習(xí)題課上的“小插曲”
——要善于發(fā)現(xiàn)作業(yè)中習(xí)題的價(jià)值

北京市文匯中學(xué) 溫玉清

今天初二1班的學(xué)生們又讓我熱血沸騰了！這是為什么？請聽我從頭說起。

上課前5分鐘，我把昨天作業(yè)中的6個題目的幾何圖形按照難易順序提前畫在了黑板上，今天我要重點(diǎn)講解三角形中位線的習(xí)題。沒承想當(dāng)講到第3個題目時，兩個同學(xué)把我這節(jié)課給“攪和”了。這個題目是這樣的：

如圖,已知E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線上的一點(diǎn),且CE=DC,連結(jié)AE,分別交BC、BD于點(diǎn)F、G,連結(jié)AC交BD于O,連結(jié)OF.求證：AB=2OF.

由于是昨天的作業(yè)，我就沒有再給思考的時間，直接請學(xué)生講解思路。

兩位同學(xué)的兩種方法都在我的預(yù)設(shè)之中，一種是通過全等證明線段相等，另一種是通過平行四邊形的對角線互相平分證明線段相等。很顯然利用平行四邊形的方法省卻了全等證明，方法要相對簡單。

到此為止，我覺得這道題目可以結(jié)束了?？蓻]承想“半路殺出個程咬金”，我發(fā)現(xiàn)我的課代表朱潤欣還舉著手。她說，為了解決這道題，我要先證一個別的結(jié)論。于是她在黑板中畫出了這樣一個圖形：

她說，用這個圖形，可以證明這樣一個結(jié)論：已知D為AB的中點(diǎn)，DE∥BC，就可得：E為AC的中點(diǎn)。

說到這，我一下子就發(fā)現(xiàn)了這道題目的價(jià)值。

朱同學(xué)的證明思路：過D做D F∥A C，用角邊角可證△ADE≌△DBF，所以AE=DF，還可證四邊形DFCE是平行四邊形，于是有CE=DF，所以：AE=CE。

她說，有了這個結(jié)論，我們就能做上面那道題了。大家看△ADE，C為DE中點(diǎn)，CF∥AD，由我剛才推出的結(jié)論可得：F為AE的中點(diǎn)，又可根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得OA=OC，因此OF為△ACE的中位線，所以：CE=2OF，自然就有AB=2OF了。講到此，掌聲自動想了起來，這是發(fā)自心底的聲音！

朱同學(xué)講完后，我說了這樣一段話來評價(jià)她：“你太給力了！用一句網(wǎng)絡(luò)流行語：朱潤欣，你厲害了！因?yàn)槟闾岢霾l(fā)現(xiàn)了一個新的定理：△ABC中，若D為AB的中點(diǎn)，DE∥BC，則E為AC的中點(diǎn)。這個定理可以叫“朱潤欣定理”。誰能把朱氏定理用一句話概括出來？”學(xué)生們哄堂大笑。紛紛嘗試，最后得出這樣一個定理：經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊。

我接著說：“而且她的方法是如此的巧妙！她運(yùn)用了全等和平行四邊形的知識自己發(fā)現(xiàn)探索出一個新的定理，這就是知識的“創(chuàng)造”，這就是創(chuàng)新思維。這就是數(shù)學(xué)的價(jià)值所在！而且她的做法比教材中的證法更容易被大家接受！不信，大家請看原來教材中的做法?！苯又翼槃萁榻B了反證法的證明方法：

假設(shè)E不是中點(diǎn)，可做中點(diǎn)F，連結(jié)DF，由中位線定理可得DF∥BC，又因?yàn)橐阎狣E∥BC，所以過D有兩條直線平行于BC，這與過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行相矛盾。講解完原來教材的做法之后，學(xué)生們又自發(fā)地鼓起掌來，因?yàn)楸容^之后就有發(fā)言權(quán)了！

