圓的認(rèn)識(shí)與證明

余中華

一、選擇題

1.如圖1，圓O過點(diǎn)A，B，圓心O在正△ABC的內(nèi)部，AB=[23]，OC=1，則圓O的半徑為（ ） [·] [A][B][C][O] [A][B][C][D][P][·] [圖1 圖2]

A.[3] B.2

C.[5] D.[7]

2.如圖2，弧AD是以等邊三角形ABC的邊AB為半徑的四分之一圓周，P為弧AD上任意一點(diǎn)，若AC=5，則四邊形ACBP周長(zhǎng)的最大值是（ ）

A.15 B.[15+52]

C.20 D.[15+55]

3.如圖3，⊙O的半徑為1，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)D，E在圓上，四邊形BCDE為矩形，這個(gè)矩形的面積是（ ）

A.2 B.[3] C.[32] D.[32] [A][B][C][D][E][O][·] [A][B][C][D][E][F][圖3 圖4]

4.如圖4，四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A.[23]π[-32] B.[23]π[-3]

C.π[-32] D.π[-3]

5.如圖5，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4 cm，以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓，過點(diǎn)A作半圓的切線，與半圓相切于點(diǎn)F，與DC相交于點(diǎn)E，則△ADE的面積是（ ）

A.12 B.24 C.8 D.6 [A][B][C][D][E][F][O][·] [A][B][C][D][E][·][O][圖5 圖6]

6.如圖6，已知⊙O是等腰直角△ABC的外接圓，點(diǎn)D是[AC]上一點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E，若BC=4，AD[=45]，則AE的長(zhǎng)是（ ）

A.3 B.2

C.1 D.1.2

7.如圖7，已知經(jīng)過原點(diǎn)的⊙P與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧OB上一點(diǎn)，則∠ACB=（ ）

A.80° B.90° C.100° D.無法確定[O][x][y][圖7 圖8] [A][B][C][P][·] [O][x][y] [A][B][C][·]

8.如圖8，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C（0，2），B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則tan∠OBC為（ ）

A.[13] B.[22]

C.[24] D.[223]

9.如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，x軸上一點(diǎn)A從點(diǎn)（-3，0）出發(fā)沿x軸向右平移，當(dāng)以A為圓心，半徑為1的圓與函數(shù)y[=33x]的圖象相切時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)變?yōu)椋?） [

][O][x][y] [-3 -2 -1 1 2][1][A][y=[33]x] [圖9]

A.（-2，0） B.（[-3]，0）或（[3]，0） C.（[-3]，0） D.（-2，0）或（2，0）

10.如圖10，已知⊙O的半徑為10，弦AB=12，M是AB上任意一點(diǎn)，則線段OM的長(zhǎng)可能是（ ）

A.5 B.7

C.9 D.11 [A][B][M][O][A][B][C][O][P][·][·] [·][圖10 圖11]

11.如圖11，P為⊙O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，A為⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP，AO分別與⊙O交于B，C兩點(diǎn).若⊙O的半徑為3，OP[=3]，則弦BC的最大值為（ ）

A.[23] B.3 C.[6] D.[32]

12.如圖12，將邊長(zhǎng)為1 cm的等邊三角形ABC沿直線l向右翻動(dòng)（不滑動(dòng)），點(diǎn)B從開始到結(jié)束，所經(jīng)過路徑的長(zhǎng)度為（ ） [A][B][C][（][A][）][（][B][）][（][B][）][（][C][）][l][圖12] A.[32]π cm B.（2[+23]π） cm C.[43]π cm D.3 cm

二、填空題

13.如圖13，在等邊△ABC中，AB，AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M，N，如果MN=1，那么△ABC的面積為 . [A][B][C][O][·] [M][N] [A][B][C][O][·] [H][圖13 圖14][ ]

14.如圖14，△ABC內(nèi)接于⊙O，AH⊥BC于H，若AC=24，AH=18，⊙O的半徑OC=13，則AB= .

15.如圖15，在一張正方形紙片上剪下一個(gè)半徑為r的圓形和一個(gè)半徑為R的扇形，使之恰好圍成圖中所示的圓錐，則R與r之間的關(guān)系是 . [圖15][·]

16.如圖16，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0），B（0，4），⊙O的半徑為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P在直線AB上，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為 .[O][x][y] [A][B][·] [P][Q][圖16]

17.如圖17，∠ACB=60°，⊙O的圓心O在邊BC上，⊙O的半徑為3，在圓心O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)CO= 時(shí)，⊙O與直線CA相切. [A][B][·][·][·][C][O][A][B][O][6][0][°] [圖17 圖18]

18.如圖18，線段OA垂直于射線OB于O，OA=4，⊙A的半徑是2，將OB繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OB與⊙A相切時(shí)，OB旋轉(zhuǎn)的角度為 .

19.如圖19，半徑為5的半圓的初始狀態(tài)是直徑平行于桌面上的直線b，然后把半圓沿直線b進(jìn)行無滑動(dòng)滾動(dòng)，使半圓的直徑與直線b重合為止，則圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度等于 . [O][O][·][·] [b][圖19]

20.已知⊙O的半徑為13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，則AB，CD之間的距離為 .

三、解答題

21.如圖20，等邊三角形的邊長(zhǎng)為10 cm，以一邊為直徑作半圓，這個(gè)半圓被其他兩邊分成三部分，求這三部分弧所對(duì)弦的長(zhǎng)度.

22.如圖21，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC，AC分別交于D，E兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H.

（1）判斷DH與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求證：H為CE的中點(diǎn)；

（3）若BC=10，cos C=[55]，求AE的長(zhǎng).

23.如圖22，⊙O過正方形ABCD的頂點(diǎn)B，C，與邊AD相切于點(diǎn)E，與CD相交于點(diǎn)F，連接EF.

（1）求證：EF平分∠BFD；

（2）若tan∠FBC=[34]，DF=[5]，求EF的長(zhǎng). [B][C][A][D][E][F][圖22][O][·]

24.如圖23，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AD，DE.

（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；

（2）若DE=3，BD-AD=2，求⊙O的半徑；

（3）在（2）的條件下，求弦AE的長(zhǎng). [A][B][C][D][O][E][·][圖23][]

25.如圖24，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（–3，0），經(jīng)過A，O兩點(diǎn)作半徑為[52]的⊙C，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)B.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)B作⊙C的切線交x軸于點(diǎn)D，求直線BD的解析式.[O][x][y] [A][B][C][·] [D]