分?jǐn)?shù)階差分方程解的振動性

王志云，劉淑娟，李巧鑾

(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 , 河北石家莊 050024 )

分?jǐn)?shù)階差分方程解的振動性

王志云，劉淑娟，李巧鑾

(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 , 河北石家莊 050024 )

分?jǐn)?shù)階微積分是研究任意階微分和積分性質(zhì)及應(yīng)用的一種理論，它可以更加精確的描述一些系統(tǒng)的物理特性,更加適應(yīng)系統(tǒng)的變化，可以應(yīng)用于描述生物醫(yī)學(xué)中的腫瘤生長(生長刺激與生長抑制)過程。為了研究2類分?jǐn)?shù)階差分方程解的振動性，主要利用反證法，即假設(shè)方程有非振動解，對于第1類方程首先確定函數(shù)符號，通過構(gòu)造Riccati函數(shù)，對其求差分，利用函數(shù)滿足的條件得到矛盾，即假設(shè)不成立，驗(yàn)證了解的振動性。對于第2類帶有初值條件的方程，首先證明了與該分?jǐn)?shù)階差分方程等價(jià)的和分形式，然后分別考慮0<α≤1和α>1兩種情況，運(yùn)用Stirling公式及階乘函數(shù)的性質(zhì)，放大處理得到與已知條件相矛盾，假設(shè)不成立，獲得分?jǐn)?shù)階差分方程有界解振動的充分條件。以上結(jié)果優(yōu)化了相關(guān)結(jié)論，豐富了相關(guān)成果,并把結(jié)果應(yīng)用到具體方程之中,驗(yàn)證了方程解的振動性質(zhì)。

定性理論；分?jǐn)?shù)階；振動性；差分；微積分

分?jǐn)?shù)階微積分可應(yīng)用于越來越多的領(lǐng)域中，例如：生物學(xué)、物理學(xué)、粘彈性、控制理論等方面[1-5]。許多學(xué)者研究了分?jǐn)?shù)階微分方程的各種性質(zhì)，例如：解的存在唯一性、解的穩(wěn)定性、解對初值的連續(xù)依賴性、解的振動性等[6-13]。當(dāng)物質(zhì)擁有記憶和遺傳效應(yīng)或者諸如質(zhì)量擴(kuò)散與熱傳導(dǎo)的過程，在用整數(shù)階微分方程描述時(shí)不能精確的表征其中的物理特性，這就需要對傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分進(jìn)行推廣，以便更好地描述這些現(xiàn)象。

雖然分?jǐn)?shù)階差分方程解的振動性在工程領(lǐng)域中有著重要的作用, 但是, 關(guān)于分?jǐn)?shù)階差分方程解的振動性的相關(guān)理論較少。

2012年，MARIAN等[14]研究了形式如下的非線性分?jǐn)?shù)階差分方程解的振動性,

2014年, SAGAYARAJ等[15]討論了形式如下的分?jǐn)?shù)階差分方程解的振動性,

2016年, LI[16]考慮了帶有強(qiáng)迫項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階差分方程的解的振動性,

同年, SELVAM等[17]研究了形式如下的分?jǐn)?shù)階差分方程解的振動性,

受以上學(xué)者的啟發(fā)，筆者討論2類分?jǐn)?shù)階差分方程解的振動性, 得到了其振動的充分條件。

首先考慮了如下形式的方程：

(1)

其中Δα是Riemann-Liouville定義的α階差分算子,0<α<1,η>0是正奇整數(shù)的商,N0={0,1,2,…} 。

對于方程(1)假設(shè)有以下條件，

H)r(t),q(t)是正函數(shù),z(t)=Γ(1-α)Δα-1x(t)且f:R→R是連續(xù)函數(shù),對于z≠0滿足f(z(t))/z(t+1)≥K,其中K>0。

其次, 筆者討論了帶有初值的分?jǐn)?shù)階差分方程, 形式如式(2)所示：

(2)

其中m-1<α≤m,m≥1是整數(shù),v是實(shí)函數(shù)，并且滿足以下條件：

如果解x(t)既不最終正的, 也不最終負(fù)的, 則稱x(t)是方程(1)(或者方程(2))的振動解; 否則, 稱其為非振動解。

1 預(yù)備知識

定義1[18]設(shè)v>0,函數(shù)的v階和分定義為

(3)

定義2[18]設(shè)μ>0,m-1<μ≤m,其中m是正整數(shù),m=[μ]。設(shè)v=m-μ,f(t)的μ階差分定義為

Δμf(t)=Δm-vf(t)=ΔmΔ-vf(t)。

(4)

引理1[18]對于任意實(shí)數(shù)v>0,任意正整數(shù)p,以下等式成立:

(5)

其中f(t)定義在Na上。

引理2 方程(2)的等價(jià)和分形式為

(6)

證明 將Δ-1算子應(yīng)用到方程(2)兩邊, 得到：

Δ-1Δ[r(t)Δαx(t)]=Δ-1[-q(t)f(z(t))+v(t)],

(7)

由定義1和引理1, 得到：

(8)