說實(shí)話，我一直糾結(jié)要不要把這個定理給學(xué)生們，現(xiàn)在的教材中沒有給出這個定理，我可以不給?？扇舨唤o，很多習(xí)題要用到這個結(jié)論。給，用什么方法給？原來的舊教材中有這個結(jié)論，是用反證法證明的，學(xué)生不太可能自己主動運(yùn)用這個方法去證明，因?yàn)橹v得少，用得少，也自然不習(xí)慣。以前的教學(xué)，我盡量告訴啟發(fā)學(xué)生當(dāng)直接證明一個結(jié)論不方便時，要反其道而行之，也就是要運(yùn)用反證法來證明?？赏菃⒍话l(fā)，只能由教師講解，學(xué)生們被動地接受，所以教學(xué)效果不好，講了等于沒講。而這節(jié)課，是由學(xué)生自己提出這樣一個命題，并由學(xué)生自己利用元認(rèn)知知識推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的。不僅如此，她還把自己的發(fā)現(xiàn)運(yùn)用到證明其他問題中了。這過程之中，有提出問題和發(fā)現(xiàn)探索問題，也有應(yīng)用問題。這不正是數(shù)學(xué)的主要功能嗎？什么是數(shù)學(xué)？我認(rèn)為數(shù)學(xué)就是在一定的游戲規(guī)則下做數(shù)字、字母和圖形的游戲。做游戲多好玩，我們就應(yīng)該讓數(shù)學(xué)多好玩！因此我希望我們的數(shù)學(xué)課，就是應(yīng)該在很少的游戲規(guī)則下，去發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造更多的東西。

講完這種方法，學(xué)生們不太習(xí)慣用這種方法，只能是一個初步的感知。

講到這，我覺得差不多了吧?？晌铱匆姉罱z淇的小手還舉著。怎么辦？時間已經(jīng)被小朱同學(xué)“耽誤”了大半兒。心想：小楊同學(xué)又出來“搗什么亂”？但是作為教師的我，心太軟了，不忍心傷害一顆上進(jìn)的心。“破罐破摔”吧，再給楊同學(xué)一個機(jī)會。

楊同學(xué)說，證明朱潤欣的結(jié)論我還有方法。她說，您說過：有中點(diǎn)則倍長。于是我嘗試延長ED至F，使FD=DE，則易證：△ADE≌△BDF，于是BF=AE，BF∥AE，又因DE∥BC，可證四邊形BCEF是平行四邊形，因此有BF=CE，所以：AE=CE。

一波未平，一波又起！這是喜來還是憂？當(dāng)然又是熱血沸騰了！楊同學(xué)，你厲害了！把倍長中線的輔助線運(yùn)用地淋漓盡致！我佩服了！這就是課堂教學(xué)中的多米諾骨牌效應(yīng)！我喜歡！“你方唱罷我登場！”，不禁讓我聯(lián)想起朱自清的春：“桃樹，杏樹，梨樹，你不讓我，我不讓你，都開滿了花趕趟兒?！倍疫@種場面延伸到了課堂之外，因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)課下有很多孩子簇?fù)碓谝黄疬€在研究。

我發(fā)現(xiàn)自己特別容易在課堂上熱血沸騰，不是因?yàn)閯e的，而是因?yàn)閷W(xué)生好的思維！有人說，教師的作用是喚醒！而在此時此刻，我還想說，好的課堂應(yīng)該是師生互相喚醒，共同成長！我的成長，很大程度上感謝我的學(xué)生們！很多老師都有職業(yè)倦怠，而我卻沒有感覺，也許正是由于我的學(xué)生們時刻喚醒我，時刻給我靈感，時刻給我激情！

當(dāng)然，這節(jié)課由于這些“小插曲”，我事先安排要講的習(xí)題沒講完。那能不能說這節(jié)課就是不成功的呢？我不這樣認(rèn)為，我要感謝這些“小插曲“，因?yàn)檫@是靈感，靈感就是創(chuàng)新的源泉；因?yàn)檫@是小火星，有了這些小火星，就可以有小火苗，就可以燃起熊熊大火！因?yàn)檫@是一粒小小的種子，有了這粒種子，就會有嫩嫩的小芽，就會有茁壯的小苗，就會有參天大樹！