為什么三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°？

彭柳萍

一、我的疑惑

證明“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”的方法一般有兩種。

方法一：

作直線L，使L平行于三角形的邊BC，（如圖1）

因?yàn)椤?+∠1+∠5=平角，

所以∠4+∠1+∠5=180°，（平角等于180°）

因?yàn)椤?=∠4，∠3=∠5；（兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

所以∠1+∠2+∠3=180°。（等量代換）

方法二：

延長(zhǎng)三角形的邊BA到點(diǎn)D，作直線L，使L平行于BC，（如圖2）

因?yàn)椤?+∠4+∠5=平角，

所以∠1+∠4+∠5=180°，（平角等于180°）

因?yàn)椤?=∠4，（兩條直線平行，同位角相等）

∠3=∠5；（兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

所以∠1+∠2+∠3=180°。（等量代換）

小學(xué)生還不具備這種“證明”所需要的知識(shí)基礎(chǔ)，在小學(xué)階段，得到“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”這一結(jié)論的教學(xué)過(guò)程一般是這樣的，先讓學(xué)生畫(huà)幾個(gè)不同類型的三角形，通過(guò)量一量、算一算，得出三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于或接近180°，再讓學(xué)生通過(guò)折一折、撕一斯、拼一拼，得到三角形三個(gè)內(nèi)角拼在一起剛好是一個(gè)平角，然后就得出結(jié)論。

每次聽(tīng)其他老師上這堂課或者自己教學(xué)這個(gè)內(nèi)容時(shí)，心中不免忐忑，這樣的教學(xué)科學(xué)嗎？通過(guò)對(duì)幾個(gè)具體的三角形折騰一番就得出結(jié)論，能讓學(xué)生信服嗎？有沒(méi)有既適合小學(xué)生的認(rèn)知水平，又能使學(xué)生更加信服的方法呢？我在教學(xué)中做了新的嘗試，取得了不錯(cuò)的效果。

二、我的嘗試

前面的步驟和原來(lái)的基本相同，在讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、算一算、撕一撕、折一折等活動(dòng)得出“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”這個(gè)結(jié)論后，我增加了下面這樣的環(huán)節(jié)。

師：大家還有什么疑問(wèn)嗎？

生：……

沉默了一會(huì)兒后，平時(shí)最愛(ài)“較勁”的一個(gè)學(xué)生舉起了手，我投去了贊許的目光。

生1：為什么三角形的內(nèi)角和都是180°？

師：有想法，誰(shuí)能回答？

生2：因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)角都能拼成一個(gè)平角呀！

生1：為什么三角形的三個(gè)角都能拼成一個(gè)平角呢？

生：哈哈……

一陣哄笑過(guò)后，大家陷入了沉默……

師：這確實(shí)是一個(gè)值得思考的問(wèn)題，為什么三角形有大有小，有長(zhǎng)有短，而內(nèi)角和都是180°呢？

……

我拿出了課前制作的教具。

師：這是用兩根木棒和一根橡皮筋做成的三角形（如圖3），誰(shuí)能利用它說(shuō)明為什么三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°？

我故意拉了拉兩根木棒的兩邊，使大家看清楚兩根木棒沒(méi)有釘死，是可以活動(dòng)的。

有人舉起了手。

師：請(qǐng)到上面邊演示邊說(shuō)明。

生：這個(gè)三角形有三個(gè)角，可以把上面這個(gè)角叫作角1，下邊兩個(gè)角分別叫作角2和角3，如果角1變大，角2和角3就會(huì)變小，角1繼續(xù)變大，角2和角3就會(huì)繼續(xù)變小，角1越來(lái)越接近180°，角2和角3就越來(lái)越接近0°，角1等于180°時(shí)，角2和角3就變成了0°，不管怎么變，它們的和都是180°。

隨著他的演示和說(shuō)明，學(xué)生的眼神漸漸變得明亮。

師：大家覺(jué)得他說(shuō)得有道理嗎？

生齊：有道理……

師：掌聲！

教室里響起熱烈的掌聲，上臺(tái)的同學(xué)自信地回到了自己的座位。

師：是啊，三角形其中一個(gè)角的度數(shù)發(fā)生了變化，必然會(huì)引起別的角的度數(shù)也隨著發(fā)生變化，而三個(gè)角度數(shù)的和總是不變的，請(qǐng)看大屏幕。

我讓學(xué)生觀看了幾組三角形的動(dòng)態(tài)變化圖，然后再問(wèn)。

師：你們還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：三角形的一個(gè)角變大，另外一個(gè)角或者兩個(gè)角就會(huì)變小。

生2：三角形的一個(gè)角變小，另外一個(gè)角或者兩個(gè)角就會(huì)變大。

生3：三角形的一個(gè)角變大，與這個(gè)角相對(duì)的邊也會(huì)變長(zhǎng)。

……

師：同學(xué)們的觀察非常仔細(xì)，講得很有道理，其實(shí)三角形不單有“內(nèi)角和等于180°”這個(gè)神奇的規(guī)律，還有許多知識(shí)等著我們?nèi)ヌ剿?，去發(fā)現(xiàn)呢！

……

三、我的反思

局限于小學(xué)生原有的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知水平，在小學(xué)階段很多數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)法進(jìn)行嚴(yán)密的論證，只能通過(guò)分析具體的例子，遵循從個(gè)別到一般，由具體到抽象的順序，用歸納總結(jié)的方法來(lái)獲得結(jié)論，但是，我們?cè)诮虒W(xué)中不能忘記，逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，在教學(xué)中，我們要給學(xué)生“多問(wèn)為什么”的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生的思維由膚淺走向深入，從表象走向?qū)嵸|(zhì)，使學(xué)生不滿足于底層次的“發(fā)現(xiàn)”止步不前，更不能讓學(xué)生徘徊在抽象思維的門(mén)外沾沾自喜，我們要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，了解學(xué)生的需求，利用他們的好奇心，培養(yǎng)他們的求知欲，在“具體”與“抽象”的夾縫中前行，不斷培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的思維水平。