不確定條件下能源替代問題研究

倉定幫 魏曉平

一、引言

經(jīng)濟發(fā)展、社會進步離不開能源投入，能源優(yōu)化配置問題是可持續(xù)發(fā)展的重要議題之一。數(shù)理經(jīng)濟學(xué)家Hotelling（1931）［1］發(fā)表的 《可耗竭資源經(jīng)濟學(xué)》一文可看做是研究能源優(yōu)化配置的開山之作。該文首次利用變分法討論了可耗竭資源的最優(yōu)開采問題，表明要使得可耗竭資源的價值達到最大的必要條件是資源的凈價格增長速度等于社會效益貼現(xiàn)率即所謂的r法則。當這個條件不滿足的時候，如當前開采所獲得收入在資本市場上進行投資，一年后的價值比將資源留在地下一年后開采所獲得的收益高時，資源的擁有者將會提高開采速度，但這一行為又會引起資源供應(yīng)量的增加，資源價格下跌。反之若資源的當前價格與未來價格的差距較大，將資源留在未來開采更加有利可圖，資源擁有者會減少供應(yīng)量。

Hotelling模型是理想化模型，資源擁有者根據(jù)對未來的預(yù)期決定對現(xiàn)有的資源進行跨期分配，該結(jié)論具有一定的合理性，但是資源系統(tǒng)的高度復(fù)雜性決定了模型在實際應(yīng)用和實證檢驗中總會碰到許多問題。上世紀七八十年代，全球性的能源短缺和日益嚴重的環(huán)境污染問題，推動了可耗竭資源的最優(yōu)配置理論的新發(fā)展，其中資源開采過程中不確定問題的研究受到了重視。

學(xué)者周德群和葛世龍 （2008）［2］認為資源跨期最優(yōu)配置是指在一個確定的周期內(nèi)，某種資源在各個時段最優(yōu)開采策略，即保證在整個周期內(nèi)取得最優(yōu)效用的總策略及其在各個時段的子策略，并且資源的跨期優(yōu)化配置涉及到后代人，由于不具備完全信息，更或者某些信息具有較大程度的不確定性，種種問題對資源開采的決策和管理帶來了困難。葛世龍和周德群（2007）［3］、 葛世龍等 （2008）［4］、 葛世龍等 （2010）［5］還指出資源優(yōu)化配置中涉及的不確定性體現(xiàn)在資源的儲量不確定性、需求不確定性、價格不確定性、政策不確定性等方面，并對這些問題做了系統(tǒng)的研究。楊海生等 （2005）［6］利用隨機數(shù)學(xué)方法分析了資源儲量不確定性對資源價格和開采速度的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)開采成本是資源價格變化的主要原因，而儲量的不確定對資源價格的變化不產(chǎn)生影響。國外學(xué)者Loury（1978）［7］假設(shè)資源的儲量具有某種概率分布，然后利用動態(tài)規(guī)劃方法研究了資源優(yōu)化配置問題。Pindyck（1980）［8］假定資源生產(chǎn)者只能根據(jù)當前狀態(tài)的儲量和市場需求做出決策，對未來的儲量和需求變化卻沒有完全信息，進而假設(shè)儲量和需求是服從某種形式的隨機過程，構(gòu)建了開采優(yōu)化模型，給出了 Hotelling規(guī)則的隨機形式。最終的結(jié)果是線性需求的不確定性對資源市場期望價格沒有影響，而當開采成本是儲量的非線性函數(shù)時，儲量的不確定性改變了價格的期望變化率。但是，如果需求是非線性時，需求和儲量的不確定性都會影響資源的動態(tài)開采路徑。

從長期來看，可耗竭資源必將被可再生資源所代替，能源替代問題一直是國內(nèi)外從事能源經(jīng)濟研究學(xué)者關(guān)注的重點。 Nordhaus（1973）［9］首次將后備替代技術(shù)引入經(jīng)濟模型，指出后備替代技術(shù)是一種可以不受儲量限制的能源使用模式，比如太陽能等可再生資源。Heal（1976）［10］指出后備替代技術(shù)是指未來人類使用的能源將轉(zhuǎn)向太陽能，但其高昂的生產(chǎn)成本可能阻礙商業(yè)化進程，需要大力進行技術(shù)投資，促進技術(shù)進步。 Tahvonen和Salo （2001）［11］考慮了不同發(fā)展時期可耗竭資源和可再生資源之間的過渡，指出從歷史的發(fā)展趨勢來看，社會發(fā)展必將經(jīng)歷可再生資源—可耗竭資源—可再生資源的發(fā)展模式。并說明在均衡的路徑上不可再生資源使用量先增大后減小。Giuseppe（2006）［12］研究了可耗竭資源和可再生資源在技術(shù)上的可替代程度的變化，重點考慮了技術(shù)進步對經(jīng)濟增長的影響。最后結(jié)果表明，若兩種能源之間技術(shù)上不能實現(xiàn)完全替代，則經(jīng)濟不能達到理論上的最優(yōu)發(fā)展路徑。學(xué)者魏曉平和謝鈺敏 （2001）［13］運用數(shù)學(xué)模型對資源的替代問題進行了定量分析，從經(jīng)濟角度推導(dǎo)出了替代發(fā)生的條件。后勇等 （2008）［14］以我國能源消費結(jié)構(gòu)中可再生能源的消費比例作為替代率，運用最優(yōu)控制理論建立了數(shù)學(xué)模型，在給定期望替代路徑的條件下，討論了可再生能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展路徑，給出了最優(yōu)的可再生能源投資策略。倉定幫和魏曉平（2014）［15］構(gòu)建了以可耗竭資源與可再生資源生產(chǎn)者利潤最大化為目標的隨機微分博弈模型，研究不確定性對能源市場均衡的影響。

