零點分區(qū)法解不等式

董呂修

[摘 要] 在高中數(shù)學中，數(shù)軸標根法是解一元高次不等式的常用手段. 而這種方法是建立在多項式理論的基礎上得到的，因此有一定的局限性. 本文利用連續(xù)函數(shù)的介值定理，作為數(shù)軸標根法的一種推廣，給出了初等不等式（基本上可包括幾乎所有類型的不等式）的一種統(tǒng)一解法（筆者將此法稱為“零點分區(qū)法”），并結合幾個例子來談談它在不等式中的應用，以期對大家有所啟示.

[關鍵詞] 不等式；連續(xù)函數(shù)；介值定理；零點；分界點；統(tǒng)一解法

[?] 零點分區(qū)法及證明

為給出其證明，需要用到下面的引理：

引理1（介值性定理） 設函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）≠f（b），則對介于f（a）與f（b）之間的任意一個實數(shù)μ，都至少存在一點x0∈（a，b），使得f（x0）=μ.

為方便討論，用符號I表示區(qū)間，它可以是9種區(qū)間類型中的任何一種. 用不等式f（x）>0（或<0，≥0，≤0）表示初等不等式，它包括有理不等式（即整式不等式和分式不等式），無理不等式（特例絕對值不等式等），超越不等式（如對數(shù)不等式、指數(shù)不等式、三角不等式和反三角不等式）.

結合引理1及連續(xù)函數(shù)圖像的幾何直觀可以立即得到下列推論，它為零點分區(qū)法解不等式提供了理論依據(jù).

推論1 設函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，且f（x）≠0，?x∈I，則f（x）在I上恒正或恒負.

注：（1）由于連續(xù)函數(shù)在相鄰兩個零點（如果有的話）之間的區(qū)間上處處不為0，因此它在該區(qū)間（不包括端點）上保號；

（2）可由區(qū)間I內任意一點的函數(shù)值符號確定函數(shù)f（x）在I上的符號.

事實上，高中階段接觸到的函數(shù)主要是初等函數(shù)，而初等函數(shù)在其定義域的各子區(qū)間上連續(xù)，因此對絕大多數(shù)函數(shù)而言，推論1的連續(xù)性條件是滿足的.

基于上述理論可以歸納出如下用零點分區(qū)法解初等不等式的一般步驟：

（1）求出不等式的定義域（即為不等式兩邊函數(shù)的定義域的交集）；

（2）解不等式對應的方程f（x）=0，求出其根（注意驗根）；

（3）用方程的全部根將定義域分成若干個子區(qū)間；

（4）在各子區(qū)間內任取一點求出其函數(shù)值，根據(jù)推論1確定函數(shù)f（x）在各子區(qū)間上的符號；

（5）根據(jù)函數(shù)f（x）在各子區(qū)間上的符號，寫出不等式的解集.

注：從上述步驟可以看出，解不等式的實質就是解方程. 即不等式的解集的端點只可能是定義域的分界點或不等式相應方程的根.

[?] 零點分區(qū)法在不等式中的應用