應(yīng)用Δ-α到式(8)兩邊, 有

(9)

由引理1, 得到：

Δ-αΔαx(t)=Δ-αΔmΔ-(m-α)x(t)=

(10)

應(yīng)用定義1,有：

(11)

由式(10)和式(11), 得到等式(6)。

引理3[19]對于α,β,t>0有：

t(-β)>(t+α)(-β)。

(12)

引理4[20]對于分?jǐn)?shù)階函數(shù), 有以下性質(zhì)：

t(β+γ)=(t-γ)(β)t(γ)。

(13)

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)條件H)及以下條件滿足:

(14)

(15)

那么方程(1)的每個(gè)解都是振動的。

證明 假設(shè)x(t)是方程(1)的1個(gè)非振動解。首先，假設(shè)x(t)是最終正解，則存在t1>t0使得x(t)>0,所以對t∈[t1,∞)有z(t)>0,其中z是條件H)中定義的函數(shù)。對t∈[t1,∞)有：

Δ[r(t)(Δαx(t))η]=-q(t)f(z(t))<0，

(16)

因此r(t)(Δαx(t))η在[t1,∞)上是嚴(yán)格遞減函數(shù)并且最終定號。由于t∈[t1,∞)時(shí)r(t)>0,η是正奇整數(shù)的商,則Δαx(t)最終定號。

下面證明：

Δαx(t)>0。

(17)

如果Δαx(t)<0,t∈[t1,∞),那么Δαx(t)是最終負(fù)的,存在t2∈[t1,∞)使得Δαx(t2)<0。

因?yàn)閞(t)(Δαx(t))η在[t1,∞)上是嚴(yán)格遞減的,則有：

r(t)(Δαx(t))η≤r(t2)(Δαx(t2))n=c<0, t∈[t2,∞)。

與z(t)>0矛盾, 所以式(17)成立。因此Δz(t)=Γ(1-α)Δαx(t)>0,即z(t)是增函數(shù)。

定義Riccati函數(shù)：

(18)

則w(t)>0,t∈[t1,∞)。由式(16)、式(18)和條件H), 得到：

故有：

即

w(t+1)-w(t)≤-Kq(t),

(19)

假設(shè)x(t)是方程(1)的一個(gè)最終負(fù)解，則存在t1>t0,使得x(t)<0,所以對t∈[t1,∞)有z(t)<0,其中z是條件H)中定義的函數(shù)，則對t∈[t1,∞)有：

Δ[r(t)(Δαx(t))η]=-q(t)f(z(t))>0,

(20)

因此r(t)(Δαx(t))η在[t1,∞)上是嚴(yán)格遞增函數(shù)并且最終定號。由于t∈[t1,∞)時(shí)r(t)>0,η是正奇整數(shù)的商,則Δαx(t)最終定號。

下面證明

Δαx(t)<0,t∈[t1,∞)。

(21)

令上式t→∞,

與z(t)<0矛盾,所以式(21)成立。因此Δz(t)=Γ(1-α)Δαx(t)<0,即z(t)是減函數(shù)。

證明過程同以上證明類似, 在這里省略，定理得證。

定理2 假設(shè)條件H′) 滿足, 對任意的C1,C2如果對于充分大的T有：

(22)

(23)

則方程 (2) 的每個(gè)有界解都是振動的。

證明 設(shè)x(t)是方程(2)的有界非振動解。則存在M1,M2使得：

M1≤x(t)≤M2。

(24)

首先, 假設(shè)x(t)是方程(2)的最終正解，則存在t1使x(t)>0,z(t)>0,t≥t1,將式(6)兩邊同時(shí)乘以t1-αΓ(α)得到：

(25)

其中：

則有：

0

(26)

令t2>t1,下面分別考慮0<α≤1和α>1的情況。

所以有：

|Φ(t)|=t1-αt(α-1)|b1|≤M|b1|,t≥t2。

(27)

(28)

由式(26),式(27)和式(28)得：

-(M|b1|+C(t1,t2)),t≥t2，

上式兩邊分別令t→∞取極限, 則與式(22)矛盾。

運(yùn)用引理3和引理 4, 得到：

(29)

(30)

由式(26), 式(29)和式(30), 得到：

-(C1(t2)+C2(t1)),t≥t2，

上式兩邊分別令t→∞,則與式(22)矛盾。

最后, 假設(shè)x(t)是方程(2)的最終負(fù)解, 類似可證與式(23)相矛盾。在此省略，定理得證。

3 應(yīng) 用

考慮以下Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階差分方程:

(31)

應(yīng)用定理 1，得到方程(31)的每個(gè)解都是振動的。

/References:

[1] MAGIN R L.Fractional calculus in bioengineering[J]. Critical Reviews in Biomedical Engineering, 2004,32(3/4): 1-104.

[2] DENG R, DAVIES P, BAJAJ A K. Applications of fractional derivatives to modeling the quasi-static response of polyurethane foam[C]// Asme International Design Engineering Technical Conferences and Compuuters and Information in Engineering Conferences,[S.l.]:[s.n.], 2003: 819-828.

