三角形的認(rèn)識(shí)與證明

姚萬(wàn)里

一、選擇題

1. 下列每組數(shù)分別是三根木棒的長(zhǎng)度，能用它們擺成三角形的是（ ）

A.3 cm、4 cm、8 cm

B.8 cm、7 cm、15 cm

C.5 cm、5 cm、11 cm

D.13 cm、12 cm、20 cm

2.到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（ ）

A.三條高的交點(diǎn)

B.三條角平分線的交點(diǎn)

C.三條中線的交點(diǎn)

D.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

3.一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4，8，則它的周長(zhǎng)為（ ）

A.12 B.16

C.20 D.16或20

4.如圖1，直線m∥n，∠1=70°，∠2=30°，則∠A等于（ ）

A.30° B.35°

C.40° D.50° [A][B][C][D][m][n][1][2][3] [E][A][B][C][D][圖1 圖2]

5.如圖2，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B=30°，則∠C的度數(shù)為（ ）

A.50° B.40°

C.30° D.20°

6.如圖3，線段AC的垂直平分線交線段AB于點(diǎn)D，∠A=50°，則∠BDC=（ ）

A.50° B.100°

C.120° D.130° [A][B][C][D][E][A][B][C][D][圖3 圖4]

7.如圖4，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線.已知AB=5，AD=3，則BC的長(zhǎng)為（ ）

A.5 B.6

C.8 D.10

8.如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為（ ）

A.6 B.5

C.4 D.3 [A][B][C][D][E][A][B][C][D][O] [圖5 圖6]

9.將一副三角板如圖6放置，若∠AOD=20°，則∠BOC的大小為（ ）

A.140° B.160°

C.170° D.150°

10.如圖7，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于

[12]MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4，AB=15，則△ABD的面積是（ ）

A.15 B.30

C.45 D.60 [A][B][C][D] [A][B][C][D][M][N][P][圖7 圖8]

11.如圖8，已知∠ABC=∠DCB，下列所給條件不能證明△ABC≌△DCB的是（ ）

A.∠A=∠D B.AB=DC

C.∠ACB=∠DBC D.AC=BD

12.如圖9，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過(guò)點(diǎn)A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線.此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE=∠PAE，則說(shuō)明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（ ）

A. SAS B. ASA

C. AAS D. SSS [圖9 圖10][A（R）][B][C][D][E][A][B][C][D][E][P][Q]

13.如圖10，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD.若BD=1，則AC的長(zhǎng)是（ ）

A.[23] B.2

C.[43] D.4

14.如圖11，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)為（ ） [A][B][C][D][E][圖11]

A.50° B.51°

C.51.5° D.52.5°

15.如圖12，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，則∠P的度數(shù)為（ ）[A][B][P][M][N][K][圖12]

A.44° B.66°

C.88° D.92°

16.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三角形三邊的距離之和為（ ）

A.[32] B.[332]

C.[32] D.不能確定

17.如圖13，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為S1，S2，S3；如圖14，分別以直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，三邊長(zhǎng)為半徑向三角形外作圓心角相等的扇形，面積分別為S4，S5，S6.其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，則S3+S4=（ ）

A.86 B.64

C.54 D.48 [S1][S2][S3] [S4][S5][S6][圖13 圖14][A][B][C]

二、填空題

18.如圖15，O為數(shù)軸的原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)-3，3，作腰長(zhǎng)為4的等腰△ABC，連接OC，以O(shè)為圓心，CO長(zhǎng)為半徑畫弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為 . [-3 -2 -1 O 1 2 3][A][B][C][M][A][B][C][D][F][E][圖15 圖16]

19.如圖16，在△ABC中，AB=AC，BC=12 cm，點(diǎn)D在AC上，DC=4 cm，將線段DC沿CB方向平移7 cm得到線段EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊AB，BC上，則△EBF的周長(zhǎng)是 cm.

20.如圖17，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F(xiàn)分別位于格點(diǎn)上，從C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)中任取一點(diǎn)，以點(diǎn)A，B為頂點(diǎn)作三角形，則所作三角形為等腰三角形的概率是 .[＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&] [A][B][C][E][D][F][A][B][C][D][E][F][·][·][·][·][·][·][圖17 圖18]

21.在△ABC中，若∠A=90°，則∠ABC的角平分線和∠ACB的角平分線所構(gòu)成的角的度數(shù)為 .

22.如圖18，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于線段AB長(zhǎng)度的一半為半徑作弧，相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，交AB于點(diǎn)D，連接CD，則CD的長(zhǎng)是 .

23.如圖19，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=[33]，AD=3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為 . [A][B][C][D][E][F][M][N][A][B][C][D][E][O][圖19 圖20]

24.如圖20，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE，BD交于點(diǎn)O，則∠AOB的度數(shù)為 .

25.有一個(gè)面積為[53]的等腰三角形，它的一個(gè)內(nèi)角是30°，則以它的腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為 .

26.如圖21，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ.若PA=6，PB=8，PC=10，則四邊形APBQ的面積為 . [A][B][C][D][E][F][B][C][P][Q][A][圖21 圖22] 27.如圖22，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2，當(dāng)EF+CF取最小值時(shí)，∠ECF的度數(shù)為 .

28.如圖23，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分線.若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是 .[A][B][C][D][P][Q] [圖23]

三、解答題

29.如圖24，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB.

求證：AE=CE.

30.如圖25，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn).

（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作邊AC的中點(diǎn)E，并連接DE（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）在（1）的條件下，若DE=4，求BC的長(zhǎng). [A][B][C][D][·][圖25]

31.如圖26，在△ABC中，AB=6 cm，∠B=∠C，BC=4 cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).若點(diǎn)P在線段BC上以1 cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).

（1）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等？并說(shuō)明理由.

（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為多少時(shí)，△BPD與△CQP全等？ [A][B][C][D][P][Q]

32.如圖27，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，EF=FD.

求證：AD=CE. [A][B][C][D][E][F][圖27]

33.問(wèn)題引入：

（1）如圖28，在△ABC中，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn)，若∠A=α，則∠BOC= （用α表示）；如圖29，∠CBO=[13]∠ABC，∠BCO=[13]∠ACB，∠A=α，則∠BOC= （用α表示）.

（2）如圖30，∠CBO=[13]∠DBC，∠BCO=

[13]∠ECB，∠A=α，請(qǐng)猜想∠BOC= （用α表示），并說(shuō)明理由.

類比探究：

（3）BO，CO分別是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分線，它們交于點(diǎn)O，∠CBO=[1n]∠DBC，∠BCO=[1n]∠ECB，∠A=α，請(qǐng)猜想∠BOC= . [A][D][E][B][C][O][A][B][C][O][B][C][O][A]