數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義和應(yīng)用

唐曉霞

【摘 要】 本文對數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義和應(yīng)用進行了討論。論述了數(shù)學(xué)史在教學(xué)過程中的融入對于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、理解水平的提高、應(yīng)用能力的提升及邏輯思維的拓展等方面的重要意義。并從初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的差異、數(shù)學(xué)發(fā)展史的概述、數(shù)學(xué)史在具體概念上的應(yīng)用這三個層面說明了數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)史；高等數(shù)學(xué)；意義；應(yīng)用

【Abstract】 This paper discusses the value and application of history in advanced mathematics teaching. It argues about the important effects of the history of mathematics to the students in promoting learning interests， improving level of understanding， increasing application ability and developing logical thinking. It also explains the application of the history of mathematics in advanced mathematics teaching from three angles： the differences between primary mathematics and advanced mathematics， an overview of mathematics history and the application of the history of mathematics in specific concepts.

【Key Words】 The History of Mathematics； Advanced Mathematics； Value； Application

【中圖分類號】 G64.26 【文獻標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2017）15-000-03

1.引言

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源和發(fā)展，及其與社會政治、經(jīng)濟和一般文化的聯(lián)系的學(xué)科。[1]

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的觀點由來已久，它在學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、理解水平的提高、應(yīng)用能力的提升及邏輯思維的拓展等方面有重要作用。但真正能把它高效地運用到課堂上的教師并不多，關(guān)于數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)上的應(yīng)用還需要更多的探討和實踐。本文將從數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義和應(yīng)用兩方面進行討論。

2.數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要意義，主要體現(xiàn)在：

（1）史料知識本身有豐富的人物、問題的產(chǎn)生和發(fā)展過程以及時代的社會背景等故事情節(jié)，極具趣味性。英國科學(xué)家丹皮爾（W. C. Dampier）曾經(jīng)說過：“再也沒有什么故事能比科學(xué)思想發(fā)展的故事更有魅力了?！盵1]因此數(shù)學(xué)史的融入可以很好地引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（2）對知識來源與發(fā)展的了解可以幫助學(xué)生更好的理解所學(xué)內(nèi)容。很多學(xué)生首先從心理上認(rèn)為高等數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實隔離，是不易理解的純理論；其次相對于初等數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容偏抽象復(fù)雜，對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力要求更高。對問題產(chǎn)生的歷史背景、前人思考和解決問題的軌跡的了解，不僅能提升知識的被接受力，也更容易助學(xué)生抓住所學(xué)知識的本質(zhì)。

（3）數(shù)學(xué)概念、方法和思想來源于現(xiàn)實，產(chǎn)生于人們對世界的認(rèn)知過程中，是在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題中不斷建立和完善起來的知識體系，有廣泛的實際應(yīng)用。通過對數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展及其與其他學(xué)科聯(lián)系的了解，可以提升學(xué)生的應(yīng)用能力。

（4）前人思考問題和解決問題的方法可以帶給我們很多啟示，為現(xiàn)在和未來的學(xué)習(xí)過程中遇到的其他問題提供很多新思路。

（5）對數(shù)學(xué)知識大廈建立過程和偉大科學(xué)家們的認(rèn)識能豐富學(xué)生的人文思想，提升自我立意和歷史責(zé)任感，激勵學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)爭取為人類進步做貢獻。

實際上，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的觀點早已被正式提出。1972年，在英國埃克塞特（Exeter）召開的第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）。[2]自此，該觀點被越來越多的人所熟悉，已有大量對其探索和研究的成果。但更多的成果旨在討論數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義，而對數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用的研究仍在不斷發(fā)展中，尚待更系統(tǒng)、有效、普遍認(rèn)可的實踐成果。并且，在實際教學(xué)中大部分教師并未在這一環(huán)節(jié)足夠關(guān)注，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂上的實際應(yīng)用較少。一個很重要的原因是教師對數(shù)學(xué)史知識掌握不夠或不能運用到位，所以教師要首先提高自身的數(shù)學(xué)史知識，然后要對行之有效的實施方法多做思考探索，不能將數(shù)學(xué)史這個在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要因素只停留在理論上。以下是我從四年的教學(xué)過程中總結(jié)的對數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)上應(yīng)用的一些見解。

