淺析Excel在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中的應(yīng)用

楊麗+于詠梅

摘要：通過(guò)Excel等計(jì)算機(jī)軟件可以解決《高等數(shù)學(xué)》中一些用常規(guī)方法無(wú)法解決的問(wèn)題，同時(shí)也可以驗(yàn)證《高等數(shù)學(xué)》中一些不太容易理解的原理。這種實(shí)踐過(guò)程可以培養(yǎng)大學(xué)生以數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)，以軟件為工具來(lái)解決現(xiàn)實(shí)中形形色色的問(wèn)題的能力，并逐漸養(yǎng)成以近似為目標(biāo)的“工程思想”。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；Excel；編輯公式；近似計(jì)算

《高等數(shù)學(xué)》是高校理工科各專業(yè)普遍開設(shè)的重要課程，是一門偏重于計(jì)算的基礎(chǔ)學(xué)科，是學(xué)習(xí)后繼課程如大學(xué)物理、系統(tǒng)建模和現(xiàn)代科技知識(shí)的基礎(chǔ)，也是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)素質(zhì)進(jìn)行綜合培養(yǎng)和提高的關(guān)鍵課程.數(shù)學(xué)軟件作為《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)的輔助工具，是對(duì)《高等數(shù)學(xué)》的補(bǔ)充和完善.它使一些過(guò)去只能通過(guò)思維和想象領(lǐng)會(huì)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，得到直觀的表示和處理，一些與數(shù)據(jù)處理有關(guān)的繁難運(yùn)算，通過(guò)計(jì)算機(jī)得以簡(jiǎn)化，這對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律的掌握、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)命題的深刻認(rèn)識(shí)有重要作用.

長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)的教學(xué)工作都強(qiáng)調(diào)對(duì)基本理論的掌握與訓(xùn)練，習(xí)題的解決就是使用書本上的原理與方法的一個(gè)實(shí)踐過(guò)程。比如：一元高次方程的求解要分解因式，定積分要求出被積函數(shù)的原函數(shù)。學(xué)生都固化了這種解決問(wèn)題的模式，當(dāng)他們面對(duì)要解決的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，情況可能不會(huì)像想象的那樣--也許一個(gè)高次方程根本無(wú)法分解因式，一個(gè)被積函數(shù)可能求不出其原函數(shù)，這種情況出現(xiàn)的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于教材中所見(jiàn)過(guò)的習(xí)題。

基于學(xué)以致用的原則，我認(rèn)為在《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)工作中要適當(dāng)引入這類“不太優(yōu)美”的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決辦法。一般認(rèn)為，專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件或者程序設(shè)計(jì)可以解決這類問(wèn)題，但現(xiàn)實(shí)是大一的學(xué)生還不具備這方面的知識(shí)與能力。

Excel 完全可以解決這類問(wèn)題，除了易學(xué)易用之外，還非常直觀?，F(xiàn)列舉幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題說(shuō)明解決這類問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程：

例1）求方程 x3 + 1.1x2 + 0.9x - 1.4 = 0 在 （0，1） 之間的一個(gè)近似解。

顯然這個(gè)三次方程是無(wú)法分解因式求根的，使用Excel 解決步驟如下：

①在A2 單元格中輸入0，在A3 單元格中輸入0.01，然后同時(shí)選中A2 和A3 單元格，下拉至A102，這樣就得到了自變量0、0.01、0.02、……0.99，1，如圖1 所示：

圖1

②在B2 單元格中輸入公式（=POWER（A2，3）+1.1*POWER （A2，2）+0.9*A2-1.4），如所示：

圖2

③這樣就得到了當(dāng) x = 0 時(shí)方程左邊的值，選中B2 單元格，下拉至B102，就得到了不同的 x 所對(duì)用的值，同時(shí)可以知道方程的根介于0.67 至0.68 之間，如圖3 所示：

圖3

④插入散點(diǎn)圖可以進(jìn)一步了解函數(shù)f （x）= x3 + 1.1x2 + 0.9x - 1.4 在區(qū)間（0，1）之間的變化規(guī)律，如圖4所示：

圖4

在教學(xué)過(guò)程中除了強(qiáng)調(diào)Excel 的基本使用方法，還要學(xué)生學(xué)會(huì)基本的公式編輯，如POWER（num，n）的意義。

例2）用矩形法、梯形法和拋物線法求定積分 的近似值

這個(gè)問(wèn)題在定積分的第一節(jié)，學(xué)生此時(shí)還不知道牛頓-萊布尼茨公式，用Excel 解決此問(wèn)題可以使學(xué)生對(duì)定積分的基本概念有更加深刻的理解，同時(shí)為以后使用更高級(jí)的數(shù)學(xué)軟件打下良好的基礎(chǔ)，尤其是加深對(duì)拋物線（辛普森）法的理解：

①了解矩形法、梯形法和拋物線法的基本理論，并編制 x及f （x） ，如圖5 所示：

圖5

②分別在單元格B17、F17 和I17 中編輯公式，如圖6 至圖8所示：

圖6

圖7

圖8

通過(guò)預(yù)先告訴學(xué)生這個(gè)定積分的真實(shí)值為圓周率 π ，可以進(jìn)一步得到在定積分的近似計(jì)算時(shí)拋物線法優(yōu)于梯形法，而梯形法優(yōu)于矩形法；

例3）傅里葉級(jí)數(shù)展開式的驗(yàn)證：傅里葉級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)后期的教學(xué)內(nèi)容，大多數(shù)學(xué)生是以“套公式”這種被動(dòng)的模式來(lái)學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的，并對(duì)把簡(jiǎn)單函數(shù)展開成復(fù)雜函數(shù)這一過(guò)程表示“不屑”，所以教師除了說(shuō)明傅里葉公式在人類科學(xué)史上重要性之外，最好尋求一種直觀的方式讓學(xué)生看到此公式的意義。

設(shè) f （x） 是周期為4 的周期函數(shù)，它在 [-2，2） 上的表達(dá)式為

將 f （x） 展開成傅里葉級(jí)數(shù)，并做出函數(shù)的和函數(shù)的圖形。

根據(jù)公式可得：

用Excel 表示上述和函數(shù)稍微有些麻煩，因?yàn)槭菬o(wú)窮項(xiàng)的和，這里只求前10 項(xiàng)的和，隨著分母2k-1 的逐步增大，余項(xiàng)的和將越來(lái)越小。下面用三張圖片表示這個(gè)求和的過(guò)程，如圖9至圖12 所示：

圖9 （需要注意 x 的定義域，將 x =0 的行刪除）

圖10

圖11

圖12（以單元格E3 的公式編輯說(shuō)明每個(gè)單元格的編輯公式）

圖13前十項(xiàng)的和及近似圖形如圖：

從圖可以看出，前10 個(gè)正弦波的疊加已經(jīng)比較接近函數(shù)的圖像。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)第七版上冊(cè)）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)第七版下冊(cè)）[M]. 北京：高等數(shù)學(xué)出版社，2014.

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