高中生的圓錐曲線認(rèn)知水平及教學(xué)建議

李盛林??

[摘要]高中生在解答圓錐曲線問題時(shí)常常會(huì)因?yàn)檎J(rèn)知不足而感到困惑.對(duì)高中生的圓錐曲線認(rèn)知水平進(jìn)行分析，是教好這部分內(nèi)容的關(guān)鍵.

[關(guān)鍵詞]高中生；圓錐曲線；認(rèn)知水平；教學(xué)建議

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2017）20001801

圓錐曲線是高中解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一.但是，圓錐曲線問題往往較為復(fù)雜，在學(xué)生認(rèn)知水平不高的情況下，學(xué)生很難求解.因此，有必要對(duì)高中生的圓錐曲線認(rèn)知水平進(jìn)行分析.

一、高中生的圓錐曲線認(rèn)知水平分析

1.對(duì)圓錐曲線概念認(rèn)知不足

在解答圓錐曲線問題時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用圓錐曲線的概念解題.但是，一些高中生缺乏對(duì)圓錐曲線概念的認(rèn)知，在面對(duì)求取圓錐曲線方程的問題時(shí)，總是從圓錐曲線方程運(yùn)算的角度進(jìn)行思考和分析，需要花費(fèi)大量時(shí)間完成方程的簡化和整理.甚至由于受運(yùn)算能力的限制，一些學(xué)生在求取曲線方程的過程中半途而廢.

2.對(duì)圓錐曲線解題模式認(rèn)知不足

圓錐曲線與直線的綜合題是高中常見的題目，擁有固有的解題模式，采取這種模式能夠輕松完成題目的解答.從解題思路來看，解答該類問題可采用兩種方法.一是基于韋達(dá)定理的通法模式；二是設(shè)而不求的解析幾何運(yùn)算模式.采取前一種方法，能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為方程間的關(guān)系問題，然后通過求解方程完成問題求解.采用后一種模式，就是設(shè)置一些過渡量，但不進(jìn)行這些量的求解，僅僅利用這些量的關(guān)系完成問題解答.而由于學(xué)生缺乏對(duì)圓錐曲線解題模式的充分認(rèn)知，他們無法較好地掌握這些解題模式，所以難以順利完成直線與圓錐曲線問題的解答.

3.對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)認(rèn)知不足

作為平面圖形的一種，圓錐曲線擁有幾何圖形的性質(zhì).利用圓錐曲線上的點(diǎn)，能夠進(jìn)行三角形或平行四邊形等平面圖形的構(gòu)建，然后利用不同幾何圖形的性質(zhì)解決問題.但由于學(xué)生對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)的認(rèn)知不足，很多高中生在解答圓錐曲線問題時(shí)想不起與之有關(guān)的平行四邊形或三角形的性質(zhì).

二、圓錐曲線的教學(xué)建議

1.圓錐曲線概念的教學(xué)建議

在

講解

圓錐曲線問題時(shí)，教師應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)其概念的重要性，并進(jìn)行有關(guān)概念的變式練習(xí)，從而使學(xué)生形成運(yùn)用概念定義解題的思維.比如在解答軌跡問題時(shí)，就要從點(diǎn)的軌跡是否滿足圓錐曲線定義的條件入手.

【例1】運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)M（x，y）滿足x2+（y+3）2+x2+（y-3）2=10，求點(diǎn)M的軌跡方程.

在解答該例題時(shí)，結(jié)合橢圓定義和方程的幾何意義，就可以較快解答問題.根據(jù)該關(guān)系式可知，點(diǎn)M到定點(diǎn)F1（0，-3）和F2（0，3）的距離和為10，其比兩定點(diǎn)距離大，所以可以判斷出點(diǎn)M的軌跡以兩個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn)且長軸長為10的橢圓，軌跡方程則為y225+x216=1.

2.圓錐曲線解題模式的教學(xué)建議

針對(duì)高中生對(duì)圓錐曲線解題模式認(rèn)知水平不高的情況，教師在進(jìn)行圓錐曲線題目講解的過程中，重點(diǎn)進(jìn)行解題步驟和過程的講述，以確保學(xué)生能夠?qū)忸}模式有一定的領(lǐng)悟.教師還要教會(huì)學(xué)生進(jìn)行圓錐曲線和直線方程的聯(lián)立，然后利用已知條件找尋參數(shù)與參數(shù)及參數(shù)與已知量之間的關(guān)系.結(jié)合圖形將圖形轉(zhuǎn)換為不等式，則可以簡化問題.此外，教師還要引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行這類題目的練習(xí)，并加強(qiáng)對(duì)該類題目解題過程的總結(jié).

【例2】已知點(diǎn)M（2，1）在橢圓y225+x216=1內(nèi)，過該點(diǎn)引一條弦，該弦被點(diǎn)M平分，求弦所在直線的方程.

解答該問題可以采用設(shè)而不求的方法.由題目可知，求解這一直線方程的問題與弦的中點(diǎn)有關(guān)，所以可以采用“點(diǎn)差法”進(jìn)行計(jì)算.具體來講，就是假設(shè)弦與橢圓相交的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A（x1，y2）和B（x2，y1），其中點(diǎn)為M（x0，y0）.通過將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入橢圓方程，然后進(jìn)行作差，則能發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)M與弦斜率的關(guān)系.采取該種解題方法，能夠使問題的解答化繁為簡.

3.圓錐曲線幾何性質(zhì)的教學(xué)建議

針對(duì)學(xué)生無法運(yùn)用圓錐曲線幾何性質(zhì)的情況，教師在講解例題的過程中強(qiáng)調(diào)平面圖形性質(zhì)的應(yīng)用.在學(xué)生平常的練習(xí)過程中，教師也要指導(dǎo)學(xué)生利用幾何性質(zhì)解題.

【例3】已知拋物線y2=2px（p>0），一直線過其焦點(diǎn)F與拋物線相交于A、B，與拋物線準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，并滿足|BC|=2|BF|，|AF|=3，求拋物線的方程.

在解答該問題時(shí)，如果從求點(diǎn)坐標(biāo)的角度解題，容易在利用距離關(guān)系計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.但是如果將圖形畫出，然后從圖形幾何性質(zhì)角度進(jìn)行分析，則可以利用幾何性質(zhì)和拋物線定義完成方程求解.

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，高中生在解答圓錐曲線問題時(shí)，由于缺乏對(duì)圓錐曲線定義、解題模式和幾何性質(zhì)的充分認(rèn)識(shí)，所以容易感到困難.針對(duì)這些情況，教師還要在平時(shí)教學(xué)中重點(diǎn)進(jìn)行這些內(nèi)容的強(qiáng)調(diào)和講述，以確保學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的認(rèn)知水平能夠得到提高，進(jìn)而找到圓錐曲線問題求解的突破口.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）