3.數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

首先，數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)的第一次課堂上要發(fā)揮重要作用。從引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、讓學(xué)生對本課程性質(zhì)有初步了解以及培養(yǎng)學(xué)生端正的學(xué)習(xí)態(tài)度等多角度來說，把握好第一次課堂都很重要。第一次課上，在學(xué)習(xí)具體課程內(nèi)容之前，可以先介紹初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的差異，讓學(xué)生對即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容有所了解，對兩者之間的差異有心理準(zhǔn)備。也可以簡述數(shù)學(xué)發(fā)展史的關(guān)鍵階段，讓學(xué)生了解這門學(xué)科的建立過程。當(dāng)然不只是在第一次課上，對數(shù)學(xué)史各階段的了解也應(yīng)該持續(xù)滲透在整個課程中。

其次，在講解具體概念時，也要善于應(yīng)用數(shù)學(xué)史?？梢源┎逯v述問題產(chǎn)生的歷史背景、相關(guān)貢獻的數(shù)學(xué)家及概念的演化過程。不僅會使整個學(xué)習(xí)過程變得生動形象，還有利于學(xué)生在該知識上的學(xué)習(xí)理解，也能豐滿其內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想。

以下將從三方面具體說明如何將數(shù)學(xué)史應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中：初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的差異、數(shù)學(xué)發(fā)展史的概述、數(shù)學(xué)史在具體概念上的應(yīng)用。

3.1 初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的差異

初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生的歷史時期不同，它們研究問題的對象、方法也有著本質(zhì)的區(qū)別。概括的說，初等數(shù)學(xué)是常量數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)是變量數(shù)學(xué)。

3.1.1 研究背景

歷史上很長一段時間，人類處于原始社會和封建社會，生產(chǎn)力水平并不高，從中發(fā)展起來的數(shù)學(xué)大多用于解決一些靜止與規(guī)則類型的問題，也就是常量數(shù)學(xué)。16世紀(jì)開始，由于機械、航海和天文等領(lǐng)域技術(shù)發(fā)展的需要，如尋求行星軌道的近日點和遠(yuǎn)日點、確定炮彈的最大射程等，對運動與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題，從而導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)的誕生。[1]

3.1.2 研究對象

兩者在研究對象上從常量到變量有著質(zhì)的變化，圖1從幾何與物理的角度給出了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)研究對象上的一些比較（左側(cè)圖形代表初等數(shù)學(xué)，右側(cè)圖形代表高等數(shù)學(xué)）。[3]

3.1.3 研究方法

兩者的研究方法上也發(fā)生了質(zhì)的變化，以下通過兩例來感受其中的區(qū)別：[3]

（1）曲線的切線

初等數(shù)學(xué)中也有曲線的切線問題的討論，但都是基于靜態(tài)的觀點，將切線看作是與曲線只在一點接觸且不穿過曲線的“切觸線”而與動態(tài)變化無關(guān)。[1]高等數(shù)學(xué)中曲線的定義是割線的極限位置。如圖2，當(dāng)曲線上點P沿曲線往點M無限接近時，割線MP的極限位置是切線MT，從而利用割線斜率取極限來求切線斜率。

（2）任意平面圖形的面積

初等數(shù)學(xué)中只能利用已知面積公式計算規(guī)則圖形面積，高等數(shù)學(xué)中能計算任意平面圖形的面積。如圖3是一任意曲線所圍成的平面圖形，用單位網(wǎng)格分割該圖，被小正方形所覆蓋部分面積易求，因此求該圖面積關(guān)鍵在于求陰影部分這類小曲邊形的面積。如圖4，將這類曲邊形分割后用若干小矩形面積之和近似曲邊形面積，該近似值取小矩形在軸上的小區(qū)間長度無限縮小時的極限即為所求曲邊形面積。

3.2數(shù)學(xué)發(fā)展史的概述

綜合時代順序、數(shù)學(xué)內(nèi)容、社會背景等因素，數(shù)學(xué)史可分為以下四階段：

（1）數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展（公元前6世紀(jì)前），

（2）初等數(shù)學(xué)時期（公元前6世紀(jì)---16世紀(jì)），

（3）近代數(shù)學(xué)時期（或稱變量數(shù)學(xué)建立時期，17世紀(jì)---18世紀(jì)），

（4）現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期（1820---現(xiàn)在）。[1]

