數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

韓玉紅

摘要：數(shù)形結(jié)合思想貫穿著整個高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的始終，同時它在高考中占有非常重要的地位。所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是在研究問題時把數(shù)和形結(jié)合起來考慮。通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，能夠使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的同時注意遵循等價性原則、雙向性原則、簡單性原則。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想方法 數(shù)學(xué)解題 應(yīng)用策略

一、引言

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識的高度概括，是學(xué)生解決問題的手段。最常用的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想。其中，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的地位尤為重要，是數(shù)學(xué)思想方法的精髓之一。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生在1964年1月撰寫的《談?wù)勁c蜂巢的結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》用一首詩完美的闡述了數(shù)形結(jié)合的價值和本質(zhì)，即“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離。”

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用十分廣泛，運用數(shù)形結(jié)合思想可以解決高中數(shù)學(xué)中的與集合、函數(shù)、方程與不等式、三角函數(shù)、向量、線性規(guī)劃、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等有關(guān)的問題?？v觀歷年高考題，數(shù)形結(jié)合思想在歷年高考題中的體現(xiàn)逐漸加強。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題思想，使學(xué)生在解題時有效的運用數(shù)形結(jié)合思想，做到舉一反三、觸類旁通。

二、數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用原則

數(shù)形結(jié)合的思想方法中數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化時，要借助于基本的知識和方法才能實現(xiàn)，如果對基本知識和方法了解不深刻，就會容易犯錯。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法需要掌握以下原則。

1.等價性原則

在數(shù)形結(jié)合的過程中，數(shù)和形的轉(zhuǎn)化要遵循等價原則，即數(shù)和形所反應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系是一一對應(yīng)的。注意轉(zhuǎn)化過程要等價，避免定義域擴大或縮小。在畫圖時，注意對交點，極大（?。┲迭c，最大（小）值點，數(shù)軸等的精確描繪。

2.雙向性原則

在運用數(shù)形結(jié)合思想解題時，進行幾何直觀分析時應(yīng)該與代數(shù)計算相結(jié)合，“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，用直觀的幾何反應(yīng)抽象的公式，用精確的代數(shù)規(guī)范幾何圖形。

3.簡單性原則

“以形助數(shù)”進行由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換時，應(yīng)盡可能使構(gòu)造的圖形簡單、易懂?！耙詳?shù)解形”在代數(shù)計算中盡量避免繁瑣復(fù)雜的計算。

三、數(shù)形結(jié)合思想解決的問題

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中解題的主要方法之一，下面是利用該方法可以解決的高中數(shù)學(xué)問題。

（1）解決集合問題。在關(guān)于集合之間的關(guān)系和運算的教學(xué)中，使用Venn圖是重要的，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)、掌握、運用集合語言和其他數(shù)學(xué)語言。

（2）解決函數(shù)問題。函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。要求掌握幾種不同增長的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、反函數(shù)等），另外，數(shù)形結(jié)合還可以解決函數(shù)和方程的解的問題。

（3）解決方程與不等式問題。處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數(shù)的交點問題；處理不等式時，從題目的條件和結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。

（4）解決三角函數(shù)問題。單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，借助它的直觀，可以使學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的概念和性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

（5）解決線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標函數(shù)的最值的問題，在解題時注意運用數(shù)形結(jié)合思想。

（6）解決數(shù)列問題。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式和前n項和的公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，借助函數(shù)圖像對數(shù)列進行直觀分析。

（7）解決解析幾何問題。解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)。解析幾何的研究對象是幾何圖形（平面解析幾何研究的是曲線），研究方法是用代數(shù)方法研究幾何解析幾何所要解決的主要問題有兩個：一是根據(jù)結(jié)合幾何性質(zhì)求出曲線的方程，這體現(xiàn)了幾何向代數(shù)的轉(zhuǎn)化；二是根據(jù)方程研究曲線，這體現(xiàn)了由代數(shù)向幾何的轉(zhuǎn)化。

（8）解決立體幾何問題。教師可以使用具體的長方形的點、線、面之間的關(guān)系作為載體，使學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上認識空間中的一般的點、線、面之間的位置關(guān)系，通過對圖形的觀察、實驗和說理，使學(xué)生進一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)和判定方法。立體幾何中用坐標的方法將點、線、面的性質(zhì)和相互關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為純粹的代數(shù)問題。

四、數(shù)形結(jié)合思想在高中教學(xué)中的典型應(yīng)用

分析：此題根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，講求函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為

幾何圖形問題，把利用幾何圖形的性質(zhì)把結(jié)論還原到函數(shù)問題。

此題最關(guān)鍵的是對函數(shù)的轉(zhuǎn)化，如果學(xué)生對距離公式有比較深刻的認識，那么就能夠解出這種類型的題。

分析：單位圓是表示三角函數(shù)的重要依托，本題將分式轉(zhuǎn)化為斜率，使解題過程清晰、簡明。此外，以后解題時遇到平方和式可轉(zhuǎn)化為距離，分式可轉(zhuǎn)化為斜率。

分析：通過已知，在坐標上畫圖，在解題時設(shè)的未知量在圖像中用輔助線表示出來，再將所得的未知點帶入方程中，求得結(jié)果即可，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。向量具有兩個明顯的特點—“形”的特點和“數(shù)”的特點，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁，向量的坐標實際是把點和數(shù)聯(lián)系了起來，進而可把曲線與方程聯(lián)系起來。這樣就可以用代數(shù)方程研究幾何問題，同時也可以用幾何的觀點處理某些代數(shù)問題，在教學(xué)中注意這種思想方法的運用。

五、結(jié)語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用十分廣泛。在解題時對于某些較復(fù)雜的問題，可以運用數(shù)形結(jié)合思想將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題求解，大大簡化了解題過程，尤其在選擇題和填空題中更有其優(yōu)越性。因此，在日常的教學(xué)中，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的意識，靈活運用數(shù)形結(jié)合，提高解題能力。

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