Alexandrov空間的公理體系

張山山,李 扉，姚 衛(wèi)

(1.河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018；2.北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100081)

Alexandrov空間的公理體系

張山山1,李 扉2，姚 衛(wèi)1

(1.河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018；2.北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100081)

為了研究Alexandrov空間的內(nèi)部公理體系和序方面的特征，利用點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)和Locale理論中的已有結(jié)論，將各結(jié)構(gòu)限制到Alexandrov空間的框架中，得到Alexandrov空間的等價(jià)刻畫(huà)。研究結(jié)果表明Alexandrov空間在范疇意義下同構(gòu)于Alexandrov鄰域系統(tǒng)、Alexandrov閉包算子、Alexandrov內(nèi)部算子、Alexandrov導(dǎo)算子等，T0的Alexandrov空間同構(gòu)于偏序集、對(duì)偶等價(jià)于完全生成格。Alexandrov空間可以用鄰域系統(tǒng)、閉包算子、內(nèi)部算子、導(dǎo)算子，特殊化序和無(wú)點(diǎn)化序進(jìn)行等價(jià)刻畫(huà)。

拓?fù)鋵W(xué)；Alexandrov空間；鄰域系統(tǒng)；閉包算子；內(nèi)部算子；導(dǎo)算子；特殊化序；完備生成格

Alexandrov空間是由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家ALEXANDROV在1937年首次提出的，是指開(kāi)集族對(duì)任意并和任意交都封閉的拓?fù)淇臻g，其最初的名稱有離散空間(Diskrete R?ume，不同于現(xiàn)在的離散空間)、有限生成空間(finitely generated space)、主空間(principal space)等，JOHNSTONE在文獻(xiàn)[1]中首次稱這類(lèi)空間為Alexandrov空間?？赡芤?yàn)檫@種拓?fù)溥^(guò)于簡(jiǎn)單，同時(shí)也和度量拓?fù)洳幌喾Ｔ陔S后的30年里，Alexandrov空間并沒(méi)有多少人去研究。20世紀(jì)70年代前關(guān)于這方面的學(xué)術(shù)論文只有1966年的2篇文獻(xiàn)[2-3]；20世紀(jì)70-80年代仍然沒(méi)有多少專(zhuān)門(mén)研究Alexandrov空間的文章[1,4-5]；20世紀(jì)90年代后, Alexandrov空間在數(shù)字拓?fù)漕I(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[6-7], 這是因?yàn)锳lexandrov空間和數(shù)字拓?fù)渲械挠邢尥負(fù)淇臻g有很多相似的性質(zhì), 這個(gè)觀點(diǎn)在文獻(xiàn)[2—3]中也有體現(xiàn),比如Alexandrov空間范疇是有限拓?fù)淇臻g范疇的反射殼[5]。文獻(xiàn)[8]以數(shù)字拓?fù)涞慕嵌葟幕?、分離性、連通性、函數(shù)空間、擬一致結(jié)構(gòu)等方面對(duì)Alexandrov的空間進(jìn)行了系統(tǒng)論述和研究。進(jìn)入21世紀(jì)后, 對(duì)Alexandrov空間的研究主要集中在以下幾方面。1) 在粗糙集理論中，這是因?yàn)镻awlak粗糙集對(duì)應(yīng)的拓?fù)淇臻g恰是Alexandrov空間, 并且等價(jià)關(guān)系和滿足對(duì)稱分離性的Alexandrov空間之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系[9-11]；2) 在模糊拓?fù)鋵W(xué)中, 模糊形式的Alexandrov拓?fù)涞玫搅搜芯縖12-15]；3) 在數(shù)字拓?fù)鋵W(xué)中, Alexandrov空間繼續(xù)被推廣為局部有限空間(每個(gè)點(diǎn)只有有限個(gè)開(kāi)鄰域)[16-18], 這種局部有限性可以很好地描述數(shù)字拓?fù)涞木植刻卣鳌?/p>

1 Alexandrov空間中的開(kāi)集和閉集, 鄰域與鄰域系統(tǒng)

定義1 設(shè)X是一個(gè)集合,T是X的一個(gè)子集族。如果T滿足如下條件：

AT1)X，?∈T;

