-1）的距離的平方.從圖2可知，已知圓上的點(diǎn)到P點(diǎn)的最小距離PQ可以表示為：

PQ=CP-CQ=2×2/3-1=43/3-1.

這樣極值問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為了距離問(wèn)題.從圖2中可以看出（x-1）2+（y+1）2的最小值是：

（x-1）2+（y+1）2≥PQ2=（433-1）2

=19/3-83/3.

很多復(fù)數(shù)問(wèn)題、三角函數(shù)問(wèn)題和比較復(fù)雜的解析幾何以及立體幾何問(wèn)題也可以用數(shù)形結(jié)合的方法求解.因此，在高中數(shù)學(xué)日常的訓(xùn)練中，教師要幫助學(xué)生分析數(shù)形結(jié)合的常見(jiàn)使用方法及各種使用技巧，讓學(xué)生能夠做到舉一反三，能夠靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法，提高解題效率.

[參考文獻(xiàn)]

[1]黃顯富.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].中國(guó)校外教育（旬刊），2013（21）.

[2]孫立.數(shù)形結(jié)合理念對(duì)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的啟示與借鑒[J].學(xué)周刊，2015（32）.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）