顯然，可耗竭資源向可再生資源最優(yōu)轉(zhuǎn)換問題的研究具有重要價值。不確定性對資源的開采的影響程度如何，最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間出現(xiàn)在何時，以及轉(zhuǎn)換節(jié)點會受到哪些因素的影響等都是亟待解決的問題。當前系統(tǒng)研究這方面問題的文獻并不多見，受相關(guān)文獻啟發(fā)，本文主要在假設(shè)可耗竭資源的儲量及可再生能源的技術(shù)進步具有不確定性的條件下討論可耗竭資源向可再生資源最優(yōu)轉(zhuǎn)換問題。

二、模型

（一）可耗竭資源的開采

假設(shè)能源市場上僅存在一個開采企業(yè)，從初始時刻開始，企業(yè)致力于可耗竭資源的開采?？珊慕哔Y源的儲量具有不確定性，即在某個固定時刻生產(chǎn)者能夠知道當下的資源儲量，但是一旦開始開采生產(chǎn)者不能確切知道將來的可用儲量。假設(shè)儲量隨著時間隨機波動，服從下面的隨機過程：

本文假設(shè)政府對可耗竭資源的生產(chǎn)企業(yè)征收從價資源稅，稅率τ為外生變量。據(jù)上面的假設(shè)可知企業(yè)的收益函數(shù)π1＝π1（q1，S） 為：

企業(yè)面臨下面的最優(yōu)化問題：

上式對q1求導(dǎo)可得到該優(yōu)化問題的必要條件為：

情形1：不同的資源稅下的開采路徑。相關(guān)參數(shù)的取值為a＝1，b＝1，c＝1，η＝1.2，σ1＝0.04，ρ＝0.03，γ＝0.8。模擬得到τ＝3%和τ＝5%下的最優(yōu)開采路徑如圖1。圖中實線是資源稅為3%的最優(yōu)開采路徑，虛線是資源稅為5%的最優(yōu)開采路徑。

圖1 不同資源稅下的可耗竭資源開采路徑

情形2：不同不確定程度下的開采路徑。相關(guān)參數(shù)的取值為a＝1，b＝1，c＝1，η＝1.2，τ1＝5%，ρ＝0.03，γ＝0.8。模擬得到σ＝0.04和σ＝0.08下的最優(yōu)開采路徑如圖2。圖中實線是不確定程度為8%的最優(yōu)開采路徑，虛線是不確定程度為4%的最優(yōu)開采路徑。

圖2 不同不確定程度下的可耗竭資源開采路徑

情形3：不同價格彈性下的最優(yōu)開采路徑。相關(guān)參數(shù)取值為a＝1，b＝1，c＝1，σ＝0.04，τ1＝5%，ρ＝0.03，γ＝0.8。模擬得到η＝1.1和η＝1.2下的最優(yōu)開采路徑如圖3。實線是價格彈性為1.1的最優(yōu)開采路徑，虛線是價格彈性為1.2的最優(yōu)開采路徑。

情形4：不同成本儲量彈性下的最優(yōu)開采路徑。相關(guān)參數(shù)取值為a＝1，b＝1，c＝1，σ＝0.04，τ1＝5%，ρ＝0.03，η＝1.2。模擬得到γ＝1.1和γ＝1.2下的最優(yōu)開采路徑如圖4。圖中實線是儲量彈性為0.8的最優(yōu)開采路徑，虛線是儲量彈性為0.7的最優(yōu)開采路徑。