AT2)若{Ai|i∈I}?T,則∩iAi∈T;

AT3)若{Ai|i∈I}?T,則∪iAi∈T,

則稱T是X的一個(gè)Alexandrov拓?fù)? 稱偶對(duì)(X,T)是一個(gè)Alexandrov空間。

顯然，每一個(gè)具有有限個(gè)開(kāi)集的拓?fù)淇臻g是一個(gè)Alexandrov空間, 每一個(gè)建立在有限集上的拓?fù)淇臻g是一個(gè)Alexandrov空間。另外，Alexandrov空間的閉集族也滿足公理?xiàng)l件(AT1-AT3)。

定義2 設(shè)X是一個(gè)非空集合, 如果每一個(gè)x∈X都對(duì)應(yīng)X的一個(gè)子集族Ux并滿足:

N1)對(duì)于任何x∈X,Ux≠?;并且如果U∈Ux,則x∈U;

N2)如果U,V∈Ux,則U∩V∈Ux;

N3)如果U∈Ux,并且U?V,則V∈Ux;

N4)如果U∈Ux,則存在V∈Ux滿足條件:

i)U?V和ii)對(duì)于任何y∈V,有V∈Uy, 那么集族U={Ux|x∈X}稱為X上的一個(gè)拓?fù)溧徲蛳到y(tǒng), 偶對(duì)(X,U)稱為一個(gè)拓?fù)溧徲蚩臻g。

定義3 設(shè)U={Ux|x∈X}是集合X上的一個(gè)拓?fù)溧徲蛳到y(tǒng), 如果有：

TN)對(duì)于任意的x∈X, 如果{Ui|i∈I}?Ux,則∩iUi∈Ux,那么映射U稱為X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)溧徲蛳到y(tǒng)。

定理1 設(shè)T是集合X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)?U是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)溧徲蛳到y(tǒng), 則有：

1) UT是X上的Alexandrov拓?fù)溧徲蛳到y(tǒng);

2) TU是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)洹?/p>

證明 1)設(shè){Ui|i∈I}?Ux, 則存在開(kāi)集族{Vi|i∈I}使得對(duì)于每一個(gè)i∈I都有x∈Vi?Ui,從而x∈∩iVi?∩iUi。由∩iVi是一個(gè)開(kāi)集知，∩iUi∈Ux。

2)只需驗(yàn)證TU對(duì)任意交封閉。設(shè){Ai|i∈I}?TU, 任取x∈∩iAi, 則對(duì)于任意的i∈I都有x∈Ai, 從而Ai∈Ux,進(jìn)而∩iAi∈Ux。

注1 令A(yù)TNgh為由Alexandrov拓?fù)溧徲蚩臻g構(gòu)成的TNgh的滿子范疇, 則由定理1知,ATNgh與ATop同構(gòu)。

2 Alexandrov算子

2.1Alexandrov閉包算子

點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的閉包算子是1922年KURATOWSKI在文獻(xiàn)[20]中首次引入的。

定義4 設(shè)X是一個(gè)非空集合, 如果映射Cl:2X→2X滿足：

C1)Cl(?)=?;

C2)對(duì)于任意的A?X,有A?Cl(A);

C3)對(duì)于任意的A,B?X,有Cl(A∪B)=Cl(A)∪Cl(B);

C4)對(duì)于任意的A?X,有Cl(Cl(A))=Cl(A),

那么稱Cl為X上的一個(gè)(Kuratowski)閉包算子,稱偶對(duì)(X,Cl)為一個(gè)閉包算子空間。

對(duì)于非空集合X上的一個(gè)拓?fù)鋁, 令ClT:2X→2X為

ClT(A)={x∈X|?U∈Ux,U∩A≠?}(?A?X),

則ClT是X上的一個(gè)閉包算子; 反過(guò)來(lái), 對(duì)于非空集合X上的一個(gè)閉包算子Cl,

TCl={A?X|Cl(A′)=A′}

是X上的一個(gè)拓?fù)?而且有TClT=T和ClTCl=Cl[19]。拓?fù)淇臻g和閉包算子的這種等價(jià)性, 如果用范疇論的語(yǔ)言來(lái)描述, 那就是拓?fù)淇臻g范疇Top和閉包算子空間范疇Cl同構(gòu),其中Cl中的態(tài)射：稱f:(X,ClX)→(Y,ClY)是閉包算子空間之間的連續(xù)映射, 如果對(duì)于任意的A?X,有f(ClX(A))?ClY(f(A))。

