關(guān)注基本模型 彰顯問題本源
——勾股定理“總統(tǒng)證法”的幾何模型在解競賽題中的應(yīng)用

☉寧夏中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校 張 寧

關(guān)注基本模型 彰顯問題本源
——勾股定理“總統(tǒng)證法”的幾何模型在解競賽題中的應(yīng)用

☉寧夏中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校 張 寧

一、模型呈現(xiàn)

1876年，美國第20任總統(tǒng)伽菲爾德（JamesAbram Garfield）利用兩個(gè)相同的直角三角形驗(yàn)證了勾股定理. 1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法.1881年，伽菲爾德就任美國第20任總統(tǒng)，后來人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)證法”.

如圖1，將兩個(gè)相同的直角三角形拼成如圖所示的直角梯形，兩個(gè)直角三角形斜邊之間的夾角等于90°.設(shè)BC=DE=a，AB=CD=b，AC= CE=c.

這種驗(yàn)證勾股定理的方法通常稱為“總統(tǒng)證法”.其實(shí)，這種證法是將“畢達(dá)哥拉斯證法”中的圖形截取了一半，如圖2所示.因此，勾股定理的“總統(tǒng)證法”與“畢達(dá)哥拉斯證法”的本質(zhì)相同.

模型分析：從圖形方面來看，圖1有三個(gè)最基本的特征，一是有兩個(gè)全等的直角三角形，即Rt△ABC≌Rt△CDE；二是△ACE是等腰直角三角形，AC=CE，∠ACE=90°；三是四邊形ABDE是直角梯形.從思想方法來看，“總統(tǒng)證法”體現(xiàn)了兩種較為重要的數(shù)學(xué)思想方法，一是體現(xiàn)了富比尼（G.Fubini）原理，即“算兩次”的數(shù)學(xué)思想方法；二是體現(xiàn)了面積方法在解決問題中的作用.

“總統(tǒng)證法”中構(gòu)造的幾何圖形是一個(gè)非常重要的幾何模型，它在解題中有著廣泛的應(yīng)用.利用這一幾何模型，可簡解與之相關(guān)的競賽試題.

圖1

圖2

二、應(yīng)用例舉

例1 （2017年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽福建省賽區(qū)初賽）如圖3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，AC=13.若以AC為邊作正方形ACDE，那么△BCE的面積等于________.

分析：如圖3，因?yàn)樗倪呅蜛CDE是正方形，所以△ACE是等腰直角三角形.又已知△ABC是直角三角形，所以可借助勾股定理“總統(tǒng)證法”中的幾何圖形構(gòu)造全等的直角三角形，從而得到直角梯形，由此可求出△BCE的邊BC上的高，從而利用三角形的面積公式即可求出△BCE的面積.

圖3

圖4

解：如圖4，過點(diǎn)E作直線AB的垂線，交BA的延長線于點(diǎn)G，則EG∥BC.

在Rt△ABC中，由勾股定理易知BC=5.

因?yàn)椤螧AC+∠EAG=90°，∠AEG+∠EAG=90°，所以∠BAC=∠AEG.

又因?yàn)椤螦BC=∠AGE=90°，AC=AE，所以△ABC≌△EGA.

所以AG=BC=5，所以BG=AB+AG=12+5=17.

點(diǎn)評：本題以正方形和直角三角形為基本圖形，主要考查勾股定理、正方形的性質(zhì)及三角形面積的求法等知識.根據(jù)圖形的特征，構(gòu)造勾股定理“總統(tǒng)證法”中的幾何圖形是解決本題的關(guān)鍵，這種解法通俗易懂，簡潔明了，充分體現(xiàn)了“觀察—聯(lián)想—轉(zhuǎn)化”的求解思路，凸顯了幾何模型在解題中的重要作用，彰顯了問題的本源.

說明：本題的解法較多，還可以利用解析法或列方程組求解，這里從略，請讀者自行解答.

例2 （2016年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第一試））如圖5，在四邊形ABCD中，CD=1，對角線的交點(diǎn)為M，則DM=（ ）.

分析：如圖5，△ABC是等腰直角三角形，若要借助勾股定理“總統(tǒng)證法”中的幾何圖形構(gòu)造全等的直角三角形，首先要以線段AB或AC為邊構(gòu)造一個(gè)直角三角形，然后構(gòu)造另一個(gè)直角三角形，從而得到直角梯形，即得到勾股定理“總統(tǒng)證法”中的幾何圖形.

圖5

圖6

解：如圖6，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作AE的垂線，垂足為F.

根據(jù)已知易得△ABF≌△CAE.

令A(yù)E=x，則BF=DE=x.所以AF=3-x，CE=1+x.

因?yàn)锳F=CE，所以3-x=1+x，解得x=1，所以CD=DE.

點(diǎn)評：本題以直角三角形為基本圖形，解法靈活多樣，可以利用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)等眾多知識點(diǎn)靈活求解.筆者給出的這種解法巧妙借助勾股定理“總統(tǒng)證法”中的幾何圖形，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)求得了線段DM的長，運(yùn)算量小，過程簡潔，方法精妙，是一種非常好的求解方法.

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)教材是經(jīng)過學(xué)科專家精心打磨而成的精品課程資源，教材中的典型范例或經(jīng)典幾何圖形準(zhǔn)確反映了相關(guān)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，它是解決同類問題的有效模型.在教學(xué)中，教師要有意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注基本幾何模型，在解決問題的過程中抓住圖形本質(zhì)，有意聯(lián)想已學(xué)過的基本幾何模型，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題，不但能夠彰顯問題本源，也能提高學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力.

1.張寧.追尋本質(zhì)解法 變式演繹精彩——一道競賽題的解法及變式探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（4）.

2.張寧.對一道與正方形有關(guān)的競賽試題的變式探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.

3.張寧.一道全國初中數(shù)學(xué)競賽試題的有關(guān)結(jié)論及變式探究［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2016（10）.

4.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

5.G·波利亞著.涂泓譯.怎樣解題［M］.上海：上海教育出版社，2011.