善用“變與不變”范式，深層建構(gòu)“分數(shù)”內(nèi)涵

陳軍艷

摘要：同一個教室，同一位教師，同一個知識點，不同的學生領(lǐng)悟到的本質(zhì)內(nèi)涵、掌握的層次和效果存在千差萬別，這都源于學生對于知識的本質(zhì)屬性以及這些屬性之間關(guān)系的體驗方式和識別路徑有區(qū)別。因此，如何讓學生在課堂中有效地識別到“知識的本質(zhì)屬性及它們之間的關(guān)系”就顯得尤為重要。本文將以分數(shù)的意義的建構(gòu)為例，采用多種“變與不變”的范式，將“平均分”“單位‘1”“分母、分子”這些關(guān)鍵的本質(zhì)屬性剝離出來，在變易的思辨過程中提升學生對這些本質(zhì)屬性及它們之間關(guān)系的認知空間，從而深層建構(gòu)分數(shù)的內(nèi)涵。

關(guān)鍵詞：變與不變；分數(shù)；本質(zhì)屬性

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）06-0107

“變”與“不變”是辯證存在的，“變”是絕對的，而“不變”是相對而言。 “不變”之中存在著“可變”，“可變”之處又不斷揭示著“不變”。

——題記

課堂不僅是跑道，更是學習、奔跑的過程，期間充滿了無窮的變易。眾所周知，相同的教師相同的課堂，不同的學生對同一知識點的體驗方式不同，領(lǐng)悟到的知識點的本質(zhì)也不一，掌握層次和學習效果自然就不一樣。那些能夠清楚認識到教學內(nèi)容的關(guān)鍵本質(zhì)屬性以及這些屬性之間關(guān)系的學生理解會到位得多。因此，作為教師，課堂上最為關(guān)鍵的就是能設(shè)法讓學生識別到“事物本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性及它們之間的關(guān)系”，并盡可能通過必要的“變與不變的范式”，讓學生體驗哪些方面變化，哪些方面保持不變，從而去開啟學生思辨和學習的認識空間，讓學生能在種種顯現(xiàn)和潛在的變易中識別出知識點的關(guān)鍵屬性，進而深刻領(lǐng)悟知識的內(nèi)涵與本質(zhì)。

分數(shù)的意義對于小學生來說是比較抽象的概念，五年級《分數(shù)的意義》一課主要是使學生經(jīng)歷概括分數(shù)意義的過程，理解分數(shù)表示多少的相對性，體會整體與部分的關(guān)系。那么，怎樣讓學生全方位、多角度體驗“平均分”，進而深入感悟“單位‘1”，理解“分母分子”的含義，無疑是學生抽象、歸納出分數(shù)的意義的基礎(chǔ)，也是教學中難啃的硬骨頭。

本文將從變易理論的角度，以多元化的活動為載體，就如何用“變與不變的范式”引導學生識別分數(shù)的本質(zhì)屬性，主動建構(gòu)分數(shù)的意義給予全新的詮釋。

一、低起點、細觀察，深入體驗“平均分”

古語有云：“重復是學習之母?！睂W習，本身就是不斷重復的過程，但并不是說學習能從一成不變的簡單重復中產(chǎn)生，重復中求新需要依靠變式的支撐。學生在全面認識分數(shù)的意義之前，已經(jīng)初步認識了分數(shù)，尤其對“平均分”有了一定的認識，在此基礎(chǔ)上我們不再是單純地讓學生分物體，而是在課前安排了下面的活動，也正期待學生在看似重復的學習活動中體驗“變與不變”的地方，識別出知識的本質(zhì)屬性。

【課前活動】請選擇你喜歡的圖，用你喜歡的方式表示出它的1/4。

（課前檢查中發(fā)現(xiàn)，學生基本都選擇前三個圖來完成涂色。）

師：為什么你們都喜歡前面的三幅，不喜歡最后一幅？

生1：因為第4幅圖沒有平均分。

生2：選第4幅表示不了1/4。

【思辨“變與不變”】

A. “不變”的是4個完全一樣的正方形，“變”的是4種不同的分法；

B. 所有圖形都被分成4個部分，而且前三幅是平均分，第四幅不是平均分。

此活動中采用對比這一范式，讓學生在自由選擇、創(chuàng)作、分享的過程中，在“變與不變”的思考中再次感受到：如果分的幾份中每一份的大小不一樣，其中的一份是不能隨便用幾分之一表示的；只有平均分成4份中的其中一份才能用分數(shù)1/4 來表示，從而讓學生更深入地體驗“平均分”的內(nèi)涵。

二、慢滲透、重過程，透徹感悟“單位‘1”

禪語有云：看山是山；看山不是山；看山仍然是山。教學亦當如此?！白哌M教材、走出教材、讓教材走進內(nèi)心”，唯有如此，才能將教材內(nèi)化加工，重新創(chuàng)造，方能達到“信手拈來，為我所用”的境界。在學生對“平均分”這個關(guān)鍵屬性有了深入體驗后，我們大膽而科學地對教材重組，從多個角度設(shè)計了較為開放的活動，為孩子逐層感悟“一個整體”、抽象出單位“1”提供了多元學習材料。