定義5 設(shè)X是一個(gè)非空集合,Cl:2X→2X是一個(gè)閉包算子, 如果

CA)對(duì)于任意的{Ai|i∈I}?2X,有Cl(∪iAi)=∪iCl(Ai), 那么映射Cl稱為X上的一個(gè)Alexandrov閉包算子。

定理2 設(shè)X是一個(gè)非空集合, 則

1) 若T是X上的一個(gè)Alexandrov 拓?fù)? 則ClT是X上的Alexandrov閉包算子;

2) 若Cl:2X→2X是一個(gè)Alexandrov閉包算子,TCl是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)洹?/p>

2)設(shè){Ai|i∈I}?TCl, 則

Cl((∩iAi)′)=Cl(∪iAi)=∪iCl(Ai)=∪iAi=(∩iAi)′,

從而∩iAi∈TCl。這說(shuō)明TCl對(duì)任意交封閉。因此，TCl是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)洹?/p>

注2 令A(yù)Cl為由Alexandrov閉包算子空間構(gòu)成的Cl的滿子范疇, 則由定理2知, ACl與ATop同構(gòu)。

2.2 Alexandrov內(nèi)部算子

內(nèi)部算子是閉包算子的對(duì)偶形式, 同樣拓?fù)淇臻g和內(nèi)部算子也可以相互唯一確定。

定義6 設(shè)X是一個(gè)非空集合, 如果映射Int:2X→2X滿足：

I1)Int(X)=X;

I2)對(duì)于任意的A?X,有Int(A)?A;

盡管各個(gè)高校財(cái)務(wù)部門(mén)想盡種種辦法，但因每天財(cái)務(wù)部門(mén)所能處理的總體業(yè)務(wù)量有限，只能在排隊(duì)時(shí)間和人數(shù)總量上稍微有所限制。財(cái)務(wù)預(yù)約報(bào)銷(xiāo) “排隊(duì)時(shí)間長(zhǎng)、手續(xù)繁瑣、下班時(shí)仍有師生不愿離去”導(dǎo)致報(bào)賬人員辦理報(bào)銷(xiāo)業(yè)務(wù)時(shí)和財(cái)務(wù)人員的矛盾沖突頻發(fā)，探究其根本原因：

I3)對(duì)于任意的A,B?X,有Int(A∩B)=Int(A)∩ Int(B);

I4)對(duì)于任意的A?X,有Int(Int(A))=Int(A),

那么稱Int為X上的一個(gè)內(nèi)部算子,稱偶對(duì)(X,Int)為一個(gè)內(nèi)部算子空間。

對(duì)于非空集合X上的一個(gè)拓?fù)銽,令I(lǐng)ntT:2X→2X為

IntT(A)=∪{B∈T|B?A}(?A?X),

則IntT是X上的一個(gè)內(nèi)部算子; 反過(guò)來(lái), 對(duì)于非空集合X上的一個(gè)內(nèi)部算子Int,

TInt={A?X|Int(A)=A}是X上的一個(gè)拓?fù)?而且有TIntT=T和IntTInt=Int[19]。拓?fù)淇臻g和閉包算子的這種等價(jià)性, 如果換成范疇論的語(yǔ)言來(lái)描述, 那就是拓?fù)淇臻g范疇Top和內(nèi)部算子空間范疇I(yíng)nt同構(gòu), 其中Int中的態(tài)射: 稱f:(X,IntX)→(Y,IntY)是內(nèi)部算子空間之間的連續(xù)映射, 如果對(duì)于任意的B?Y, 都有f-1(IntY(B))?IntX(f-1(B))。