從上面模擬的四種情形中可以發(fā)現(xiàn)，儲量的不確定性和成本的儲量彈性對最優(yōu)開采路徑影響相對較小。而需求的價格彈性對最優(yōu)開采的影響程度較大，并且彈性越小社會福利越大，這就提醒我們在使用能源的過程中要降低對可耗竭資源的依靠，大力發(fā)展可替代資源，提高社會福利。

圖3 不同價格彈性下的可耗竭資源開采路徑

圖4 不同成本儲量彈性下的可耗竭資源開采路徑

（二）可再生資源開采

由于可再生資源的生產(chǎn)受到技術(shù)水平的約束，生產(chǎn)成本與技術(shù)水平相關(guān)，技術(shù)水平記為K＝K（t），且初始狀態(tài)的技術(shù)水平為K0。 類似 Yacov （2003）［18］，結(jié)合 “干中學(xué)”理論，假設(shè)技術(shù)進步具有不確定性，且服從如下的隨機過程：

其中q2表示可再生資源的開采量，h＞0，σ2＞0表示比例常數(shù)，dz2表示W(wǎng)iener過程。假設(shè)可再生資源的邊際成本函數(shù)為M（K）＝ωK-λ，則可再生資源生產(chǎn)者的利潤函數(shù)為：

此時可再生能源的生產(chǎn)者會面臨下面的隨機最優(yōu)化問題：

上式對q2求導(dǎo)即可得到該優(yōu)化問題的必要條件為：

進而有：

將式 （14）帶入到式 （12）中得到：

類似附錄1，方程 （15）有如下形式的解：

圖5 不同技術(shù)進步不確定下的可再生資源開采路徑

從圖5的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，可再生資源的開采路徑對技術(shù)不確定性比較敏感。粗略估計技術(shù)不確定性提高1%時，社會福利函數(shù)約能提高1.6%。

三、最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間

假設(shè)企業(yè)先按照方程 （1）進行可耗竭資源的開采，且在某個時刻T進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)向可再生資源的開采，從而企業(yè)的現(xiàn)值收益函數(shù)為：

要想得到方程 （18）的顯式解并不容易，因為該方程還必須滿足下面的邊界條件：

方程 （19）說明在最優(yōu)轉(zhuǎn)換時刻有數(shù)值V（S?）須等于最優(yōu)時刻的收益W（KT）-I。方程（20）為平滑條件，保證轉(zhuǎn)換時刻在某個時間出現(xiàn)。為了保證轉(zhuǎn)換具有實際意義，還需滿足條件V（S）≥W1（S）及為橫截性條件，指的是如果可耗竭資源的儲量無限，則企業(yè)沒有向開采可再生資源轉(zhuǎn)換的動機。

在表1的參數(shù)取值下，假設(shè)可再生資源技術(shù)水平的初始值KT＝1，模擬得到可再生資源的最優(yōu)開采路徑如圖6， 且有W2（KT）＝W2（1）＝37.46。

進一步在條件 （19）、 （20）的約束下，求解方程 （18） 得到S?＝10.73，此時社會福利函數(shù)V（S）的圖形如圖7所示。

表1 基本參數(shù)取值

圖6 可再生資源最優(yōu)開采路徑

圖7 最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間

四、敏感性分析

本部分在最優(yōu)轉(zhuǎn)化時間S?＝10.73的基礎(chǔ)上做敏感性分析，給出相關(guān)參數(shù)變動±5%后對最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間的影響程度，并據(jù)此分析單個參數(shù)變化對最終最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間影響程度的大小，敏感性分析的結(jié)果如表2所示。從敏感性分析的結(jié)果可以看出最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間與參數(shù)σ1，I成反比的關(guān)系，與參數(shù)τ1，γ，KT成正比關(guān)系。從表2的結(jié)果還可以發(fā)現(xiàn)幾個變量中成本的儲量彈性、轉(zhuǎn)換成本對最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間的影響較為顯著，而可耗竭資源儲量不確定性的大小對最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間的影響比較小。

表2 敏感性分析結(jié)果

五、結(jié)論

本文建立了一個可耗竭資源向可再生資源轉(zhuǎn)換的能源替代模型，模型中考慮了可耗竭資源的儲量不確定性、可再生資源開采技術(shù)不確定性及資源稅等相關(guān)變量對結(jié)果的影響。首先，利用最優(yōu)化方法分別模擬了可耗竭資源和可再生資源的最優(yōu)開采路徑；然后重點研究了最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間；最后進行靈敏度分析，給出了相關(guān)參數(shù)對最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)儲量的不確定性對可耗竭資源的最優(yōu)開采路徑影響程度較小，而技術(shù)因素對可再生資源的最優(yōu)開采路徑影響比較顯著。在最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間研究上發(fā)現(xiàn)成本的儲量彈性對最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間的影響比較大，而可耗竭資源儲量不確定性的大小對最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間的影響較小。由于可耗竭資源的環(huán)境外部性嚴重，實現(xiàn)能源的完全替代對國家的經(jīng)濟、環(huán)境的可持續(xù)發(fā)展尤為重要，盡快地實現(xiàn)能源的完全替代對實現(xiàn)社會的可持續(xù)發(fā)展尤為重要。從本文的分析過程結(jié)合表2敏感性分析結(jié)果可以看出通過下面幾個途徑實現(xiàn)替代時間節(jié)點的提前。