早期數(shù)學(xué)是人類從生產(chǎn)活動中產(chǎn)生的數(shù)與形的概念，具有代表意義的是埃及、美索不達米亞數(shù)學(xué)中算術(shù)、幾何的發(fā)源，其中不乏各類進制、分?jǐn)?shù)計數(shù)、面積與體積的計算法則等先人的智慧。

初等數(shù)學(xué)發(fā)展有幾個關(guān)鍵時期：希臘時期、東方時期、歐洲文藝復(fù)興時期。

希臘數(shù)學(xué)中論證幾何蓬勃發(fā)展。泰勒斯（Thales of Miletus）與畢達哥拉斯（Pythagoras of Samos）開創(chuàng)了論證數(shù)學(xué)的先河；歐幾里得（Euclid of Alexandria）的《原本》創(chuàng)立了歷史上第一個數(shù)學(xué)公理體系；阿基米德（Archimedes）的數(shù)學(xué)著作集中探討了與面積和體積計算相關(guān)的問題，如運用窮竭法證明了與球的面積和體積有關(guān)的公式；阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）的傳世之作《圓錐曲線論》提出了我們現(xiàn)在通用的橢圓、雙曲線和拋物線概念等。

以中國、印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)為代表的中世紀(jì)東方數(shù)學(xué)，有著強烈的算法精神。中國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》已經(jīng)給出了勾股定理的證明；《九章算術(shù)》在算數(shù)、代數(shù)和幾何三方面都有突破性的貢獻，如方程組的消元法、一些規(guī)則平面圖形的面積和立體圖形的體積計算；劉徽的“割圓術(shù)”推算出了圓周率近似值，其后祖沖之對球體體積和圓周率進行了進一步計算等。印度數(shù)學(xué)以算術(shù)、代數(shù)為軸心，在算術(shù)方面，廣泛使用了十進位值制記數(shù)法，并發(fā)明了印度——阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)符號，一直到現(xiàn)在世界各國都在使用；代數(shù)方面，印度人在求解一般方程和不定方程上有不少技巧。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)對初等代數(shù)學(xué)和三角學(xué)做出了創(chuàng)造性的貢獻。

文藝復(fù)興時期的歐洲數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)向近代數(shù)學(xué)過渡的一個轉(zhuǎn)折點，在各個領(lǐng)域都有著了不起的進展。在代數(shù)方面，意大利數(shù)學(xué)家塔塔利亞（Niccolo Fontana）、卡爾丹（G. Cardano）對三次方程求解，費拉里（Ferrari Lodovico）對四次方程的求解都進行了系統(tǒng)、深入的研究。在三角學(xué)方面，繼阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)之后，德國數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus Johannes）完成了包括平面三角和球面三角的《三角全書》，使三角學(xué)徹底地獨立于天文學(xué)。在幾何方面，恢復(fù)了幾何與實踐的聯(lián)系，意大利數(shù)學(xué)家阿爾貝蒂（L. B. Alberti）從建筑和繪畫的需要出發(fā)，提出了透視法的數(shù)學(xué)原理，開創(chuàng)了一個嶄新的領(lǐng)域——透視幾何學(xué)，為以后射影幾何開辟了道路。

近代數(shù)學(xué)時期又稱變量數(shù)學(xué)建立時期，該時期最大的一件事是微積分的創(chuàng)立，它也被譽為“人類精神的最高勝利”[1]。17世紀(jì)開始，由于機械、航海和天文等領(lǐng)域技術(shù)發(fā)展的需要，對運動與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題。一大批科學(xué)家都致力于尋找有效的無窮小算法，牛頓（Isaac Newton）和萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上先后獨立發(fā)明了微積分。但微積分創(chuàng)立之初概念并不清楚嚴(yán)格，在之后的18世紀(jì)，微積分才進一步深入發(fā)展并逐漸嚴(yán)格化，也刺激和推動了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生，如微分方程、微分幾何。大學(xué)時期高等數(shù)學(xué)所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要就是這一階段發(fā)展起來相關(guān)概念。