定義7 設(shè)Int:2X→2X是集合X的一個(gè)內(nèi)部算子, 如果有：

IA) 對(duì)于任意的{Ai|i∈I}?2X,Int(∩iAi)=∩iInt(Ai), 那么稱Int為X上的一個(gè)Alexandrov內(nèi)部算子。

定理3 設(shè)X是一個(gè)非空集合, 則：

1)若T是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)? 則IntT是X上的Alexandrov內(nèi)部算子;

2)若Int:2X→2X是一個(gè)Alexandrov內(nèi)部算子, 則TInt是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)洹?/p>

證明 1)只需證對(duì)于任意的集族{Ai|i∈I}?2X都有IntT(∩iAi)?∩iIntT(Ai)。事實(shí)上, 由于每一個(gè)IntT(Ai)都是開(kāi)集, 則∩iIntT(Ai)是包含于∩iAi的開(kāi)集。由內(nèi)部算子的定義可知,IntT(∩iAi)?∩iIntT(Ai)。

2)設(shè){Ai|i∈I}?TInt,則Int(∩iAi)=∩iInt(Ai)=∩iAi,從而∩iAi∈TInt。這說(shuō)明TInt對(duì)任意交封閉。因此，TInt是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)洹?/p>

注3 令A(yù)Int為由Alexandrov內(nèi)部算子空間構(gòu)成的Int的滿子范疇, 則由定理3知,AInt與ATop同構(gòu)。

2.3Alexandrov導(dǎo)算子

定義8 設(shè)X是一個(gè)非空集合,如果映射d:2X→2X滿足：

D1)d(?)=?;

D2)對(duì)于任意的x∈X,有x?d({x});

D3)對(duì)于任意A?X,有d(A∪B)=d(A)∪d(B);

D4)對(duì)于任意A?X,有d(d(A))?A∪d(A),

則稱d為X上的一個(gè)導(dǎo)算子,稱偶對(duì)(X,d)為一個(gè)導(dǎo)算子空間。

在其他條件成立的前提下,D2)還可以寫(xiě)成

對(duì)于集合X上的一個(gè)導(dǎo)算子d,集族

Td={A?X|d(A′)∩A=?}={A?X|d(A′)?A′}

是X上的一個(gè)拓?fù)?對(duì)于X上的一個(gè)拓?fù)銽,定義dT:2X→2X為

dT(A)={x∈X|?U∈Ux,U∩(A-{x})≠?}(?A?X),

則dT是X上的一個(gè)導(dǎo)算子;并且有dTd=d和TdT=T。拓?fù)淇臻g和導(dǎo)算子的這種等價(jià)性, 如果換成范疇論的語(yǔ)言來(lái)描述, 那就是拓?fù)淇臻g范疇Top和導(dǎo)算子空間范疇Dr同構(gòu), 其中Dr中的態(tài)射:稱f:(X,dX)→(Y,dY)是導(dǎo)算子空間之間的連續(xù)映射,如果對(duì)于任意的A?X,都有f(dX(A))?f(A)∪dY(f(A))。

定義9 設(shè)d:2X→2X是集合X的一個(gè)導(dǎo)算子, 如果有：

DA)對(duì)于任意的{Ai|i∈I}?2X,d(∪iAi)=∪id(Ai),那么映射d稱為上的一個(gè)Alexandrov導(dǎo)算子。

定理4 設(shè)T是集合X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)?d:2X→2X是一個(gè)Alexandrov導(dǎo)算子, 則

1)dT是X上的Alexandrov內(nèi)部算子;

2)Td是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)洹?/p>

證明 1)只需證對(duì)于任意的集族{Ai|i∈I}?2X都有dT(∪iAi)?∪idT(Ai)。事實(shí)上,首先有x∈dT(A)當(dāng)且僅當(dāng)V(x)∩(A-{x})≠?。如果x∈dT(∪iAi),則

