一道靜摩擦力試題的多種正解和誤解分析

周化海 黃紹書

(六盤水市第23中學(xué),貴州 六盤水 553001)

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·復(fù)習(xí)與考試·

一道靜摩擦力試題的多種正解和誤解分析

周化海 黃紹書

(六盤水市第23中學(xué),貴州 六盤水 553001)

對網(wǎng)上激烈熱議的一道關(guān)于靜摩擦力的測試題進(jìn)行詳細(xì)分析,并給出其多種正確解法及錯誤解法．同時,對一些相關(guān)問題予以說明．

靜摩擦力; 分析; 二次旋轉(zhuǎn); 二面角; 投影面積

1 問題及背景

圖1

題目.在水平桌面上放置一正方形薄木板abcd,在木板的正中間放一質(zhì)量為m的木塊．先以木板的ad邊為軸緩慢將木板轉(zhuǎn)θ角,再以ab邊為軸將木板向上緩慢轉(zhuǎn)θ角,如圖1所示．整個過程中木塊沒有滑動,則轉(zhuǎn)動后木塊受到的摩擦力大小為

這是網(wǎng)上最近激烈熱議的一道關(guān)于靜摩擦力的測試題．

2 分析的思路

這是一道看似簡單,實(shí)則是頗具難度的試題．它對數(shù)學(xué)知識的儲備要求較高,必須要有一定的空間想象力和二面角的思維,并能正確求出涉及到的二面角,才能給出正確的結(jié)果．

這道練習(xí)題的求解關(guān)鍵通常是找出木板經(jīng)二次旋轉(zhuǎn)之后與水平面之間的夾角,即木板與水平面構(gòu)成的空間二面角．

3 正確的解析

現(xiàn)將討論的幾種比較好的正確解法進(jìn)行梳理,以飧讀者．

解法1：設(shè)木塊在初始平面1的位置O到正方形各邊的距離為L,則

木板第1次繞ad轉(zhuǎn)θ角到平面2,令這時Oa與平面1的夾角為α,如圖2所示，那么

圖2

圖3

如圖3所示，木板第2次繞ab轉(zhuǎn)θ角到平面3時,Oa與平面2的夾角顯然亦為α,因此Oa與平面1的夾角必為2α．所以,木塊此時受到的摩擦力大小為

f=mgsin2α=2mgsinαcosα=

從而,選項(xiàng)(D)正確．

解法2：設(shè)木板的初始位置為平面1,并令設(shè)正方形的邊長為L,則正方形的面積為

S=L2.

木板第1次繞ad轉(zhuǎn)θ角到平面2時,正方形在平面1的投影面積為

S1=Scosθ=L2cosθ.

木板第2次繞ab轉(zhuǎn)θ角到平面3時,正方形在平面2的投影面積亦為

S2=Scosθ=L2cosθ.

因此,此時正方形在平面1的投影面積為

S3=S2cosθ=L2cos2θ.

設(shè)平面3與水平面1之間夾角為φ,則有

S3=L2cosφ，

那么

cosφ=cos2θ.

所以,木塊此時受到的摩擦力大小為

同理,選項(xiàng)(D)正確．

圖4

解法3：設(shè)木板的初始位置為平面 1，第1次繞ad轉(zhuǎn)θ角的位置為平面2，第2次繞ab轉(zhuǎn)θ角的位置平面3，且平面3與水平面1之間夾角為α．令木塊重力在各個平面上的法向投影分別為N1、N2、N3,木塊受到的摩擦力為f,如圖2—圖4所示．那么

N1=mg，

N2=N1cosθ=mgcosθ，

N3=N2cosθ=mgcos2θ.

且N32+f2=(mg)2，

所以,選項(xiàng)(D)正確．

這一解法避開求木板經(jīng)2次旋轉(zhuǎn)后與水平面之間的夾角α．但求出摩擦力f后,可根據(jù)f=mgsinα，

得到平面3與水平面1之間夾角α滿足

圖5

解法4：設(shè)木板的初始位置平面的法向量OZ為單位長度1,第1次轉(zhuǎn)動平面時法向量轉(zhuǎn)θ角變?yōu)镺Q,第2次轉(zhuǎn)動平面時法向量亦轉(zhuǎn)θ角變?yōu)镺P,如圖5所示．令OP與OZ的夾角為α角,那么

所以

因此

因而,木塊此時受到的摩擦力大小為

故,選項(xiàng)(D)正確．

這4種解法簡繁各異,但都能達(dá)到殊途同歸的效果．

4 隱蔽的錯誤

圖6

在討論中,還給出一些比較隱蔽的錯誤解法,我們摘取其中比較典型的兩例,供同行參考,以求共同提高．

錯解1：設(shè)木板先后繞ad、ab轉(zhuǎn)動θ角之后與水平面之間的夾角為α,如圖6所示．那么

因此

所以,木塊受到的摩擦力大小為

從而得出選項(xiàng)(B)正確．

錯解2：設(shè)正方形木板的邊長為L．那么,木板以ad邊為軸將木板轉(zhuǎn)θ角后,則b點(diǎn)比a點(diǎn)高Lsinθ;木板再以ab邊為軸將木板轉(zhuǎn)θ角后,同理c點(diǎn)比b點(diǎn)高Lsinθ．令此時ac與水平面之間的夾角α,那么

因此,木塊受到的摩擦力大小為

因而,選項(xiàng)(B)正確．

這兩種分析方法的錯誤隱蔽性,在于木板經(jīng)二次轉(zhuǎn)動之后,均認(rèn)為正方形的b點(diǎn)與d點(diǎn)等高．

5 思考與結(jié)語

物理教學(xué)中必須加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力培養(yǎng),這是培養(yǎng)學(xué)生物理核心素養(yǎng)的要求所在,這也就要求物理教師有足夠的數(shù)學(xué)知識儲備．

眾多物理QQ群已經(jīng)成為物理教師專業(yè)發(fā)展的網(wǎng)絡(luò)平臺,通過這一平臺能使教師的思想和專業(yè)素養(yǎng)都較快的提升．

本文是物理QQ群全體教師討論的結(jié)晶,筆者僅是給出其中一種簡易解法的談?wù)撜咧唬诖?特別感謝四川鄧學(xué)軍老師、湖北許文老師、江西涂德新老師以及北京王小老師的有益討論．

2017-01-11)