到了19世紀(jì)，代數(shù)、幾何、分析這三大領(lǐng)域都取得了突飛猛進的發(fā)展。微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)格化、近世代數(shù)的問世、非歐幾何的誕生、集合論的創(chuàng)立都是這一時期的成就。[3]在這些變革與積累的基礎(chǔ)上，20世紀(jì)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出指數(shù)式的飛速發(fā)展?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)已成為分支眾多的、龐大的知識體系，主要在純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算數(shù)學(xué)這三方面，并表現(xiàn)出更高的抽象性、更強的統(tǒng)一性、更深入的基礎(chǔ)探討。[1]

3.3數(shù)學(xué)史在具體概念上的應(yīng)用

在具體概念講解時，除了要講清知識內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)，還要注意傳達概念問題產(chǎn)生的歷史背景、相關(guān)貢獻的數(shù)學(xué)家及概念的演化過程。以下通過極限的定義和無窮級數(shù)這兩個內(nèi)容做演示。

3.3.1 極限的定義

在極限的定義這一概念上，讓很多學(xué)生感到理解困難的是“”和“”定義，且不明白為何直觀上很好理解的概念卻要給出這樣抽象的定義。我想對這一概念形成過程的了解可以幫助學(xué)生解開這兩個疑惑。

極限概念的形成可以追溯到兩千多年前，我國莊子的名句“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”中已經(jīng)蘊含了極限的思想，還有劉徽的割圓術(shù)，古希臘人的窮竭法等都是早期極限思想的代表。

到了17世紀(jì)，由于生產(chǎn)力發(fā)展迫切需要能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具。一大批科學(xué)家都致力于尋求相關(guān)算法，極限思想開始進一步發(fā)展。牛頓與萊布尼茨創(chuàng)立了微積分，并試圖以極限概念作為其基礎(chǔ)。但他們當(dāng)時也還沒完全弄清極限的概念，極限觀念僅限于直觀的語言描述：“如果當(dāng)無限增大時，無限地接近于常數(shù)，就說數(shù)列的極限為。”雖然人們?nèi)菀捉邮苓@種描述性語言，但是，這種定義沒有定量的給出兩個“無限過程”之間的聯(lián)系，不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)。[4]也正因為當(dāng)時缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑和攻擊。因為隨著微積分應(yīng)用的廣泛和深入，遇到的問題日益復(fù)雜，如研究天體運行的軌道等問題已經(jīng)超出直觀范圍，在這種情況下，嚴(yán)格的極限定義就顯得十分必要。

直到19世紀(jì)。法國數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy Augustin Louis）比較完整的闡述了極限概念及其理論，后經(jīng)德國數(shù)學(xué)家威爾斯特拉斯的進一步加工，才得到我們現(xiàn)在所用的“”定義：“如果對任何，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，都有，則稱數(shù)列的極限為?！?這個定義借助不等式，通過和之間的關(guān)系，定量地、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義是嚴(yán)格的，可以作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)。

3.3.2 無窮級數(shù)

無窮級數(shù)這一章的內(nèi)容也是學(xué)生理解上的一個難點。一是從高中數(shù)列的有限項的和到現(xiàn)在無限項的和，直觀上不易理解；二是級數(shù)種類、審斂方法多，容易混亂；三是為什么要將函數(shù)展成冪級數(shù)或傅里葉級數(shù)，看似不是更復(fù)雜了嗎？因此有必要給學(xué)生介紹一些級數(shù)理論的歷史發(fā)展幫助理清思路。

在古希臘無限性概念的早期探索時期，級數(shù)概念已經(jīng)開始萌芽。芝諾（Zeno of Elea）提出了四個著名的悖論，其中有趣的阿基里斯（Achilles）追烏龜悖論中，若假設(shè)，則就是級數(shù)的和是否存在的問題。[5]我國戰(zhàn)國時期莊子的名句“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”也蘊含了級數(shù)的思想。阿基米德在拋物線弓形求面積中利用窮竭法，將拋物線弓形的面積用一系列內(nèi)接三角形的面積的和來“窮竭”，實際上就是等比級數(shù)的求和問題，但當(dāng)時阿基米德用一間接的有限證法來完成了他的窮竭法證明，避開了無窮。這些時期還沒有出現(xiàn)真正意義上的無窮級數(shù)概念。

