光滑拋物面中細桿平衡問題的研究

陳玉奇

(江蘇省姜堰中等專業(yè)學校,江蘇 泰州 225500)

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光滑拋物面中細桿平衡問題的研究

陳玉奇

(江蘇省姜堰中等專業(yè)學校,江蘇 泰州 225500)

利用力學知識結(jié)合數(shù)學推導,得出了均質(zhì)細桿在光滑拋物面中的平衡條件和平衡位置,并對細桿的穩(wěn)定平衡位置進行了較為詳細的證明．

拋物線; 均質(zhì)細桿; 穩(wěn)定平衡

拋物線是一種非常重要的圓錐曲線,很多資料對拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用的研究已經(jīng)達到了相當完美的程度,但是拋物線的力學性質(zhì)對我們來講卻比較陌生．如一根均質(zhì)細桿放置于光滑拋物面內(nèi),其受力情況如何?桿的平衡位置有何特點?本文將對此進行分析研究．

1 細桿在拋物面中的平衡條件及位置的分析

圖1

將一根長為L的均質(zhì)細桿AB放入光滑拋物面內(nèi),如圖1,現(xiàn)分析細桿的受力情況．

設(shè)拋物面的軸截面方程為x2=2py,式中p為拋物線的焦準距,且p>0,并設(shè)細桿只在這條拋物線內(nèi)運動;細桿AB所在的直線方程為y=kx+b;細桿AB與拋物線的兩個交點為A(x1,y1)、B(x2,y2)．

細桿AB的受力情況如圖1所示,該細桿受A、B兩處的彈力和自身的重力而平衡,根據(jù)三力匯交原理可知,桿平衡時,彈力N1、N2和重力G的作用線必相交于一點,記為D．

A點和B點的切線斜率分別為

所以AD所在的直線方程為

(1)

BD所在的直線方程為

(2)

聯(lián)立(1)、(2)式得兩直線交點D的橫坐標為

(3)

由前面分析可知,細桿中點的橫坐標與xD相等,即

(4)

pk=2kb.

(5)

可知(5)式成立是細桿受力平衡的充要條件．

具體有以下幾種情況.

(1)k=0,(5)式恒成立,與L無關(guān),即細桿水平放置,必然平衡．

(2)k→∞,細桿直立于拋物線頂點豎直放置,只受二力而平衡．

又因為

(6)

運用韋達定理可求得

代入(6)式,有

(7)

綜合以上分析可知:

(1) 當L≤2p時,細桿只有兩個平衡位置,即k=0時細桿水平放置(該處是穩(wěn)定平衡位置,且當L=2p時,細桿過拋物線焦點);k→∞時細桿豎直放置．

2 穩(wěn)定平衡位置的證明

設(shè)細桿的質(zhì)量為m,以拋物線頂點為勢能零點,則桿的勢能為

(8)

(9)

系統(tǒng)勢能在穩(wěn)定平衡的平衡位置處有極小值.

(1) 當k→∞時,細桿直立于拋物線頂點是不穩(wěn)定平衡,不必討論．

(2) 當k不趨于∞時,將(9)式中的V對k求導得

分析可得以下幾種情況:

(10)

圖2

由以上分析可知,當L≤2p時,細桿只有兩個平衡位置,其中k=0(水平放置)是穩(wěn)定平衡位置,k→∞(豎直放置)是不穩(wěn)定平衡位置．

圖3

3 用拋物線的光學性質(zhì)證明細桿的平衡特點

由拋物線的光學性質(zhì)可知，從拋物線焦點發(fā)出的光,經(jīng)過拋物線反射后,反射光線都平行于拋物線的對稱軸．

我們可將細桿看成經(jīng)過拋物線焦點的光線,此時應(yīng)有L≥2p．

圖4

如圖4,設(shè)AC、BE是過A、B兩點且與y軸平行的直線,可視為反射光線．由光的反射定律可知,AD、BD分別是∠CAB和∠EBA的角平分線,而AC∥BE,則可知∠DAB+∠DBA=90°,從而∠ADB=90°,△ADB為直角三角形．

過D點作DF平行于y軸,與AB交于F點,可證得∠ADF=∠DAF,∠FDB=∠DBF,從而AF=FD=FB,故F是直角三角形ADB斜邊AB上的中點(AB的重心),即細桿在A、B兩處所受彈力的作用線和自身重力的作用線交于點D．由三力匯交原理可知,細桿此時處于平衡狀態(tài)．

由此可得,細桿只要過拋物線焦點傾斜放置必然平衡,且該位置還是穩(wěn)定平衡位置．

4 結(jié)論

將一根長為L的均質(zhì)細桿放入開口向上的光滑拋物面內(nèi),設(shè)細桿只在過軸截面的拋物線內(nèi)運動，桿的平衡情況如下.

(1) 如果細桿的長度L小于或等于拋物線的通徑,即L≤2p時,細桿只有兩個平衡位置,即k=0時細桿水平放置,該處是穩(wěn)定平衡位置,且當L=2p時細桿過拋物線焦點;k→∞時細桿豎直放置,但不是穩(wěn)定平衡位置．

2016-12-12)