∪i[V(x)∩(Ai-{x})]=V(x)∩(∪iAi-{x})≠?,

于是存在i0∈I使得V(x)∩(Ai0-{x})≠?,即x∈dT(Ai0),故x∈∪idT(Ai)。

2)設(shè){Ai|i∈I}?Td,則

d((∩iAi)′)=d(∪iAi)=∪id(Ai)?∪iAi=(∩iAi)′,

從而∩iAi∈Td。這說(shuō)明Td對(duì)任意交封閉，因此Td是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)洹?/p>

注4 令A(yù)Dr為由Alexandrov導(dǎo)算子空間構(gòu)成的Dr的滿子范疇, 則由定理4知,ADr與ATop同構(gòu)。

2.4 其他衍生的Alexandrov算子

2.4.1Alexandrov外部算子

拓?fù)淇臻g的外部算子是由閉包算子衍生出來(lái)的一個(gè)算子。

定義10 設(shè)X是一個(gè)非空集合,e:2X→2X是一個(gè)映射, 如果

E1)e(?)=X;

E2)對(duì)于任意A?X,有e(A)?A′;

E3)對(duì)于任意A?B?X,有e(A∪B)=e(A)∩ e(B);

E4)對(duì)于任意A?X,有e((e(A))′)=e(A),

則稱e為X上的一個(gè)外部算子。如果外部算子e還滿足:

EA)對(duì)于任意{Ai|i∈I}?2X,有e(∪iAi)=∪ie(Ai),

則稱e為X上的一個(gè)Alexandrov外部算子。

注5 1) 拓?fù)淇臻g和外部算子可以相互唯一確定。設(shè)(X,T)是一個(gè)拓?fù)淇臻g,則外部算子eT:2X→2X定義為

eT(A)=∪{U∈T|U∩A=?}=(ClT(A))′;

反過(guò)來(lái), 對(duì)于集合X上的一個(gè)外部算子e,Te={A?X|e(A′)=A}是X上的一個(gè)拓?fù)?而且有eTe=e和TeT=T。

2) Alexandrov空間和Alexandrov外部算子可以相互唯一確定, 即如果e:2X→2X是一個(gè)Alexandrov外部算子,則Te是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)? 如果T是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)? 則eT是X上的一個(gè)Alexandrov外部算子。

3) 外部算子空間構(gòu)成的范疇Ext和拓?fù)淇臻g范疇Top同構(gòu); Alexandrov外部算子空間構(gòu)成的Ext的滿子范疇AExt和Alexandrov空間范疇ATop同構(gòu),這里稱f:(X,eX)→(Y,eY)是外部算子空間之間的連續(xù)映射,如果對(duì)于任意的B?Y,都有f-1(eY(B))?eX(f-1(B))。

2.4.2 Alexandrov邊界算子

拓?fù)淇臻g的邊界算子是由閉包算子或內(nèi)部算子衍生出來(lái)的一個(gè)算子。設(shè)(X,T)是一個(gè)拓?fù)淇臻g, 則外部算子bT:2X→2X定義為bT(A)=ClT(A)∩ClT(A′)=(IntT(A)∪IntT(A′))′。

定義11 設(shè)X是一個(gè)非空集合,b:2X→2X是一個(gè)映射, 如果

B1)b(X)=b(?)=?;

B2)對(duì)于任意A?X,有b(A)=b(A′);

B3)對(duì)于任意A?X,有b(b(A))?b(A);

B4)對(duì)于任意A,B?X,有A∩B∩b(A∩B)=A∩B∩(b(A)∪b(B))。

則稱b為X上的一個(gè)邊界算子。如果邊界算子b還滿足:

BA)對(duì)于任意{Ai|i∈I}?2X,有(∩iAi)∩b(∩iAi)=(∩iAi)∩(∪ib(Ai))。

則稱b為X上的一個(gè)Alexandrov邊界算子。

注6 1)拓?fù)淇臻g和邊界算子可以相互唯一確定。設(shè)(X,T)是一個(gè)拓?fù)淇臻g,則外部算子bT:2X→2X定義為

bT(A)=ClT(A)∩ ClT(A′)=(IntT(A)∪IntT(A′))′;

反過(guò)來(lái), 對(duì)于集合X上的一個(gè)邊界算子b,Tb={A?X|b(A′)∩A=?}是X上的一個(gè)拓?fù)? 而且有bTb=b和TbT=T。

