歸類新定義考題，明辨“同與不同”
——以兩道新定義考題為例

☉江蘇昆山市婁江實(shí)驗(yàn)學(xué)校 胡 俊

歸類新定義考題，明辨“同與不同”
——以兩道新定義考題為例

☉江蘇昆山市婁江實(shí)驗(yàn)學(xué)校 胡 俊

新定義考題是近年來不少地區(qū)中考一道亮麗的風(fēng)景線，個別省市各區(qū)的?？季韼缀酢耙粫r新風(fēng)”，其中出現(xiàn)不少優(yōu)秀的新定義考題.本文擬結(jié)合兩道解法趨同的新定義考題，講解思路，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供分享.

一、兩道新定義考題的思路突破

考題1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（t，0）、B（t+對于線段AB和x軸上方的點(diǎn)P給出如下定義：當(dāng)∠APB=60°時，稱點(diǎn)P為AB的“等角點(diǎn)”.

（2）直線MN分別交x軸、y軸于點(diǎn)M、N，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（6，0），∠OMN=30°.

①線段AB的“等角點(diǎn)”P在直線MN上，且∠ABP= 90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②在①的條件下，過點(diǎn)B作BQ⊥PA，交MN于點(diǎn)Q，求∠AQB的度數(shù)；

③若線段AB的所有“等角點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部，則t的取值范圍是__________.

思路突破：首先理解新定義，根據(jù)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可確認(rèn)線段AB的長為 ■ 3，由∠APB=60°想到等邊三角形ABP，進(jìn)而想到△ABP的外接圓，從而想清圖1這樣的圓弧，即優(yōu)弧APB上任意一點(diǎn)都是符合要求的“等角點(diǎn)”.接著想清該外接圓的圓心、半徑等信息，經(jīng)過確認(rèn)應(yīng)該能得出圓K的半徑AK為1，弦心距.還需要說明的是，定義中指出“線段AB和x軸上方的點(diǎn)P”，忽視這里的“x軸上方”則容易錯誤理解成x軸下方的情形（如圖2）.

圖1

圖2

接著求解第（1）問，精準(zhǔn)構(gòu)造圖3，就可確認(rèn)點(diǎn)C、D在優(yōu)弧AB上，而點(diǎn)E在圓K外部，不是等角點(diǎn).教學(xué)時需要提醒學(xué)生精準(zhǔn)作圖，否則容易造成錯解.另外，如果構(gòu)造圖形有誤差，需要結(jié)合這些數(shù)據(jù)的特點(diǎn)進(jìn)行校正.比如C、E兩點(diǎn)都在直線上，A、E兩點(diǎn)都在直線x=上，這樣也有助于認(rèn)識點(diǎn)E在圓K外的位置關(guān)系.

圖3

（2）①分兩種情況.

若N點(diǎn)在y軸的正半軸上，構(gòu)造圖4分析.由∠APB= 60°，∠ABP=90°，得∠PAB=30°.又∠OMN=30°，所以PA= PM，AB=BM.易得BM=AB= ■ 3，所以PB=1，即P（6-

圖4

圖5

類似的，若N在y軸的負(fù)半軸上，構(gòu)造圖5分析.

②先考慮N在y軸正半軸上的情形，構(gòu)造圖6分析.

由BQ⊥AP，且∠APB=60°，∠PBQ=30°，可得∠ABQ=60°，所以∠BMQ=∠MQB=30°.所以BQ=BM= AB.于是確認(rèn)△ABQ是等邊三角形.即∠AQB=60°.

類似的，當(dāng)點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上時，類比分析.

③若線段AB的所有“等角點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部，就是優(yōu)弧在△MON內(nèi)部，容易發(fā)現(xiàn)該圓左側(cè)與y軸相切（如圖7）、右側(cè)與MN相切（如圖8）是兩次臨界狀態(tài).

圖6

圖7

圖8

接下來分析出圖7、圖8中點(diǎn)A的坐標(biāo)即可.讓我們把圖7再次“放大”，以便更好地“暴露“圖形中的細(xì)節(jié)與解法步驟，如圖9，O′H=，OH=O′A=O′D=1，此時OA=OH-

圖9

圖10

考題2：如圖11，對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和線段AB，給出如下定義：如果線段AB上存在兩個點(diǎn)M、N，使得∠MPN=30°，那么稱點(diǎn)P為線段AB的伴隨點(diǎn).

