在發(fā)現(xiàn)式教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)發(fā)散思維

☉廣東深圳市龍華區(qū)大浪實(shí)驗(yàn)學(xué)校 王振鑫

☉廣東深圳市民治中學(xué) 余 濤

在發(fā)現(xiàn)式教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)發(fā)散思維

☉廣東深圳市龍華區(qū)大浪實(shí)驗(yàn)學(xué)校 王振鑫

☉廣東深圳市民治中學(xué) 余 濤

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教學(xué)改革和發(fā)展的總趨勢(shì)就是發(fā)展思維，培養(yǎng)能力.新課程改革就是要培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.要達(dá)到這一要求，教師的教學(xué)就必須從優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)入手，把創(chuàng)新教育滲透到課堂教學(xué)中，激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).

中學(xué)階段，是思維最為活躍的階段之一.在中學(xué)階段，學(xué)生的求知欲最為強(qiáng)烈，并且理解能力和學(xué)習(xí)能力是最為活躍的，因此，對(duì)中學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，從某種意義上來(lái)講，是最有成效的.數(shù)學(xué)作為一門(mén)應(yīng)用最為廣泛、最能培養(yǎng)發(fā)散思維和問(wèn)題解決能力的基礎(chǔ)課程，其在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力上具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).因此，應(yīng)當(dāng)注重在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中，將培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、發(fā)散思維放在突出的位置上，以適應(yīng)轉(zhuǎn)型時(shí)代社會(huì)發(fā)展的需要.

發(fā)現(xiàn)式教學(xué)是基于布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)而提出的，是指在教師的指導(dǎo)下，通過(guò)閱讀、觀察、實(shí)驗(yàn)、思考、討論等方式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，研究問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題、總結(jié)規(guī)律，成為知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者.發(fā)散思維最基本的特色是：從多方面、多思路去思考問(wèn)題.發(fā)現(xiàn)式教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量，有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究的能力，更有利于鍛煉學(xué)生的思考能力.具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

一、營(yíng)造環(huán)境，培養(yǎng)興趣

在課堂上數(shù)學(xué)教師要善于用自己熾熱的數(shù)學(xué)情感去調(diào)動(dòng)、激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美好情感，營(yíng)造一個(gè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境.在教學(xué)中，注意“課引”的設(shè)計(jì)，盡量使學(xué)生在一開(kāi)始上課就對(duì)本節(jié)課懷有深厚的興趣和好奇心.

案例1：在給初二學(xué)生第一次講授不等關(guān)系時(shí)可以這樣引入：阿凡提給巴依老爺放羊，羊越來(lái)越多，羊圈裝不下了，可是小氣的巴依老爺不愿多出做羊圈的柵欄，他讓阿凡提自己想辦法.阿凡提想出一個(gè)好辦法：他首先把羊圈由長(zhǎng)方形改建成正方形，這樣就裝下了.過(guò)了一年羊圈又裝不下了，阿凡提又將正方形改建成圓形，又能把羊裝下了.人們都夸阿凡提聰明.同學(xué)們想知道阿凡提這樣做的根據(jù)嗎？

這樣就使本來(lái)枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)和我們的日常生活聯(lián)系起來(lái)了，而且以故事形式表現(xiàn)出來(lái)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的興趣，活躍了課堂氣氛，使學(xué)生的思維處于一種興奮和開(kāi)放的狀態(tài)，這樣容易培養(yǎng)其發(fā)散思維.

二、在課堂教學(xué)中應(yīng)該適當(dāng)給予學(xué)生思考的習(xí)慣與能力

在課堂上善于創(chuàng)設(shè)思維情景，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，運(yùn)用已學(xué)過(guò)的知識(shí)去解決新問(wèn)題.其中組織課堂討論是一種使用較普遍的有效方法.這樣培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生敢于提問(wèn)題、敢于批判、敢于質(zhì)疑、思維敏捷，不受教師講解的束縛，可為發(fā)散思維的培養(yǎng)創(chuàng)造良好的內(nèi)、外部環(huán)境.

