從求導(dǎo)到不定積分的解法

孟湘皓

摘 要：積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，而求不定積分的過程可以理解為已知一個(gè)導(dǎo)函數(shù)，去求它的一個(gè)原函數(shù)的過程。然而，當(dāng)面對(duì)一道積分運(yùn)算題時(shí)，我們常常會(huì)感到無從下手。本文簡單地介紹了四種不定積分的解法以及一些解題的注意事項(xiàng)。

關(guān)鍵詞：不定積分 解法

一、不定積分

積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，而求不定積分的過程可以理解為已知一個(gè)導(dǎo)函數(shù)，去求它的原函數(shù)的過程。這里的原函數(shù)只要存在一個(gè)，就一定存在著無數(shù)個(gè)，這是由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，加減一個(gè)常數(shù)對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不造成影響，因此我們稱這樣的積分為不定積分。

雖然積分與求導(dǎo)是逆運(yùn)算的關(guān)系，但是求導(dǎo)相對(duì)來說要容易得多，無論是多復(fù)雜的式子，我們都能按照求導(dǎo)的法則來進(jìn)行計(jì)算。然而碰到復(fù)雜的積分時(shí)，我們卻常常無從下手。就跟很多事物一樣，正過程容易，逆過程就很難。

二、不定積分的解法

雖然不定積分的計(jì)算相對(duì)來說比較有難度，但是一般來說，有四種方法能夠解決不定積分的計(jì)算。

1.直接公式法

不定積分的直接公式法與求導(dǎo)的直接公式法相對(duì)應(yīng)，這種方法解決的是最基本的積分問題。這里我們將給出基本積分表中的一部分，由于加減一個(gè)常數(shù)，對(duì)于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算來說沒有影響，因此不定積分的計(jì)算后都會(huì)有一項(xiàng)C，這里的C為常數(shù)。

2.第一類換元法

不定積分中的換元法是根據(jù)求導(dǎo)法則中的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則衍生而來的。首先我們來看一下復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，，運(yùn)用微分的方式來看就是

而在不定積分中，由于，因而我們可以得到的結(jié)論，我們由此得到了第一類換元法的公式：

總結(jié)而言，第一類換元法就是先找到積分式中比較復(fù)雜、不好處理的f（x），令u=f（x），通過觀察對(duì)dx進(jìn)行配湊，使dx·配湊項(xiàng)=du，同時(shí)使d前的積分式能寫成易于求積分的f（u）的形式，求出u來再代回x。

3.第二類換元法

第二類換元法與第一類換元法的區(qū)別在于，第一類換元法運(yùn)用x的函數(shù)u（x）來進(jìn)行換元變換，而第二類換元法是將x視為t的函數(shù)x（t）來進(jìn)行換元變換，由此我們得到了第二類換元法的公式：

直觀地從公式來看，我們會(huì)認(rèn)為第二類換元法運(yùn)用起來比第一類換元法容易，但是從應(yīng)用上來講，第二類換元法主要應(yīng)用于含有根式的不定積分。

下面我們將通過實(shí)例來對(duì)兩類換元法進(jìn)行講解區(qū)分。

針對(duì)于我們能發(fā)現(xiàn)我們不能直接運(yùn)用公式法將其計(jì)算出來，這個(gè)題目有多種解法，首先，我們可以通過三角變換，將原式變形，然后再通過換元u=2x便能得到結(jié)果，

其次，我們可以通過觀察發(fā)現(xiàn)，在被積式中，sinx與cosx存在著一定的關(guān)系，即sinx與cosx有原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，因而我們可以通過換元u=sinx進(jìn)行變換或者v=cosx進(jìn)行變換，進(jìn)而得到結(jié)果，

這三種解法都用到的是第一類換元法，得到的結(jié)果乍一看不相同，但是進(jìn)行三角變換以及加上一個(gè)常數(shù)之后，三個(gè)解是一樣的。在這個(gè)不定積分中，運(yùn)用第二類換元法就會(huì)使得整個(gè)積分式更為復(fù)雜，不如使用第一類換元法來得方便。

而在根式不定積分中，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)第二類換元法更為實(shí)用便捷。例如在不定積分中，我們就很難想象第一類換元法該令u為什么，但是在第二類換元法中，我們就可以令，運(yùn)用t積分，最后再用代入得到結(jié)果，

不同的題，可以選擇不同的三角代換，若是根號(hào)下，自然用x=asint進(jìn)行求解。而若是根號(hào)下，則通過聯(lián)想，設(shè)x=atanx。掌握了這種方法，根式中含的題目便可迎刃而解了。

4.分部積分法

分部積分法來源于求導(dǎo)法則中的：

，對(duì)此式進(jìn)行積分就有，故而可以得到分部積分的公式：。換言之，就是。

分部積分法能夠解決很多不能由以上其他三種積分法所解決的問題。

例如在積分式中，我們無法找到第一類換元法中的u（x），也無法找到第二類換元法中的x（t）。但是，我們可以巧妙地運(yùn)用分部積分法，解決此類積分問題，在分部積分中，我們令，就能夠得到，

分部積分法是建立在公式法和換元法之上的，往往一道復(fù)雜一點(diǎn)的積分題是需要先用分部積分法然后再用換元法才能解決。

結(jié)語

不定積分的基本解法共四種，從基本的公式法到復(fù)雜的換元法和分部積分法，都與導(dǎo)數(shù)中的求導(dǎo)法則息息相關(guān)。由于積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，相對(duì)來說，積分比求導(dǎo)要復(fù)雜得多，但是，正所謂觸類旁通，只要掌握了本質(zhì)，這些問題都能夠游刃有余地得到解決。

參考文獻(xiàn)

[1] 伍勝健.《數(shù)學(xué)分析》（第一冊(cè)）. 北京大學(xué)出版社，2009：241-259.

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