深入思考，化解圓錐曲線難題

朱海峰

[摘 要] 如何做好圓錐曲線的復(fù)習(xí)工作一直是高考復(fù)習(xí)中的重點內(nèi)容，通過對典型題目的一題多解以及相關(guān)變式問題的對比學(xué)習(xí)，可以對這類問題有更加深入的了解，對于圓錐曲線的復(fù)習(xí)顯然也大有裨益.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線；深入思考；一題多解

圓錐曲線作為高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在高考中占據(jù)重要地位. 但是學(xué)生對于這類問題的失分較多，所以在高考復(fù)習(xí)中針對這一問題需要做到對癥下藥. 通過不斷地強化訓(xùn)練，探究這類問題的一題多解，深入思考圓錐曲線的問題，必然能夠很好地解決它.

[?] 原題及解題策略

[?] 深入思考之另辟蹊徑

對于這道圓錐曲線問題進行深入思考，是否能有其他的方法來解決問題呢？如果首先求出M和N點的坐標，再利用兩條直線垂直的條件，是不是也能同樣解決問題？在此進行探索：

[?] 深入思考之聯(lián)想學(xué)習(xí)

進一步進行深入思考，本題是否有同類型的問題？如果將同類型的問題一一解決，做到對比學(xué)習(xí)，聯(lián)想學(xué)習(xí)，必然能夠提高高考復(fù)習(xí)的效率. 下面一道題即為相關(guān)的變式訓(xùn)練：

如圖2所示，在平面直角坐標系xOy中，

思路點撥：此題同樣具有極大的靈活性，可以通過多種方法解決. 在此只做相應(yīng)的思路點撥，具體的解題過程不再贅述. 一是利用求根公式，代入之后進行化簡；二是利用“消元”思想，代入之后化簡同樣也可以得到結(jié)果；三是構(gòu)造“韋達定理”中兩式的關(guān)系，同樣進行化簡.

[?] 深入思考之反思歸納

第一，活用轉(zhuǎn)化思想，避免繁雜計算

圓錐曲線問題一直是高中數(shù)學(xué)中的重點、難點，在高考中出現(xiàn)的頻率非常之高. 但是學(xué)生對這類問題的掌握存在很大的問題，究其原因，一是解題思路不清晰，二是由于這類問題計算過程比較復(fù)雜. 但是，若能活用轉(zhuǎn)化思想，將問題進行合理轉(zhuǎn)化，比起“暴力求解”，可以避免繁雜的計算.例如在原題求解的策略1和2中，將橢圓的方程先進行轉(zhuǎn)化，將+=1等價轉(zhuǎn)化為8x2+9y2-72=0，就可以避免更加復(fù)雜的計算. 關(guān)于利用轉(zhuǎn)化的思想簡化解題的例子不勝枚舉，說明活用轉(zhuǎn)化思想對解題確實大有幫助.

第二、培養(yǎng)計算能力，提高核心素養(yǎng)

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的基本計算不容忽視，許多學(xué)生由于基本功不扎實，對于有些題目即使有正確的解題思路，但是由于計算能力不足，還是得不到該得的分數(shù)，這豈不是非?？上? 例如學(xué)生在對本文中的原題進行求解時，即使能夠想到所用的解題思路，但是由于此題計算量比較大，對于基本功的要求比較高，故如果沒有扎實的基本計算能力，一切都是徒勞無功的.在平時的教學(xué)過程中，應(yīng)當重視學(xué)生基本計算能力的培養(yǎng)，只有這樣才能提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

第三、深入思考問題，領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美

對于數(shù)學(xué)問題，不能僅僅滿足于解決問題本身，解決此問題只是最基本的要求，還要進行更為深入的思考. 若能做到一題多解，通過多種方法來解決同一個問題，不僅有助于學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)知識，還能鍛煉學(xué)生的發(fā)散性思維. 例如本文中的兩道題，筆者都提出了多種解決問題的方法，全方位地思考了問題. 更為深入地思考問題，就是聯(lián)想到同類型的問題，做到解決一道題，而能夠掌握一類題. 例如本文中，通過多種方法解決原題之后，又聯(lián)想到同類型的題目，以做對比學(xué)習(xí).