2)Alexandrov空間和Alexandrov邊界算子可以相互唯一確定,即如果b:2X→2X是一個(gè)Alexandrov邊界算子,則Tb是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)?如果T是X上的一個(gè)Alexandrov拓?fù)? 則bT是X上的一個(gè)Alexandrov邊界算子。

3) 邊界算子空間構(gòu)成的范疇Bnd和拓?fù)淇臻g范疇Top同構(gòu); Alexandrov邊界算子空間構(gòu)成的Bnd 的滿子范疇ABnd和Alexandrov空間范疇ATop同構(gòu),這里稱f:(X,bX)→(Y,bY)是邊界算子空間之間的連續(xù)映射, 如果對(duì)于任意的A?X,都有f(bX(A))?f(A)∪bY(f(A))。

3 Alexandrov空間的格序特征

3.1 Alexandrov空間與偏序集

通常用拓?fù)淇臻g的特殊化序和預(yù)序集上的上(下)集建立拓?fù)淇臻g和二元關(guān)系之間的聯(lián)系。1966年, MCCORD[2]和STEINER[3]分別獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了偏序集范疇和T0拓?fù)淇臻g范疇之間的范疇同構(gòu)。

設(shè)(X,T)是一個(gè)拓?fù)淇臻g,定義X上的二元關(guān)系≤T為

x≤Ty?Ux?Uy

則≤T是X上的一個(gè)預(yù)序, 并且(X,T)是一個(gè)T0空間當(dāng)且僅當(dāng)≤T是X上的一個(gè)偏序。

反過(guò)來(lái),設(shè)(X,≤)是一個(gè)預(yù)序集,令γ(X)為X的所有上集構(gòu)成的集合,則(X,γ(X))是一個(gè)的Alexandrov空間, 并且(X,≤)是一個(gè)偏序集當(dāng)且僅當(dāng)(X,γ(X))是一個(gè)T0的Alexandrov空間。

于是ATop同構(gòu)于預(yù)序集范疇POrd[5,21],T0的Alexandrov空間范疇ATop0同構(gòu)于偏序集范疇POS[2-3]。

3.2 Alexandrov空間的無(wú)點(diǎn)化刻畫(huà)

對(duì)于每個(gè)拓?fù)淇臻g(X,T),偶對(duì)(T,?)是一個(gè)空間式Frame, 即由素元交生成的完備格(可以證明由素元交生成的完備格自然就是一個(gè)Frame); 反過(guò)來(lái), 對(duì)于每個(gè)完備格, 則其全體素元構(gòu)成的集合帶上譜拓?fù)涫且粋€(gè)Sober空間。由此可以得到Sober空間范疇和空間式Frame范疇之間的對(duì)偶等價(jià)[1]。對(duì)于Alexandrov空間,BONSANGUE等[22]通過(guò)引入ObservationFrame建立了T0的Alexandrov空間的對(duì)偶形式為完備素元交生成的完備格。

對(duì)于Frame, 所有素元、所有從該Frame到二元格的Frame同態(tài)和所有完備素濾子這三者之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 因此可以分別在3個(gè)集合上建立相應(yīng)的拓?fù)? 最后都能得到對(duì)偶等價(jià)的結(jié)論。為此在文獻(xiàn)[23]中, 姚衛(wèi)和韓相彥利用完備素元交生成格的自對(duì)偶性以及這種格上的所有素元、所有余素元和所有到二元格的完備格同態(tài)之間的一一對(duì)應(yīng),以完備格同態(tài)為基礎(chǔ)建立了T0的Alexandrov空間的對(duì)偶形式及其模糊形式。

本節(jié)的目的是以余素元為基礎(chǔ)重現(xiàn)T0的Alexandrov空間的對(duì)偶形式, 利用余素元使得這種對(duì)偶更加直觀和簡(jiǎn)潔。

