深挖教材母題搭建思維腳手架提高復習效率

朱國暹

【摘要】美國著名數(shù)學家波利亞曾說：“一位專心的認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”挖掘教材母題，搭建思維腳手架，使復習課在原有知識的基礎上進行“橫向”延伸和擴展，使復習具有針對性和時效性，從而提高中考數(shù)學復習的效率.

【關鍵詞】挖掘；教材母題；案例分析；中考復習

一、由教材母題出發(fā)，確定專題復習的內容

縱觀歷年中考試題，幾乎都可以在教材中找到母題，所以在專題復習時針對歷年中考試題挖掘教材母題，確定專題復習內容，對教材母題加以變式、引申，真正吃透教材母題.才會使復習更有針對性和有效性.

二、案例分析

圖1案例如圖1，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10，點O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點旋轉，證明：無論正方形OMNP旋轉到何種位置，這兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值.（本題為華師大版八上P116第12題，略作改編）

選題說明定值問題是近幾年中考出現(xiàn)頻率比較高，同時難度又較大的類型.旋轉圖形中的定值問題難度更是大.

引申1將上例中的正方形改為邊長都等于4的菱形ABCD，∠B=60°.一個含60°角的三角尺的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉，與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)（如圖2）.

（1）在旋轉過程中，通過觀察或測量AE，AF的長度，你能得出什么結論？并證明你的結論；

（2）在旋轉過程中四邊形AECF的周長是否發(fā)生變化？如果沒有變化，請說明理由；如果有變化，請求出周長的最小值；

（3）若將中三角尺的60°角的頂點P在AC上移動且與點A，C都不重合，三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)時（如圖3），那么PE，PF之間又有什么數(shù)量關系？并證明你的結論.

簡析三個小題難度逐級提高，學生由母題出發(fā)很容易用全等的方法解決不變量的問題，教材母題的解決起到了為學生搭建思維腳手架的很好作用.進而拋出引申2.

引申2△ABC和△DBE是繞點B旋轉的兩個相似三角形，其中∠ABC與∠DBE，∠A與∠D為對應角.

（1）如圖4，若△ABC和△DBE分別是以∠ABC與∠DBE為頂角的等腰直角三角形，且兩三角形旋轉到使點B，C，D在同一條直線上的位置時，請直接寫出線段AD與線段EC的關系；

（2）若△ABC和△DBE為含有30°角的直角三角形，且兩個三角形旋轉到如圖5的位置時，試確定線段AD與線段EC的關系，并說明理由；

圖6（3）若△ABC和△DBE為如圖6的兩個三角形，且∠ACB=α，∠BDE=β，在繞點B旋轉的過程中，直線AD與EC夾角的度數(shù)是否改變？若不改變，直接用含α，β的式子表示夾角的度數(shù)；若改變，請說明理由.

簡析本題的解法不再局限于利用全等三角形解決問題，是對教材母題的進一步拓展，第（2）小題的解法用到了利用相似三角形從而得到AD與CE的關系.類似于第（2）小題，可得到在繞點B旋轉的過程中，直線AD與EC夾角的度數(shù)不改變，且∠AFE=（180-α-β）度.

中考專題復習應不局限于某種固定的方法，引申2在解決不變量問題中利用相似三角形也是其中的一種重要方法.

三、結語

中考專題復習課的教學對教師的備課提出了更深層次的要求，在備課中對教材母題進行深層次的挖掘、變式引申、拓展、再創(chuàng)造，為學生搭建思維腳手架，這樣既體現(xiàn)教師對教材內容的理解與闡釋；也有利于學生挖掘隱含問題的本質屬性，有利于學生將教材內容轉化為自己知識結構的組成部分，從而達到“做一題，通一類，會一片”的解題境界.

【參考文獻】

[1]徐小建.終結性復習課的總結技藝：“三多”與“三少”[J].中學數(shù)學教學參考：中旬，2014（6）：21-23.