[3] KIM T H, PINKHAM J T, HENINGER S J, et al. A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity[J]. Journal of Rheology, 1983,27(2):115-198.

[5] DEBNATH L. Recent applications of fractional calculus to science and engineering[J]. International Journal of Mathematics and Mathematical Science, 2003,2003(54):3413-3442.

[6] WANG F F, CHEN D Y, ZHANG X G, et al. The existence and uniqueness theorem of the solution to a class of nonlinear fractional order system with time delay[J]. Applied Mathematics Letters, 2016,53:45-51.

[7] EI-SHAHED M, SHAMMAKH W. Existence of positive solutions of the boundary value problem for nonlinear fractional differential equations[J]. Computers & Mathematics with Applications,2010,59(3):1363-1375.

[8] LI Y,WANG Y. Uniform asymptotic stability of solutions of fractional differential equations[J]. Abstract and Applied Analysis, 2013(5):685-696.

[9] CONG N D, DOAN T S, SIEGMUND S, et al. Linearized asymptotic stability for fractional differential equations[J]. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2013(5):685-696.

[10]BELLMAN R. The stability of solutions of linear differential equations[J]. Duke Mathematical Journal, 1943,10 (4): 643-647.

[11]MOMANI S M, HADID S B. On the continuous dependence of solutions of integro-fractional differential equations with respect to initial conditions[J]. Nonlinear Funct. Anal. Appl., 2005,10(3):379-386.

[12]CHEN D X. Oscillation criteria of fractional differential equations[J]. Advance in Difference Equations, 2012, 33 (1): 1-10.

[13]OU-IANG L.The boundedness of solutions of linear differential equationsy″+A(t)y=0[J]. Advances in Mathematics, 1957,3(3):409-415.

[14]MARIAN S L, SAGAYARAJ M R, SELVAM A G M, et al. Oscillation of fractional nonlinear difference equations[J]. Mathematica Aeterna, 2012(9/10):805-813.

[15]SAGAYARAJ M R, SELVAM A G M, LOGANATHAN M P. Oscillatory behavior of fractional difference equations[J]. International Journal of Mathematics Research, 2014, 6(1): 49-56.

[16]LI Weinian. Oscillation results for certain forced fractional difference equations with damping term[J]. Advance in Difference Equations,2016,2016(1):1-9.

[17]SELVAM A G M, LOGANATHAN M P, JANAGARAJ R, et al. Oscillation of fractional difference equations with damping term[J]. Journal of Mathematical Science, 2016, 16(1): 1-13.

[18]ATICI F M, ELOE P W. Initial value problems in discrete fractional calculus[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 2009,137(3):981-989.

[19]CHEN F L, LIU Z G. Asymptotic stability results for nonlinear fractional difference equations[J]. Journal of Applied Mathematics, 2012,2012(1110-757X):155-172.

[20]ATICI F M, ELOE P W. A transform method in discrete fractional calculus[J]. International Journal of Difference Equations, 2007(2):165-176.

Oscillation results for certain fractional difference equations

WANG Zhiyun, LIU Shujuan, LI Qiaoluan

(College of Mathematics and Information Science, Hebei Normal University, Shijiazhuang, Hebei 050024, China)

Fractional calculus is a theory that studies the properties and application of arbitrary order differentiation and integration. It can describe the physical properties of some systems more accurately, and better adapt to changes in the system, playing an important role in many fields. For example, it can describe the process of tumor growth (growth stimulation and growth inhibition) in biomedical science. The oscillation of solutions of two kinds of fractional difference equations is studied, mainly using the proof by contradiction, that is, assuming the equation has a nonstationary solution. For the first kind of equation, the function symbol is firstly determined, and by constructing the Riccati function, the difference is calculated. Then the condition of the function is used to satisfy the contradiction, that is, the assumption is false, which verifies the oscillation of the solution. For the second kind of equation with initial condition, the equivalent fractional sum form of the fractional difference equation are firstly proved. With considering 0<α≤1 andα>1, respectively, by using the properties of Stirling formula and factorial function, the contradictory is got through enhanced processing, namely the assuming is not established, and the sufficient condition for the bounded solutions of the fractional difference equation is obtained. The above results will optimize the relevant conclusions and enrich the relevant results. The results are applied to the specific equations, and the oscillation of the solutions of equations is proved.

qualitative theory; fractional; oscillation; difference; calculus

河北省高等學(xué)校高層次人才科學(xué)研究項(xiàng)目(GCC2014052)；河北師范大學(xué)校級研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(xj2016040)

王志云(1991—)，女，河北承德人，碩士研究生，主要從事微分方程方面的研究。

李巧鑾教授。E-mail:qll71125@163.com

1008-1542(2017)04-0360-07

10.7535/hbkd.2017yx04007

O175.12MSC(2010)主題分類：34B40

A

2016-12-28；

2017-04-20；責(zé)任編輯：張 軍

王志云，劉淑娟，李巧鑾.分?jǐn)?shù)階差分方程解的振動性[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2017,38(4):360-366. WANG Zhiyun, LIU Shujuan, LI Qiaoluan.Oscillation results for certain fractional difference equations[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(4):360-366.