數(shù)理結(jié)合解決電學(xué)圖象問題

李鴻

摘 要：電學(xué)圖象是中考、競賽中解決問題的重要工具和考查內(nèi)容，利用數(shù)學(xué)中直角坐標(biāo)系知識結(jié)合物理意義分析圖象中的圖線，通過數(shù)理結(jié)合“湊公式”利用斜率和“面積”、遵循規(guī)律“湊數(shù)字”、尋找方程“湊圖線”等解決相關(guān)問題，形成解決相關(guān)電學(xué)問題通用的思維方法，并提高學(xué)生解答物理問題的思維能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)理結(jié)合；解決；電學(xué)圖象

物理圖象能方便形象地表示一個物理量隨另一個物理量的變化規(guī)律，物理圖象通常是利用數(shù)學(xué)中的直角坐標(biāo)系來表示，在物理電學(xué)中有很多應(yīng)用，是中考、競賽的重要內(nèi)容之一.

1 數(shù)理結(jié)合“湊公式”

如圖1所示的數(shù)學(xué)圖象中，傾斜的直線表示y與x成正比，直線的斜率k=yx.在物理圖象中，橫軸、縱軸表示的物理量不同，圖象的物理意義不同.

在解答物理圖象相關(guān)問題時，先要理解圖象中的橫軸、縱軸表示的物理量及其單位.圖2所示圖象中，傾斜直線的斜率k=yx=UI，可以“湊”成公式R=UI ，則直線斜率表示定值電阻R=U1I1=U2I2=ΔUΔI.圖3所示圖象中，傾斜直線斜率k=yx=IU （注意圖2、圖3兩圖象區(qū)分），可以“湊”成公式IU=1R，則直線斜率表示定值電阻的倒數(shù)（或?qū)w的導(dǎo)電性能）.

例1 如圖4所示的電路中，電源電壓保持不變，電壓表和電流表的示數(shù)分別用U、I表示，定值電阻R2和整個電路消耗的電功率分別用P、P總表示.如圖5所示的圖象中，反映物理量之間的關(guān)系錯誤的是（ ）

分析：圖中變阻器與R2串聯(lián)，設(shè)電源電壓為U電源、電流表示數(shù)為I、電壓表示數(shù)為U，R2消耗電功率P =I 2R2=U2R2，則PI2=R2等于定值，對應(yīng)圖線為傾斜的直線，圖A合理；P =U2R2對應(yīng)數(shù)學(xué)圖象y =kx 2（k為定值），對應(yīng)圖象為拋物線，圖B合理.整個電路消耗電功率P總=U電源I =U電源 UR2，則P總I=U電源等于定值，對應(yīng)的圖線為傾斜的直線，圖C合理；P總U等于定值，對應(yīng)的圖線為傾斜的直線，圖D錯誤.

圖2的U -I、圖3的I-U圖象中，還可以“湊”成公式P =UI，圖線與橫軸圍成的“面積”表示電功率（某一電壓下、對應(yīng)的電流兩點“坐標(biāo)”乘積）.利用此方法解題，比單純的理論推導(dǎo)，思維要清晰、簡潔很多.

例2 小明在進行“測量小燈泡電功率”的實驗測得如下數(shù)據(jù).你認(rèn)為該燈泡“實際電壓是額定電壓一半時的電功率P1”和“實際電流是額定電流一半時的電功率P2”的大小關(guān)系是P1P2（選填“大于”、“小于”或“等于”）.

分析：根據(jù)實驗數(shù)據(jù)或?qū)嶒灲?jīng)驗畫出如圖所示的圖象，圖6中陰影面積表示實際電壓為額定電壓一半時的電功率P1，圖7中陰影面積表示實際電流為額定電流一半時的電功率P2（實際作圖中，可以將兩圖作在一個圖中，便于比較），顯然P1>P2.

2 遵循規(guī)律 “湊數(shù)字 ”

如圖8、9所示的圖象中，曲線都表示y隨x增大而增大，但圖8中的y隨x增大的越來越快，圖9中的y隨x增大的越來越慢（虛線表示曲線上該點的切線對應(yīng)斜率）.圖10、13中的曲線表示用電器的電阻隨電壓的增大而增大，圖11、12中的曲線表示用電器的電阻隨電壓的增大而減小.

對于曲線，其規(guī)律只能“點”（該點對應(yīng)的橫坐標(biāo)）與“點”（該點對應(yīng)的縱坐標(biāo)）對應(yīng).在串聯(lián)電路中，如果只有兩個元件，元件有圖11～13中的曲線（如果兩元件的電流和電壓關(guān)系在兩個圖象中，將兩元件的電流和電壓關(guān)系畫在同一圖中，可以有效地分析和解答問題），可以根據(jù)串聯(lián)電路中電流相等的規(guī)律，分析圖中電流相等線（對應(yīng)的直線）與圖中的圖線的交點坐標(biāo)（對應(yīng)的電壓），只有能“湊”成兩電壓之和等于電源電壓的才是符合要求的“點”.

