淺析數(shù)學(xué)競賽中的抽象函數(shù)方程問題

任小平

[摘 要] 對于抽象函數(shù)及其函數(shù)方程問題的解答，其關(guān)鍵在于捕捉題目的信息特征，發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口，尋求合理、簡潔的解題方法，達到化繁為簡、化難為易的目的.

[關(guān)鍵詞] 抽象函數(shù)；結(jié)構(gòu)特征；解題方法

抽象函數(shù)及其函數(shù)方程問題越來越多地受到命題者的青睞，不僅要求對函數(shù)的本質(zhì)有著深刻的理解，而且解題方法靈活多變，求解技巧性強，同時涉及的范圍較廣，對學(xué)生掌握所學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系要求較高. 對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高要求，因此是數(shù)學(xué)競賽的熱點和難點.本文歸納了一些求解抽象函數(shù)的方法和技巧，以達到拋磚引玉的目的.

[?] 巧取特殊值，求解函數(shù)解析式

對于多個變量的抽象函數(shù)方程，可將其中的某個變量視為主元，進行恰當(dāng)?shù)馁x值，形成“關(guān)系鏈”，從而簡化運算，達到特殊引路，探求一般規(guī)律的目的和效果.

例1：求所有函數(shù)f：R→R，使得對所有的x，y∈R，有

評注：巧取特殊值，簡化運算，形成“關(guān)系鏈”，起到了“特殊探路把門敲，化繁為簡層次高”的效果，從而優(yōu)化解題技巧.

[?] 巧構(gòu)結(jié)構(gòu)式，求解函數(shù)解析式

對于一些多變量的抽象函數(shù)方程，當(dāng)變量的取值范圍對等時，往往可以通過變換變量的位置，將隱含的結(jié)構(gòu)關(guān)系式外顯化，然后通過外顯的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)，使問題得以轉(zhuǎn)化，達到解決問題的目的.

例2：設(shè)函數(shù)f：R→R，滿足f（0）=1，且對任意的x，y∈R，都有

f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2，則f（x）=________.

（2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題）

分析與解答：題此題中的函數(shù)方程含兩個變量x，y，而兩者關(guān)系對等，將兩者交換位置，則可得到另一個方程，在聯(lián)立兩個方程得到一個新的關(guān)系式；再結(jié)合條件即可求得解析式.

即令x=y，y=x，有f（yx+1）=f（y）f（x）- f（x）-y+2（x，y∈R），

結(jié)合條件中的f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2（x，y∈R），

解得f（x）-x=f（y）-y（x，y∈R）.

由于對任意的x，y都成立，

則f（x）-x=C（常數(shù)）.

又由于f（0）=1，

于是將x=0帶入上式，

解得C=1，從而f（x）=x+1.

評注：在解一些抽象函數(shù)方程、方程組時，通過變換、轉(zhuǎn)化，將內(nèi)在的信息特征外顯化，發(fā)現(xiàn)可用于構(gòu)造的因素，引入新的形式，借助新形式的性質(zhì)，使復(fù)雜的運算和推證變得容易處理，使問題變得清晰可解.

[?] 巧用換元法，求解函數(shù)解析式

對于一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的函數(shù)方程，利用變量代換的方法，將抽象的函數(shù)方程式轉(zhuǎn)化為新變量形式，以整體形式代入，轉(zhuǎn)化為各字母的方程組形式，從而解出具體的函數(shù)解析式.