案例2：已知在平面直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)A（1，0）、B（-1，0）、C（0，2），請(qǐng)你構(gòu)造一些函數(shù)關(guān)系式或一些學(xué)過(guò)的圖形，使其圖像經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，并寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式或圖形的名稱.

解析：我們的教學(xué)目的是希望學(xué)生閱讀題目后，能盡可能多地寫(xiě)出滿足題設(shè)的函數(shù)關(guān)系式或圖形.如果學(xué)生最后能從下面的方面構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式或?qū)懗鰣D形名稱，那么我們的教學(xué)目的就達(dá)到了.

初中學(xué)生通過(guò)已學(xué)的知識(shí)可以從以下方向入手：

生1：從一次函數(shù)和分段函數(shù)著手構(gòu)造.

生2：從二次函數(shù)著手構(gòu)造拋物線函數(shù)關(guān)系式.

生3：構(gòu)造等腰三角形.

生4：構(gòu)造菱形.

生5：構(gòu)造等腰梯形.

生5：構(gòu)造圓形.

生6：構(gòu)造圓錐體.

……

圖1

通過(guò)這樣的訓(xùn)練，注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，訓(xùn)練創(chuàng)新思維.數(shù)學(xué)是思維的體操.因此，若能對(duì)數(shù)學(xué)教材巧安排，對(duì)問(wèn)題妙引導(dǎo)，創(chuàng)設(shè)一個(gè)良好的思維情境，對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練是非常有益的.在教學(xué)中應(yīng)打破“老師講，學(xué)生聽(tīng)”的常規(guī)教學(xué)，變“傳授”為“探究”，充分暴露知識(shí)形成的過(guò)程，促使學(xué)生一開(kāi)始就進(jìn)入創(chuàng)新思維狀態(tài)中，以探索者的身份去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、總結(jié)規(guī)律.這樣才能避免“死讀書(shū)，讀死書(shū)”的情況，使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)達(dá)到融會(huì)貫通，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的喜悅情感，而不是讓學(xué)生處于痛苦不堪的題海戰(zhàn)術(shù)之中.

案例3：已知p+q+1＜0，求證：1位于方程x2+px+q=0的兩根之間.

分析：對(duì)于此題，若按常規(guī)思路，先用求根公式求出方程的兩根x1、x2，再求證結(jié)論，則將陷入困境，因此另覓新路.

證明：設(shè)y=x2+px+q，顯然拋物線的開(kāi)口向上.令x=1，則y=p+q+1.由已知p+q+1＜0，則點(diǎn)（1，p+q+1）在x軸下方（如圖1）.

故原方程有兩根x1、x2，且1位于這兩根之間.

點(diǎn)評(píng)：這種解法通常稱為“圖像法”，當(dāng)用常規(guī)方法不能解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)教授學(xué)生及時(shí)改變思路，另選突破口，切忌在原方法上徘徊.否則難以使思維發(fā)生質(zhì)的飛躍，也不利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).

所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，我們要著重訓(xùn)練學(xué)生“一題多解”“一題多變”“一法多用”的能力，從而最終實(shí)現(xiàn)促使其發(fā)散思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練.

（一）一題多解.

指多角度考慮同一個(gè)問(wèn)題，找出各方法之間的關(guān)系和優(yōu)劣.“一題多解”之所以有助于發(fā)散思維的培養(yǎng)，主要是因?yàn)樗髮W(xué)生的思維活動(dòng)要“多向”，不局限于單一角度，不受一種思路的束縛，為了尋求問(wèn)題的解決，它要求尋找多樣化的解決方式，謀求多種可能.在這種情況下，學(xué)生往往會(huì)獨(dú)辟蹊徑，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新途徑.

案例4：如圖2，已知AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OA交⊙O于D，連接BD，BC⊥AO于點(diǎn)C，求證：∠1=∠2.

分析：利用條件（AB是⊙O的切線）的方法有多種，若要利用“弦切角定理”證明此題，就必須作出所對(duì)的圓周角，作法有如下三種.