1. 自主創(chuàng)作，初步感知“一個物體表示一個整體”

【課堂活動1】“想一想”：除了這三幅圖，你還能用其他形式說明1/4的含義嗎？（展示學生畫圖作品如下）

師（指著作品1）：這個1/4是怎么來的？

生：就是把這個圓形平均分成4份，其中的1份就是1/4。

師（出示后三幅圖）：這些形狀、大小各不相同，都能用1/4來表示？為什么？

生：能。因為都是把這個物體平均分成4份，取的都是其中1份，所以都是這個物體的1/4。

師適時小結(jié)：也就是說無論什么形狀、大小如何，只要是把這個物體（或圖形）平均分成4份，取其中的1份就是這個物體的1/4。

【思辨“變與不變”】

A. 學生表示1/4的方式和手段在變化，有的是語言描述，有的是畫圖表示；“不變”的是其目的都是為了表示1/4。

B. 畫圖中不斷變化的是選取的素材（平面圖形，線段，實物等），“不變”的是都將這些素材平均分成4份，涂了或取了其中的1份。

此活動學生充分發(fā)揮自己的主觀能動性，自由提供了不同的表示方法，同時也為大家提供了多種“均分對象”，在匯報和展示的過程中引導學生去關(guān)注保持不變的方面，在思考中領(lǐng)悟：“無論是一個圖形、一條線段，還是一個蛋糕，原來都是將一個整體來平均分呀”，從而初步感知在數(shù)學上“一個物體表示一個整體”的表象。

2. 巧設(shè)沖突，自然生成“把多個物體看作一個整體”

【課堂活動2】“猜一猜”：用一張長方形紙遮住其中一部分，露出的紅色三角形是一個整體的1/4，你能想象這個整體是什么樣子的嗎？能把你的想法畫出來嗎？

生1（指著圖（1））：一個三角形是一個整體的，我認為這里一共有4個同樣的三角形，（停頓2秒），但是這4個同樣的三角形不能隨便連在一起，我就拼成了一個大的三角形，這樣看起來會整齊一些、規(guī)則一些。

生2（指著圖（2））：因為陰影部分的三角形是整體的，我覺得只要是4個這樣的三角形就是這個整體了。

師追問：你說只要是4個同樣的三角形就是這個整體了，所以畫成這樣，那我畫成這樣呢？（出示圖（3））幾秒靜寂，生小聲議論，基本都認定不行。

生1：這里的4個三角形不是一個整體，是4個。（眾生沉默）

生2：我覺得其實也不一定非得是連著的整體的，也可以是4個分著的。

生3：我認為這樣畫應該也可以，可以把4個三角形看成一個整體。

師故作疑惑：可是怎么看都更像4個三角形，不像一個整體。

生：把這4個三角形放到一個圈里。

師出示圖（4）：真是這樣，數(shù)學家們也是這樣想的，這個圈就叫做集合圈。圈起來，這4個三角形就是一個整體啦。

【思辨“變與不變”】

A. 學生所還原的“整體”的圖形在變化，但是不變的是都還原出4個完全一樣的三角形，而且這4個三角形組成一個圖形（大三角形或平行四邊形）。

B. 教師呈現(xiàn)的圖（3）是4個獨立的三角形，與學生所還原的“一個整體”不一樣；但還原的三角形都與紅色的三角形完全一樣，這一點是保持不變的。

有一種領(lǐng)悟，叫“柳暗花明”。此活動教師適時制造認知沖突，呈現(xiàn)“4個垂直擺放、相互獨立的三角形”，打破學生的已有認知“這個整體是由四個完全一樣的三角形組成，而且還得拼成一個完整的圖形”，讓學生在“變與不變”的沖擊下獲取豐富的感性認識，從混沌的狀態(tài)中認知到“不但一個物體可以表示一個整體，多個物體或者說一些物體也可以看做一個整體”，這個整體數(shù)學上稱之為單位“1”。同時也讓學生深刻體驗到雖然還原的這個整體呈現(xiàn)的方式各不一樣，但無論是拼成的一個圖形還是獨立的4個三角形，其核心本質(zhì)是不變的，那就是：都是把單位“1”平均分成4份，露在外面的紅色三角形就是其中的1份，也就是它的1/4。此活動中，教者不時捕捉到孩子眼睛里閃爍的點點光亮，不容置疑，如醍醐灌頂?shù)念D悟已然蔓延。

3. 變換角度，縱深詮釋“單位‘1的內(nèi)涵”