定義12 設(shè)L是一個(gè)完備格,b∈L稱為完備余素元,如果b≤∨S可推出存在s∈S使得b≤s。記c(L)為L(zhǎng)的全體完備余素元之集(注意c(L)有可能為空集, 如單位區(qū)間)。如果對(duì)于任意的a∈L,都有a=∨{b∈c(L)|b≤a}, 則稱L為一個(gè)完備余素元生成格, 簡(jiǎn)稱完全生成格。令CGLat為由完全生成格及其完備格同態(tài)構(gòu)成的范疇。

從定義可以看出, 每一個(gè)完全生成格都是一個(gè)完全分配格, 因?yàn)檠胤抡誅omain理論[24-25]中的術(shù)語(yǔ), 完備余素元實(shí)際上是相對(duì)于三角小于關(guān)系的緊元,從而完全生成格之于完全分配格類(lèi)似于代數(shù)格之于連續(xù)格。

定理5 設(shè)(X,T)是一個(gè)Alexandrov空間,則c(T)={V(x)|x∈X}。

證明 設(shè)U∈c(T),則U=∪x∈UV(x),于是存在x0∈U使得U=V(x);反過(guò)來(lái),設(shè)V(x)?∪iUi,則存在i0∈I使得x∈Ui0。由V(x)的最小性知,V(x)?Ui0。故V(x)∈c(T)。

定理6 每一個(gè)Alexandrov空間的開(kāi)集格都是一個(gè)完全生成格。

證明 對(duì)于任意開(kāi)集U都有U=∪x∈UV(x),于是該定理是定理5的直接推論。

定理7 設(shè)f:(X,T)→(Y,S)是Alexandrov空間之間的連續(xù)映射,則f-1:S→T是一個(gè)完備格同態(tài)。

該定理證明是直接的, 這是因?yàn)?X,T)和(Y,S)對(duì)任意交和任意并都封閉,而f-1:2Y→2X恰好保任意交和任意并。

這樣,可以得到一個(gè)函子V:ATop0→CGLatop,V(X,T)=(T,?),V(f)=(f-1)op。

定理8 設(shè)A是一個(gè)完備格,則c(A)是一個(gè)偏序集,賦予下拓?fù)洇?c(A))成為T(mén)0的Alexandrov空間。

該定理不需要證明, 因?yàn)槊總€(gè)偏序集上的下拓?fù)涠际且粋€(gè)T0的Alexandrov空間。

定理9 設(shè)g:A→B是完備格同態(tài),定義G(g):c(B)→c(A)為G(g)(b)=g*(b),其中g(shù)*是g的左伴隨(定義見(jiàn)文獻(xiàn)[24]), 則G(g):c(B)→c(A)是一個(gè)連續(xù)映射。

證明 只需證明G(g)是一個(gè)定義好的映射, 其連續(xù)性可由保序性(而這是顯然的)直接推得。 設(shè)b∈c(B)且g*(b)≤∨iai,則b≤g(∨iai)=∨ig(ai), 從而存在i0∈I使得b≤g(ai0),這等價(jià)于g*(b)≤ai0,故G(g)是一個(gè)定義好的映射。

這樣, 得到了另一個(gè)函子G:CGLatop→ATop0,具體為G(A)=(c(A),γ(c(A))),G(g)=g*。

定理10 設(shè)(X,T)是一個(gè)T0的Alexandrov空間,則(c(T),γ(c(T)))同胚于(X,T)。

證明 易見(jiàn)，V:X→c(T)(xV(x))定義了一個(gè)一一映射(其中單射性用到(X,T)的T0分離性)。

首先,V是一個(gè)開(kāi)映射,即若U∈T,則V(U)={V(x)|x∈U}是c(T)的一個(gè)下集。實(shí)際上,如果V(y)?V(x)且x∈U,則Ux?Uy,于是U∈Uy,y∈U。故V(y)∈V(U),V(U)是c(T)的一個(gè)下集。

其次,V是一個(gè)連續(xù)映射,即若W是c(T)的下集,則V-1(W)={x∈X|V(x)∈W}∈T。實(shí)際上,若x∈V-1(W),則V(x)∈W。任取y∈V(x),有V(y)?V(x)。由W是下集知,V(y)∈W,即y∈V-1(W)，從而V(x)?V-1(W)或者V-1(W)∈Ux。故V-1(W)∈T。