圖3

證法1：如圖3，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，連接BE、OB，則∠2=∠E，∠DBE=90°.

由∠OBD=∠BDO，∠1+∠OBD=90°，得∠1+∠BDE= 90°.又∠E+∠BDE=90°，所以∠1=∠E.

故∠1=∠2.

證法2：如圖4，延長(zhǎng)BC交⊙O于點(diǎn)E，連接ED.

由弦切角定理，可得∠1=∠E.

由垂徑定理，可知∠2=∠E.

故∠1=∠2.

圖4

圖5

證法3：如圖5，連接BO并延長(zhǎng)BO，交⊙O于點(diǎn)E，連接DE.

由弦切角定理，可得∠1=∠E=∠ODE.

由∠ODE+∠CDB=90°，∠2+∠CDB=90°，得∠ODE=∠2.

故∠1=∠2.

此題的三種證法，既有效地復(fù)習(xí)了“切線有關(guān)的性質(zhì)”——切線的性質(zhì)定理、弦切角定理、切線定理，又提高了學(xué)生應(yīng)用切線性質(zhì)的能力，培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性和靈活性.同時(shí)，通過(guò)多種解法的比較，提煉出最佳解法，從而達(dá)到優(yōu)化學(xué)生解題思路的目的.

（二）一題多變.

通過(guò)題目的引申、變化、發(fā)散，提供問(wèn)題的背景，提示問(wèn)題間的邏輯關(guān)系.“一題多變”之所以有助于發(fā)散思維的培養(yǎng)，主要是因?yàn)樗髮W(xué)生必須形成知識(shí)系統(tǒng)，對(duì)不同知識(shí)之間的聯(lián)系能通過(guò)自己以前所學(xué)的知識(shí)構(gòu)筑起聯(lián)系它們的橋梁.“一題多變”不僅培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力，也極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和濃厚的興趣.

“一題多變”的常用方法有：

1.變換命題的條件與結(jié)論；

2.保留條件，深化結(jié)論；

3.探討命題的推廣；

4.生根伸枝，圖形變換.

我們?nèi)匀灰园咐?中的題為例，再通過(guò)如下變形，更進(jìn)一步提高整體學(xué)習(xí)關(guān)于圓的相關(guān)知識(shí)和定理.

案例5：該題可以作如下變化：

圖6

變式1：如圖6，已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，求證：AC平分∠DAB.

變式2：如圖7，已知BC與⊙O相切于點(diǎn)B，CE垂直直徑AF于點(diǎn)E，交弦AB于D，求證：CD=CB.

圖7

圖8

變式3：如圖8，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于D，過(guò)D作⊙O的切線EF，求證：EF∥BC.

通過(guò)對(duì)同一個(gè)題目的不同變形，我們又得到不同的證明結(jié)果，同時(shí)每一個(gè)結(jié)果的證明方法又可以是多樣的，這樣避免了學(xué)生陷入題海之中，同時(shí)也讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了圓的各種相關(guān)知識(shí)和定理“萬(wàn)變不離其宗”的特點(diǎn)，大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

（三）一法多用.

以一種方法處理相似或類似，甚至僅僅有部分條件相似的問(wèn)題.“一法多用”可以使學(xué)生對(duì)所學(xué)過(guò)的知識(shí)的理解更加深刻，同樣能夠達(dá)到事半功倍的效果.

例如，我們?cè)趯W(xué)習(xí)二元一次方程時(shí)，采取的求解方式就是聯(lián)立方程.這個(gè)方法可以廣泛地運(yùn)用于求函數(shù)交點(diǎn)之中.

案例6：已知兩個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式分別是y=3x-4和y=-2x+3，求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo).

分析：眾所周知，一次函數(shù)實(shí)際上和二元一次方程息息相關(guān)，求兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)，其實(shí)就是求兩個(gè)二元一次方程的公共解，所以我們只需要把兩個(gè)函數(shù)聯(lián)立即可.

（1）求兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)和△AOC的面積.

分析：根據(jù)△AOB的面積求出k=-3.

