左連續(xù)函數(shù)上確界的左連續(xù)性注記

羅群

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

左連續(xù)函數(shù)上確界的左連續(xù)性注記

羅群

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

利用左（右）連續(xù)函數(shù)及上（下）確界的定義，討論了定義在區(qū)間[a,b]上的有界函數(shù)y=f(x)的左（右）連續(xù)性與左（右）連續(xù)性的關(guān)系.

左連續(xù)函數(shù)；右連續(xù)函數(shù)；上確界；下確界；連續(xù)函數(shù)

1 示例解析

在文獻(xiàn)[1]的第92頁有一道習(xí)題，見例1.

例1[1]92設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，證明函數(shù)

在[a,b]上左連續(xù)，并舉例說明它們可以不右連續(xù).

事實(shí)上，通過下面的例2可以看出，這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的.即當(dāng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有界時(shí)，函數(shù)上可以不是左連續(xù)，也不是右連續(xù).

例2設(shè)

顯然 f(x)在[-2,2]上有界，但是

在[-2,2]上既不是左連續(xù)也不是右連續(xù).

顯然g(x)在[-2,2]上有界，但是

在[-2,2]上既不是左連續(xù)也不是右連續(xù).

通過例2可知例1的結(jié)論是錯(cuò)誤的，下面討論為使結(jié)論成立，需要增加什么條件.

本文利用左（右）連續(xù)函數(shù)及上（下）確界的定義，討論了定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的左（右）連續(xù)性與左（右）連續(xù)性的關(guān)系.

定義1[2]設(shè)函數(shù) f在點(diǎn)x0的某右鄰域U+(x0)內(nèi)有定義，若?ε>0,存在δ>0,使得對(duì)任意x∈[x0,x0+δ)?U+(x0),有

則稱 f在點(diǎn)x0右連續(xù).

若函數(shù) f在區(qū)間I上每一點(diǎn)都是右連續(xù)，則稱 f在區(qū)間I上為右連續(xù)函數(shù).

設(shè)函數(shù) f在點(diǎn)x0的某左鄰域U-(x0)內(nèi)有定義，若?ε>0,存在δ>0,使得對(duì)任意x∈(x0-δ,x0]?U-(x0),有

則稱 f在點(diǎn)x0左連續(xù).

若函數(shù) f在區(qū)間I上每一點(diǎn)都是左連續(xù)，則稱 f在區(qū)間I上為左連續(xù)函數(shù).

若 f在點(diǎn)x0既是右連續(xù)又是左連續(xù)，則稱 f在點(diǎn)x0連續(xù).

若函數(shù) f在區(qū)間I上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 f在區(qū)間I上為連續(xù)函數(shù).

定義2[2]設(shè)S為實(shí)數(shù)集R的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)β滿足如下條件：

1）?x∈S,有x≤β;

2）?ε>0,存在x0∈S,使得β-ε

則稱數(shù)β是數(shù)集S的上確界，記為β=sup S.

設(shè)S為數(shù)集，若數(shù)α滿足如下條件：

1）?x∈S,有x≥α;

2）?ε>0,存在x0∈S,使得x0<α+ε,

則稱數(shù)α是數(shù)集S的下確界，記為α=inf S.

2 主要結(jié)論

在(a,b]上均為左連續(xù).

證 1）顯然，M(x)在[a,b]上為增函數(shù).?x0∈(a,b],要證M(x)在點(diǎn)x0為左連續(xù)，即要證?ε>0,存在δ>0,使得對(duì)任意x∈(x0-δ,x0]?[a,b],有

定理1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有界且左連續(xù)，則函數(shù)

i）若t0=x0,由于tl→imx-0f(t)=f(x0)=f(t0)>M(x0)-ε,由極限的局部保號(hào)性，存在t1∈[a,x0),使得M(x0)-ε0,則?x∈(x0-δ,x0]=(t1,x0]?[a,b],有

ii)若t0∈[a,x0),取δ=x0-t0>0,則

綜合i),ii)可知，M(x)在點(diǎn)x0為左連續(xù)，因此，M(x)在(a,b]上為左連續(xù).

2）顯然，m(x)在[a,b]上為減函數(shù).?x0∈(a,b],要證m(x)在點(diǎn)x0為左連續(xù)，即要證?ε>0,存在δ>0,對(duì)任意x∈(x0-δ,x0]?[a,b],有

i)若t0=x0,由于0由極限的局部保號(hào)性，存在取δ=x0-t?>0,則?x∈(x0-δ,x0]=(t?,x0]?[a,b],有m(x)=ai≤nt≤fxf(t)≤f(t?)

ii)若t0∈[a,x0),取δ=x0-t0>0,則對(duì)任意x∈(x0-δ,x0]=(t0,x0]?[a,b],有

綜合i),ii)可知，m(x)在點(diǎn)x0為左連續(xù)，因此，m(x)在(a,b]上為左連續(xù).

注1 在定理1的條件下，M(x)和m(x)可以不是右連續(xù).

例3設(shè)

顯然 f(x)在[-2,2]上有界且左連續(xù)，但是

在(-2,2]上是左連續(xù)而不是右連續(xù).

顯然g(x)在[-2,2]上有界且左連續(xù)，但是

在(-2,2]上是左連續(xù)而不是右連續(xù).

定理2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有界且右連續(xù)，則函數(shù)

在[a,b)上均為右連續(xù).

證 1）顯然，M(x)在[a,b]上為增函數(shù).?x0∈[a,b),要證M(x)在點(diǎn)x0為右連續(xù)，即要證?ε>0,存在δ>0,

對(duì)任意x∈[x0,x0+δ)?[a,b],有

由于 f在點(diǎn)x0右連續(xù)，所以?ε>0,存在δ>0,對(duì)任意t∈[x0,x0+δ)?[a,b],有

任取x∈(x0,x0+δ),由及上確界的定義，對(duì)上述ε>0,存在點(diǎn)t0∈[a,x],使得

若t0∈(x0,x]?[x0,x0+δ),有

所以，由式（1）和（2）得

故M(x)在點(diǎn)x0為右連續(xù)，因此，M(x)在[a,b)上為右連續(xù).

2）同理，可證m(x)在[a,b)上為右連續(xù).

注2 在定理2的條件下，M(x)和m(x)可以不是左連續(xù).

例4設(shè)

顯然 f(x)在[-2,2]上有界且右連續(xù)，但是

在[-2,2)上是右連續(xù)而不是左連續(xù).

顯然g(x)在[-2,2]上有界且右連續(xù)，但是

在[-2,2)上是右連續(xù)而不是左連續(xù).

由定理1與定理2可得推論3.

推論3[1]83設(shè)函數(shù)y=f(x)在有界閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)在[a,b]上均為連續(xù).

[1] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:上冊(cè)[M].4版.北京:高等教育出版社,2010:6-72.

ANote of Left Continuity of Supremum about Left Continuous Function

LUO Qun

（School of Mathematical and Statistics,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China）

By the definitions of left(right)continuous function and supremum(infimum),the relationship of the left(right)continuity of functiony=f(x)and d efine on[a,b]is discussed.

left continuous function;right continuous function;continuous function;supremum;Infimum

O171

A

1009-8445（2017）02-0026-04

（責(zé)任編輯：陳 靜）

2016-11-03

羅 群（1963-），女，重慶人，肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，博士.