到了14世紀(jì)，奧雷姆（Oresme Nicole）指出了等比級數(shù)當(dāng)公比小于1時收斂，當(dāng)公比大于等于1時和為無窮，發(fā)散，并證明了調(diào)和級數(shù)發(fā)散。雖然沒有形成級數(shù)的具體概念，但對級數(shù)的研究推進了一大步。

17-18世紀(jì)，微積分理論蓬勃發(fā)展的同時，無窮級數(shù)的研究開始被更多的數(shù)學(xué)家關(guān)注。牛頓將無窮級數(shù)運用到了他的流數(shù)論中，由二項式定理得到了，，，，和等許多函數(shù)的級數(shù)展開式，萊布尼茨也獨立地得到了，和等的級數(shù)展開式。另外擺在數(shù)學(xué)家面前的問題之一是函數(shù)表的插值，為了適應(yīng)航海、天文學(xué)和地理學(xué)的進展，要求三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和航海表的插值有較大的精確度。泰勒（Brook Taylor）把Gregory—Newton內(nèi)插公式結(jié)合函數(shù)可導(dǎo)性發(fā)展成一個將函數(shù)展成無窮級數(shù)的最有力的方法。[6]但這一時期的數(shù)學(xué)家在級數(shù)方面的工作大都還是形式上的，對級數(shù)的收斂和發(fā)散問題還沒有足夠重視，也沒有給出級數(shù)系統(tǒng)的理論。

19世紀(jì)初期，在數(shù)學(xué)家們展開數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作中，柯西是第一個認(rèn)識到無窮級數(shù)理論并非多項式理論的平凡推廣，而應(yīng)當(dāng)以極限為基礎(chǔ)建立起完整理論的數(shù)學(xué)家。他比較嚴(yán)格地給出了完整的級數(shù)理論，并給出了收斂的精確定義。19世紀(jì)之后無窮級數(shù)作為極重要的工具，在數(shù)學(xué)、物理、天文等專業(yè)學(xué)科上的發(fā)展上有著至關(guān)重要的作用，如進行科學(xué)計算上的數(shù)值逼近、在通信工程中利用傅里葉級數(shù)展開處理周期信號等。

數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用除了以上三點，還可以在在教學(xué)中穿插數(shù)學(xué)家的故事和言行。比如介紹阿貝爾定理時，先介紹阿貝爾（Niels Henrik Abel）一生的經(jīng)歷：阿貝爾的一生是短暫且艱辛的，他27歲時與世長辭，但他卻在方程論方面做出了杰出的貢獻，并且還是橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始人之一。再比如講到歐拉（Leonhard Euler）方程時，可以講講歐拉的故事：他是歷史上寫論文最多的數(shù)學(xué)家，但在他28歲時噩運降臨在他身上——一只眼睛失明；在56歲那一年，他又雙目失明、妻子逝世，這樣的雙重打擊并沒有減少他對數(shù)學(xué)的激情，他依然在奮斗。通過口述，他兒子記錄的形式計算，他堅持了20年，直到最后一刻。[7]

也還可以在在教學(xué)中給同學(xué)們介紹一些歷史上的趣味問題，如芝諾關(guān)于無限思想的四個著名悖論、世界三大數(shù)學(xué)猜想等，既能引起學(xué)生興趣，也能帶動學(xué)生勤思考。

4. 結(jié)語

我們現(xiàn)在所學(xué)習(xí)的知識是千百年來人類智慧的結(jié)晶，當(dāng)然在學(xué)習(xí)過程中會遇到困難、挫折，即使這樣我們在心態(tài)上也不必灰心消極，因為這些思想方法曾是經(jīng)過千百年來一代又一代聰明的數(shù)學(xué)家們不斷積累建立起來的，豈非一朝一夕就能學(xué)透徹。但同時在行動上也不能放松，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是前人發(fā)現(xiàn)總結(jié)的已知規(guī)律，與他們當(dāng)時在未知中探索的困難相比微不足道，不應(yīng)該放棄努力。同時，除了要認(rèn)真學(xué)習(xí)課程中的知識，也要爭取為人類知識的進步做出自己的貢獻。

參考文獻：

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