圖11

（1）已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0）及D（1，-1）、

①在點(diǎn)D、E、F中，線段AB的伴隨點(diǎn)是_________；

②作直線AF，若直線AF上的點(diǎn)P（m，n）是線段AB的伴隨點(diǎn)，求m的取值范圍.

（2）平面內(nèi)有一個腰長為1的等腰直角三角形，若該三角形邊上的任意一點(diǎn)都是某條線段a的伴隨點(diǎn)，請直接寫出這條線段a的長度的范圍.

思路簡述：首先想清新定義的圖形結(jié)構(gòu)，構(gòu)造圖12進(jìn)行分析，與考題2相比，這里的優(yōu)弧AB有兩段分布在x軸上、下方，且這兩段優(yōu)弧圍成區(qū)域內(nèi)部（除AB線段上的點(diǎn)）所有點(diǎn)都是符合要求的所謂“伴隨點(diǎn)”.

圖12

圖13

圖14

（1）①把三個點(diǎn)在圖12中標(biāo)出來就可確定只有點(diǎn)D、F符合要求.

（2）如圖14，將該等腰直角三角放置于陰影區(qū)域內(nèi)時，恰能被完整覆蓋，此時直徑為，半徑為，也就是AB為，即

二、教學(xué)思考

1.審題要慢，理解新定義的圖形結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵.

新定義考題需要理解圖形結(jié)構(gòu)，并對關(guān)鍵詞句隱含的限制信息充分解讀，對應(yīng)到構(gòu)造中去.這類習(xí)題往往與一些特殊圖形有關(guān)，如特殊直角三角形、外接圓等知識，需要解讀、構(gòu)圖.同時有些隱含信息的解讀也很關(guān)鍵，如考題1中如果忽略“x軸上方的點(diǎn)P”可能造成復(fù)雜的構(gòu)造與多解，而考題2又需要想清兩段優(yōu)弧及其內(nèi)部的區(qū)域都是伴隨點(diǎn).

2.歸類新定義考題，引導(dǎo)學(xué)生感受“同與不同”.

經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐，將考題1、考題2歸類講解可以使學(xué)生感受到這類問題的類似結(jié)構(gòu)，這里的“同與不同”對比明顯，如考題1只是一段優(yōu)弧，而考題2則是兩段優(yōu)弧及其內(nèi)部區(qū)域（線段AB除外）.通過“形異質(zhì)同”考題的呈現(xiàn)，可以促進(jìn)學(xué)生“做一題，會一類”.同時也能學(xué)會這類考題的解題策略、讀題策略，特別是不漏掉一句甚至一個字符.

3.開展解后反思，明辨解題所需的重要知識點(diǎn).

倡導(dǎo)解后反思是解題教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，如考題1解答之后，不但要讓學(xué)生明白閱讀理解新定義，想清“優(yōu)弧”結(jié)構(gòu)的重要性，同時要引導(dǎo)學(xué)生積累解題策略，如善于在分析問題過程中適時分離圖形、放大局部圖形（如圖9、圖10）；而考題2求解過程中，在圖13、14中構(gòu)造特殊直角三角形，實(shí)現(xiàn)問題思路貫通，這些都需要在反思回顧時想清，并做好相關(guān)解題經(jīng)驗(yàn)的積累.

三、寫在最后

新定義考題是近年來北京地區(qū)比較重要的一類考題，對各地的考題走向都帶來了不小的影響.然而應(yīng)對新定義考題的備課研究，特別是圍繞優(yōu)秀考題的“一題一課”的課例研究還有待豐富，本文也只是嘗試將兩道類似考題集中在一起進(jìn)行解法的探究，還有待重組、設(shè)計(jì)成課例，以便從解題探究走向解題教學(xué)的研究.

1.沈麗婧.聚焦微專題：中考二輪復(fù)習(xí)的實(shí)踐與思考——以一組“關(guān)聯(lián)試題”復(fù)習(xí)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

2.甘曉云.以退為進(jìn)：挑戰(zhàn)新定義考題的有效策略——北京海淀九上期末卷第29題解析與賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.