因此，(c(T),γ(c(T)))同胚于(X,T)。

定理11 設(shè)A是一個(gè)完全生成格, 則A與γ(c(A))完備格同構(gòu)。

證明 對(duì)于任意的a∈A,令Φ(a)=↓a∩c(A),則Φ:A→γ(c(A))是一個(gè)映射,且由A是完全生成格知,Φ是一個(gè)單射。

首先,Φ是滿射。設(shè)W是c(A)中的下集,令a=∨W,則W?↓a∩c(A)=Φ(a); 另外對(duì)于任意的b∈Φ(a),有b∈c(A)且b≤∨W，從而存在w∈W使得b≤w,由W是下集知b∈W,故Φ(a)?W。故W=Φ(a)。

其次,Φ是完備格同態(tài)。實(shí)際上,Φ(0)=↓0 ∩c(A)=?,Φ(1)=↓1 ∩c(A)=c(A);對(duì)于任意的{ai|i∈I}?A,有：

Φ(∧iai)=↓(∧iai)∩c(A)=(∩i↓ai)∩c(A)=∩i(↓ai∩c(A))=∩iΦ(ai),

Φ(∨iai)=↓(∨iai)∩c(A)=(∪i↓ai)∩c(A)=∪i(↓ai∩c(A))=∪iΦ(ai),

因此，A與γ(c(A))完備格同構(gòu)。

定理12 ATop0對(duì)偶等價(jià)于CGLat。

3.3 偏序集范疇與完全生成格范疇的對(duì)偶等價(jià)

由于ATop0與POS同構(gòu)、與CGLat對(duì)偶等價(jià), 因此POS與CGLat對(duì)偶等價(jià), 具體對(duì)應(yīng)關(guān)系為偏序集的所有下集構(gòu)成的集族在包含序下是一個(gè)完全生成格, 完全生成格的所有完備余素元之集是一個(gè)偏序集。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系類(lèi)似于Domain理論中的偏序集范疇與代數(shù)Domain范疇之間的關(guān)系(其中偏序集的理想和代數(shù)Domain的way-below緊元是紐帶)。

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Axiomatic systems of Alexandrov spaces

ZHANG Shanshan1， LI Fei2， YAO Wei1

(1.School of Science, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang，Hebei 050018， China；2.School of Science, Beijing Forest University, Beijing 100081， China)

In order to study internel axiomatic systems and ordered features of Alexandrov spaces, with the help of some existed results in topology and locale theory, by restricting the related structures into Alexandrov setting, some equivalent descriptions are obtained. The results show that Alexandrov spaces are categorically isomorphic to Alexandrov neighborhood systems, Alexandrov closure operators, Alexandrov interior operators and Alexandrov derived operators;T0Alexandrov spaces are isomorphic to posets and dual to complete-generated lattices. Alexandrov spaces can be completely characterized by neighborhood systems, closure operators, interior operators, derived system, the specialization order and the point-free order.

topology; Alexandrov space； neighborhood system； closure operator； interior operator； derivation operator； specialization order； complete-generated lattice

2016-12-12；

2017-03-08；責(zé)任編輯：張 軍

國(guó)家自然科學(xué)基金(11201112)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)專(zhuān)項(xiàng)資金項(xiàng)目(2017JC09)；河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目重點(diǎn)項(xiàng)目(ZD2016047)

張山山(1992—)，女，河北唐山人，碩士，主要從事拓?fù)鋵W(xué)與格論方面的研究。

李 扉副教授。E-mail: feifei_1004@bjfu.edu.cn；姚 衛(wèi)教授。E-mail：yaowei0516@163.com

1008-1542(2017)04-0352-08

10.7535/hbkd.2017yx04006

O189MSC(2010)主題分類(lèi)：54A

A

張山山, 李 扉，姚 衛(wèi).Alexandrov空間的公理體系[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2017,38(4):352-359. ZHANG Shanshan，LI Fei，YAO Wei.Axiomatic systems of Alexandrov spaces[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(4):352-359.