根據(jù)二元一次方程組求解的方法，聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式求解即可.

案例8：已知在坐標(biāo)平面內(nèi)有二次函數(shù)y=x2-2x和一次函數(shù)y=2x+2，求這兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo).

分析：求交點(diǎn)坐標(biāo)，案例6和7已經(jīng)很明確地告訴我們，只需要將函數(shù)方程聯(lián)立起來(lái)，求方程組的解，由此可知：然后求解一元二次方程x2-4x-2=0，得到x1=2+ ■ 6，x2=2- ■6.

由上述三題我們發(fā)現(xiàn)“一法多用“實(shí)際上能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中找到問(wèn)題的規(guī)律及解決問(wèn)題的方法，從而擺脫死讀書(shū)、讀死書(shū)、題海戰(zhàn)術(shù)的桎梏.

三、在教學(xué)過(guò)程中恰當(dāng)采取延遲評(píng)價(jià)的教學(xué)方法

這樣可以給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種暢所欲言、互相啟發(fā)的氛圍，使學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)提出盡可能多的創(chuàng)造性設(shè)想，因而有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.學(xué)生思維啟動(dòng)的過(guò)程中別人的特別是老師的過(guò)早評(píng)價(jià)，往往會(huì)成為思維展開(kāi)的抑制因素.正因?yàn)槿绱?，我們?cè)谡n堂上應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)出極大的耐心，給學(xué)生充分的時(shí)間，讓他們馳騁聯(lián)想、各抒己見(jiàn).在這種情況下，學(xué)生會(huì)有一種“安全感”“自由感”，從而無(wú)拘束、無(wú)顧慮地針對(duì)問(wèn)題展開(kāi)積極的思維活動(dòng)和語(yǔ)言活動(dòng)，起到相互啟發(fā)的作用.這對(duì)小學(xué)、中學(xué)的教育來(lái)說(shuō)都是一樣的.

四、適當(dāng)?shù)卦谡n堂上組織集體討論

教師是課程進(jìn)行過(guò)程中的引路人和指南針.但是不能形成教師的話就是“圣旨”，有時(shí)候也應(yīng)該在課堂上組織一些集體討論來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

集體討論可分為2人小組、4人小組或全班討論.這樣的討論沒(méi)有教師的介入，有利于學(xué)生暢所欲言、集思廣益，從而引發(fā)創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生.在集體討論中，學(xué)生的思維處于積極狀態(tài)，所以集體討論對(duì)思維能力的培養(yǎng)是有益的，對(duì)學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)也是有益的.從表面上看，集體討論時(shí)似乎課堂秩序有點(diǎn)兒亂，但如果學(xué)生真正是在參與討論，甚至大聲爭(zhēng)論，那就是學(xué)生生動(dòng)、活潑、主動(dòng)學(xué)習(xí)的體現(xiàn)！

“業(yè)精于勤”.只要我們?cè)诮虒W(xué)中運(yùn)用以上各種解題方法培養(yǎng)學(xué)生，讓學(xué)生去理解各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，觸類旁通，使學(xué)生的思維時(shí)常處于多向、發(fā)散、開(kāi)放狀態(tài)，讓他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從而使他們的思維上升到一個(gè)新的領(lǐng)域，使我們的數(shù)學(xué)教育真真正正發(fā)生“質(zhì)”的變化，使數(shù)學(xué)能更好地為社會(huì)主義現(xiàn)代化服務(wù)，從而面向世界，面向未來(lái)！

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.陜西：陜西師范大學(xué)出版社，2004.

2.羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析［M］.陜西：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

3.林崇德.教育的智慧寫(xiě)給中小學(xué)教師［M］.北京：開(kāi)明出版社，1999.

4.王憲生.黃崗兵法變式題陣［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2003.

5.劉家松等.素質(zhì)教育新教案（八年級(jí)下）［M］.北京：西苑出版社，2004.

6.馮大學(xué)，發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法應(yīng)用于新課標(biāo)教材教學(xué)的實(shí)踐與反思，《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2010年第4期.