在并聯(lián)電路中，如果只有兩個元件，分析圖中電壓相等線（對應(yīng)的直線）與圖中的圖線的的交點坐標(biāo)（對應(yīng)的電流），只有能“湊”成兩支路的電流之和等于干路電流的才是符合要求的“點”.

例3 如圖14甲所示，當(dāng)開關(guān)S接a時，移動滑動變阻器的滑片P，根據(jù)測出的電流、電壓值，畫出了定值電阻R0的U-I圖象；當(dāng)開關(guān)S接b時，同樣根據(jù)測出的電流、電壓值，畫出了燈泡L的U-I圖象，如圖乙所示.

（1）求定值電阻R0的阻值；

（2）將R0與燈L串聯(lián)接在6 V的電源兩端時，求燈絲的實際電阻值；

（3）將R0與燈L并聯(lián)接入電路并調(diào)節(jié)電源電壓，當(dāng)R0消耗的電功率為4.9W時，燈L恰好正常發(fā)光，求燈L的額定電功率.

分析：解答“將R0與燈L串聯(lián)接在6V的電源兩端”一類題的關(guān)鍵是利用“串聯(lián)電路中電流相等、總電壓等于各元件兩端電壓之和”的特點，利用圖象中電流相等（0.4A豎直線）上對應(yīng)的電壓（2V、4V）之和為6V兩個特殊點“湊數(shù)字”來解答.

解：（1）由圖乙知：U0=2V時，I0=0.2A

∴R0=U0I0=10Ω

（2）分析圖象可知R0與L串聯(lián)接在6 V電源兩端時，IL=0.4A，燈兩端電壓UL=2V

∴RL=ULIL=5Ω

（3）R0與L并聯(lián)接入電源，R0兩端電壓

U0′=PR0=4.9W×10Ω=7V

∵R0與RL并聯(lián)且燈正常發(fā)光

∴UL額=U0′=7V

由圖象可知此時：IL額=0.75A

∴L額定功率

PL額=UL額IL額=7V×0.75A=5.25W

3 尋找方程“湊圖線”

數(shù)學(xué)中，如果已知函數(shù)關(guān)系式，可以用描點法在圖象中畫出相應(yīng)的圖象.如果電學(xué)中的兩個物理量符合函數(shù)關(guān)系式（可以結(jié)合物理知識求出這個關(guān)系式），數(shù)學(xué)圖象就變成對應(yīng)的物理圖象，“湊”成需要的圖線，再利用圖線來解決問題.

例4 如圖15甲所示為一燈泡兩端的電壓與通過它的電流的變化關(guān)系曲線.如圖乙所示，將兩個這樣的燈泡并聯(lián)后再與10Ω的定值電阻R0串聯(lián)，接在電壓為8V的電源上（不計電流表和電源的內(nèi)阻），求：通過電流表的電流值以及每個燈泡的實際功率.

分析：由圖甲中燈泡的伏安特性曲線知燈泡的電阻溫度升高而增大.設(shè)圖乙中每個燈泡兩端電壓為U、電流為I，由并聯(lián)電路電流規(guī)律知電流表示數(shù)為2I，電阻R0兩端電壓為2IR0，則電源電壓U總=U +2IR0，再將U總=8V、R0=10Ω代入上式整理得一次函數(shù)U =8-20I，采用描點法把該直線圖15上畫出，可得圖16所示圖象.

由圖16可知這兩條圖線的交點為U1=2V、I1=0.3A，同時滿足了電路結(jié)構(gòu)和元件的要求，此時通過電流表的電流值IA=2I1=2×0.3A=0.6A，所以每個燈泡實際功率P =UI=2V×0.3A=0.6W.

解題小結(jié)：初中電學(xué)中，需要計算或分析電路中消耗電能元件可分為四類：①定值電阻（對應(yīng)的U-I或I-U圖象是一條傾斜的直線）、②可變電阻（滑動變阻器、電阻箱、受溫度影響的電阻如燈絲的電阻、熱敏電阻、光敏電阻等，對應(yīng)的U-I或I-U圖象是一條曲線）、③電動機（電能主要轉(zhuǎn)化為機械能）、照明元件（電能主要轉(zhuǎn)化為光能）、④充電電池設(shè)備（電能主要轉(zhuǎn)化為化學(xué)能）.只有定值電阻整條直線對應(yīng)歐姆定律，其他元件能否使用歐姆定律需要看條件分析.但所有的電路中，串聯(lián)電路的電流、電壓規(guī)律，并聯(lián)電路的電流、電壓規(guī)律都可以使用.

類似例4的題目，同一元件同一工作狀態(tài)時，其電流、電壓和電阻等相同.用不同的方法得出的同一元件的圖線的交點必將對應(yīng)同一元件同一工作狀態(tài)的電流、電壓和電阻等物理量.

數(shù)學(xué)知識是解答物理問題中最常用的工具之一，結(jié)合物理規(guī)律，利用圖象處理實驗數(shù)據(jù)、得出規(guī)律，利用圖象解答相關(guān)的問題是學(xué)生需要培養(yǎng)的重要能力，也是在高中物理的學(xué)習(xí)中需要的能力.