（1）σ1與S?存在反向變動關(guān)系，即可以通過降低可耗竭資源儲量的不確定性使得最優(yōu)轉(zhuǎn)換時間提前。例如可加大對可耗竭資源的勘探力度，較為全面地掌握可耗竭資源的儲量，降低不確定性。

（2）轉(zhuǎn)換成本I與S?呈反向變動關(guān)系，轉(zhuǎn)換成本越高轉(zhuǎn)換時間節(jié)點越延后，可以通過降低轉(zhuǎn)換成本實現(xiàn)能源替代的時間提前。

（3）τ1，KT與S?的同向變動關(guān)系顯示可以通過提高可耗竭資源的資源稅、加大可再生資源技術(shù)研發(fā)力度，降低開采成本，加快替代的步伐。

（4）γ與S?呈正向變動關(guān)系，說明在能源的使用過程中，要降低可耗竭資源成本的儲量彈性，避免經(jīng)濟發(fā)展中對某類可耗竭資源的過度依賴，盡量實現(xiàn)多種資源之間的相互替代。

［1］ Hotelling H.The economics of exhaustible resources.Journal of Political Economy ［J］.1931， 39 （2）： 137-175.

［2］周德群，葛世龍.可耗竭資源跨期配置中不確定問題研究進展 ［J］.經(jīng)濟學(xué)動態(tài)，2008，3：91-96.

［3］葛世龍，周德群.可耗竭資源市場中的不確定問題研究綜述 ［J］.中國人口·資源與環(huán)境，2007，17（5）：18-21.

［4］葛世龍，周德群，陳洪濤.儲量不確定對可耗竭資源優(yōu)化開采的影響研究 ［J］.中國管理科學(xué)，2008，16（6）：137-141.

［5］葛世龍，周德群，周明.后備技術(shù)不確定下耗竭資源動態(tài)優(yōu)化模型研究 ［J］.管理科學(xué)學(xué)報，2010，13（4）：23-28.

［6］楊海生，周永章，楊小強.不確定條件下礦產(chǎn)資源的最優(yōu)開采 ［J］.資源開發(fā)與市場，2005，21（5）：398-401

［7］ Loury G.The optimal exploitation of an unknown reserve ［J］.Review of Ecomonic Studies.1978， 45 （3）： 621-636.

［8］ Pindyck R.Uncertainty and exhaustible resource markets ［J］.Journal of Political Economy， 1980， 88 （6）： 1203-1225.

［9］ Nordhaus W.The Allocation of Energy Reserve ［J］.Brookings Paper on Economic Activity， 1973， 4 （3）： 529-570.

［10］ Heal G.The relationship between price and extraction cost for a resource with a backstop technology ［J］.Bell Journal of Economics， 1976， 7（2）： 371-378.

［11］ Tahvonen O， Salo S.Economic growth and transitions between renewable and nonrenewable energy resources ［J］.European Economic Review，2001， 45 （8）： 1379-1398.

［12］ Giuseppe D.Natural Resources Dynamics： Exhaustible and Renewable Resources ， and the rate of Technical Substitution ［J］.Resource Policy，2006，31 （9）：172-182.

［13］魏曉平，謝鈺敏.礦產(chǎn)資源與可再生資源之間替代模型研究 ［J］.管理科學(xué)學(xué)報，2001，4（2）：63-66.

［14］后勇，徐福緣，程緯.基于可再生能源替代的經(jīng)濟持續(xù)發(fā)展模型 ［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2008，28（9）：67-72.

［15］倉定幫，魏曉平.不確定條件下可耗竭資源與可再生資源博弈分析 ［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2014，44（5）：186-190.

［16］ Dang T， Wirl F.Investment under uncertainty： calculating the value function when the bellman equation cannot be solved analytically.Journal of E-conomic Dynamics and Control， 2004， 28 （7） ： 1437-1460.

［17］ Caporale G， Cerrato M.Using Chebyshev polynomials to approximate partial differential equations.Computational Economics， 2010， 35 （3）：235-244.

［18］ Tsur Y， Zemel A.Optimal transition to backstop substitutes for nonrenewable resources ［J］.Journal of Economic Dynamicsand Control， 2003， 27（4）： 551-572.