例談運(yùn)用分類討論思想解題

趙光義

在一些數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，這就需要我們用分類討論的思想解決問(wèn)題.在用分類討論思想解決問(wèn)題時(shí)，我們要按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，做到不重不漏.下面舉幾個(gè)運(yùn)用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的例子，加深同學(xué)們對(duì)分類討論思想的認(rèn)識(shí).

一、由絕對(duì)值引起的分類

例1 已知：a，b≠0，則[aa]+[bb]= .

解：根據(jù)a，b的正負(fù)，分四種情況討論：

① 當(dāng)a>0，b>0時(shí)，[a=a，b=b]，

∴原式=1+1=2.

②當(dāng)a>0，b<0時(shí)，[a=a，b=-b]，

∴原式=1-1=0.

③當(dāng)a<0，b>0時(shí)，[a=-a，b=b]，

∴原式=-1+1=0.

④當(dāng)a<0，b<0時(shí)，[a=-a，b=-b]，

∴原式=-1-1=-2.

綜上所述，[aa]+[bb]的值為2，0，-2.

評(píng)注：含有絕對(duì)值的問(wèn)題，通常根據(jù)絕對(duì)值的定義，按照含有絕對(duì)值式子的正負(fù)進(jìn)行分類求解.

二、由概念的指向不明確引起的分類

例2 若函數(shù)y=（a-1）x2-2x-1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為 .

解：分兩種情況討論：

① 當(dāng)a-1≠0，即a≠1時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，函數(shù)y=（a-1）x2-2x-1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，Δ=（-2）2-4（a-1）×（-1）=0，

解得a=0.

②當(dāng)a-1=0，即a=1時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)y=-2x-1，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（[-12]，0）.

綜上所述，a=0或1.

評(píng)注：本題中，“函數(shù)”的概念指向不明確，該函數(shù)有可能是二次函數(shù)，也有可能是一次函數(shù)，因此我們需要分類討論.

三、由全等三角形或相似三角形的對(duì)應(yīng)邊引起的分類

例3 如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是 （ ） [·][A][B][C][D][P][圖1]

A. 1個(gè) B. 2個(gè)

C. 3個(gè) D. 4個(gè)

解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠BAD=∠ABC=90°.

又AB=8，AD=3，BC=4，

∴設(shè)AP=x，則BP=8-x.

要使△PAD與△PBC相似，分兩種情況討論：

①若△APD∽△BPC，則[APBP=ADBC].

∴[x8-x=34].

解得[x=247] .

②若△APD∽△BCP，則[APBC=ADBP].

∴[x4=38-x].

解得x=2或x=6.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè).故選C.

評(píng)注：三角形的相似，由于邊的對(duì)應(yīng)存在不唯一性，所以在求解此類問(wèn)題時(shí)，通常按照邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行分類討論.

四、由等腰三角形或直角三角形引起的分類

例4 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，2），B（0，6），點(diǎn)C在直線y=x上.若以A，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ） [O][x][y] [·][·][B

A][

][y=x][圖2]

A.2個(gè) B.3個(gè)

C.4個(gè) D.5個(gè)

解：要使△ABC為等腰三角形，如圖3，分三種情況： [O][x][y] [·][·][B

A][

][y=x][圖3][] [C1][C2][C3][·][·][·] ①當(dāng)CA=CB時(shí)，作線段AB的垂直平分線，交直線y=x于點(diǎn)C1，此時(shí)C1（4，4）.

②當(dāng)BA=BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑作圓.

∵OB=6，

∴點(diǎn)B到直線y=x的距離為6[×22]=[32].

∵[32>4]，

∴此時(shí)圓與直線y=x沒有交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)C不存在.

③當(dāng)AB=AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，交直線y=x于兩點(diǎn)C2，C3 .

設(shè)C（x，x）.

∵A（0，2），B（0，6），

∴AC=AB=4.

∴x2+（x-2）2=42.

解得x1=[1+7]，x2=[1-7].

∴C2（1+[7]，1+[7]），C3（1-[7]，1-[7]）.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C有3個(gè).故選B.

評(píng)注：對(duì)于等腰三角形，在腰和底邊不明確的情況下，我們常常以腰為標(biāo)準(zhǔn)分三種情況進(jìn)行討論.在解決直角三角形的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，如果直角不明確，也采用類似的分類方法.

五、由圖形的運(yùn)動(dòng)引起的分類

例5 兩個(gè)三角板ABC，DEF，按圖4的位置擺放，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上（假設(shè)圖形中所有的點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)）.其中∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6 cm.現(xiàn)固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向平移，當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)三角板平移的距離為x （ cm），兩個(gè)三角板重疊部分的面積為y （ cm2）. [A][B][C][（D）][E][F] [圖4]

（1）當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)，x= cm；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

解：（1）如圖5，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，作CH⊥EF于H，則四邊形CGEH是矩形，三角板移動(dòng)的距離為GE的長(zhǎng).

在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30°，得[BC=ACtan30°=63].

在Rt△BCG中，BG=BC·cos 30°=9，GE=BG+BE=9+6=15 （cm） .

∴x=15. [A][B][C][（D）][E][F] [圖5] [G][H]

（2）①當(dāng)0≤x<6時(shí)，重疊部分為△BDG（如圖6）.此時(shí)∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得[DG=12x]，[BG=32x].

重疊部分的面積y=[12]DG·BG=[12]·[12]x·[32]x=[38] x2. [A][B][C][D][E][F] [圖6] [G]

②當(dāng)6≤x<12時(shí)，重疊部分為四邊形DEHG（如圖7）.此時(shí)BD=x，DG=[12]x，BG=[32]x，BE=x-6，EH=[33]（x-6）.

重疊部分的面積y =S△BDG-S△BEH =

[12]DG·BG-[12]BE·EH，即y=[12]·[12]x·[32]x-[12]（x-6）·[33]（x-6）.

化簡(jiǎn)，得y=[-324x2+23x-63]. [A][B][C][D][E][F] [圖7][G] [H]

③當(dāng)12

重疊部分的面積y=S△ABC-S△BEG=[12]AC·BC-[12]BE·BG，即y=[12]×6×[63]-[12]（x-6）×[33]（x-6）.

化簡(jiǎn)，得y=[-36x2+23x+123].

綜上所述，

y=[38x20≤x<6，-324x2+23x-636≤x<12，-36x2+23x+12312

評(píng)注：由于圖形的運(yùn)動(dòng)，可能會(huì)導(dǎo)致圖形的形狀、位置發(fā)生變化，我們常常根據(jù)圖形所處的不同位置、不同形狀進(jìn)行分類討論.引起分類的原因、分類的依據(jù)很多，希望同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中不斷的整理、歸納，提高利用分類討論的方法解決問(wèn)題的能力.