【課堂活動3】圈一圈，分一分：把你發(fā)現(xiàn)的1/4涂上顏色。

生獨立完成，師收集作品，展示后學生逐一匯報。

師適時追問：這1片花瓣、1朵花、2朵花，為什么都能表示1/4呢？共同點在哪？不同的地方又在哪呢？

生1：都是平均分成了4份，涂了其中的1份。

生2：這幾個同學選擇要分的花的朵數(shù)不一樣。

師追問：那也就是什么不同？

眾生：整體不同。

師：整體不同，所對應的每一份也不同。但無論怎樣不同，都是把這個整體看作單位“1”，將它平均分成4份，取其中的1份，這一份都能用來表示。

【思辨“變與不變”】

A. 學生選擇的單位“1”所對應的對象在變化，有的是1朵花，有的是4朵花、8朵花；不變的是都是將選擇的整體平均分成4份，涂了其中的1份。

B. 由于平均分的對象在不斷變化，即單位“1”在變化，所對應的每一份也隨著變化；但不變的是每一份都始終表示著這個整體的1/4。

有一種成長，叫“峰回路轉(zhuǎn)”。這個活動激起了學生強烈的求知欲，為各個層次的學生留足了思考的時間和空間，讓學生生成了很多精彩，對單位“1”的認知從混沌走向清晰。學生在操作、交流中觀察到變化的地方，同時關(guān)注到保持不變的方面，在對“變與不變”的思辨中領(lǐng)悟到：無論均分的對象是“1朵花”“4朵花”還是“8朵花”，這個單位“1”如何不同，都是將其平均分成4份，表示這樣的1份，所以，無論這1份是一片花瓣、1朵花還是2朵花，都可以用1/4來表示。此時教師順勢引導學生再次仔細觀察大家的作品，感悟其中變化的因素，學生從不同的角度思考歸納出：原來平均分的整體不同，對應的1/4也不同，從而多個角度地幫助孩子理解單位“1”的內(nèi)涵。

三、巧設(shè)計、重感知，巧妙闡釋“分母、分子”

有這樣一句話：“我聽過了，就忘記了；我見過了，就記住了；我做過了，就理解了?！笔堑模挥杏H自參與在有效的數(shù)學活動中，學生才能不斷地積累經(jīng)驗，提升觀察、驗證及推理概括的能力，從而促進學生思維的發(fā)展。在學生對單位“1”有了縱深的感悟之后，創(chuàng)設(shè)活動平臺，繼續(xù)剝離分數(shù)的本質(zhì)屬性。

【課堂活動4】把如圖的6只小船看作一個整體，創(chuàng)造出喜歡的幾分之一。

學生匯報出1/6、1/3、1/2的圖，

追問：這里涂了3只小船呀，應該是3/6吧？生1：是。

師：從圖中你怎么一眼就看出是，而不是呢？

生1：把這6只小船看成一個整體，這里平均分成了2份，1份就是3只小船，這3只小船就是這2份中的1份，也就是 。

生2：我覺得跟涂了幾只小船沒多大關(guān)系，跟分的份數(shù)和取的份數(shù)才有關(guān)系。

師：說得非常好！大家觀察1/6、1/3、1/2 ，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：平均分成幾份，分母就是幾。

（下轉(zhuǎn)第108頁）

師（指著1/6的作品）：如果現(xiàn)在再涂一只小船，就是……（2/6）；再涂一只呢？（3/6）；繼續(xù)往下涂呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：涂幾只小船，就是六分之幾，也就是分子就是幾。

生順勢歸納：分母就是平均分的份數(shù)，分子就是取的份數(shù)。

【思辨“變與不變”】

A. 不變的是都是把6只小船看作一個整體；變化的是平均分的份數(shù)不一樣。

B. 當平均分的份數(shù)不一樣時，分母在不斷變化；可是不變的是取的份數(shù)一樣，比如只取1份時，分子都是一樣的。

C. 當分的份數(shù)不變，分母保持不變；此時取的份數(shù)發(fā)生變化，分子也變了。

學生的發(fā)展是動態(tài)的過程，分母和分子是分數(shù)意義中極為關(guān)鍵的本質(zhì)屬性，這里讓學生在有序的反饋、思維的碰撞中，逐層剝離：觀察1/6、1/3、1/2，引導學生關(guān)注到分子不變時、分母這個變化維度，適時識別出“平均分成幾份，分母就是幾”這個本質(zhì)屬性；同時基于1/6教師適時追問：繼續(xù)涂還可以是幾分之幾？讓學生聯(lián)想到……，自然關(guān)注到分母不變時、分子隨著取的份數(shù)而變化這個表象。在此“變與不變”的思辨中，數(shù)學的抽象美、歸納美得到充分展現(xiàn)。

“變易”的過程就是教師不斷創(chuàng)新的過程，學生不斷思考的過程，教學不斷彰顯審美化的過程。這是一種思想與方法，也是一種水平與能力，更是一種專業(yè)追求。只要充分挖掘教材、讀懂學生、用心思考，教學中對學習內(nèi)容的“本質(zhì)屬性與相關(guān)屬性”處理模糊的現(xiàn)象終將得到質(zhì)的改變，我們的數(shù)學課堂也一定會在“變與不變”中告別不溫不火的無奈，釋放出真正的精彩！

參考文獻：

[1] 植佩敏，馬飛龍. 如何促進學生學習——變易理論與中國式教學[J].人民教育，2009（8）.

[2] 曹洪輝，李友中，馮子旭.運用“變易理論”改革數(shù)學教學[J].小學數(shù)學教育，2013（11）.

[3] 義務(wù)教育教科書.教師教學用書[M].北京：人民教育出版社，2014.

（作者單位：廣東省東莞市南城陽光第六小學 523000）