立足思維起點指向思維深刻

凌佳

一、習題背景分析

數(shù)學知識的鞏固、內(nèi)化、拓展離不開必要的練習。設(shè)計練習題時應(yīng)摒棄機械的“題海戰(zhàn)術(shù)”，更應(yīng)注重練習本身的開放性、科學性、挑戰(zhàn)性和思維含量。好的練習作為一堂課好的學習材料，不僅應(yīng)該具有起點低、開放度大等特點，而且要保證人人都能參與，能在同一個問題情境中使不同水平的學生有不同的獲得，而且學生能夠通過練習探尋有價值的數(shù)學任務(wù)，滲透轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展學生合情推理能力和創(chuàng)新思維能力?；谝陨系乃伎迹P者設(shè)計了以下幾組習題。

二、習題設(shè)計

（一）習題呈現(xiàn)（第一題組）

先目測，哪個長方形的周長長？哪個長方形的面積大？

如果A長10厘米，寬4厘米，B長7厘米，寬6厘米。

先猜一猜，哪個長方形的周長長？哪個面積大？再算一算，哪個的周長長？哪個的面積大？

【練習目標】

1.引導學生從已有的知識和經(jīng)驗中，交流發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

2.引導學生辯析“一個長方形，如果周長比較長，那么面積就比較大”，這樣的說法對不對？并說明理由。

3.組織小組合作學習，通過自己的方法證明這個結(jié)論的對與錯。

【設(shè)計意圖】練習設(shè)計需從學生的學習起點出發(fā)，本組練習學生的學習起點是周長和面積的概念及計算方法，這是學生都有的知識基礎(chǔ)，讓每個學生都能融入課堂積極地思考問題。順著學生原有的認知，發(fā)現(xiàn)在條件改變后學生產(chǎn)生的困惑點和易錯點，通過辯析、小組合作等學習方式，牢牢抓住學生的思維起點，感悟周長較長的長方形面積不一定大。

（二）習題呈現(xiàn)（第二題組）

1. 用一條長24米的籬笆圍出一個長方形花園。要圍出盡可能大的花園，長和寬分別可能是多少？面積是多少？

2. 用一條長24米的籬笆圍出一個長方形花園。如果一面靠墻，要圍出盡可能大的花園，長和寬分別是多少？面積是多少？

3 用一條長24米的籬笆圍出一個長方形花園。如果兩面靠墻，要圍出盡可能大的花園，長和寬分別是多少？面積是多少？

【練習目標】

1.基于第一題組可以得出結(jié)論：周長長的長方形，面積不一定大。通過追問“如果周長一定，那么什么情況下面積最大呢？”引發(fā)學生思考。

2.鞏固雙基，建立知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展學生思維，提高學生的推理能力和解決問題的能力，加強對概念的理解。

【設(shè)計意圖】本習題設(shè)計從不靠墻，到一面靠墻，再到兩面靠墻，將同一問題情境分成三種不同情況讓學生經(jīng)歷解決問題的過程。尤其是當一面靠墻的時候，學生會遷移不靠墻的經(jīng)驗，覺得長和寬最接近的時候面積最大，而事實并非如此。因為不靠墻是“長和寬之和一定”的情況，而一面靠墻是“長和兩倍寬之和一定”的情況，與之前的結(jié)論相矛盾，既而引發(fā)學生重新思考問題。好的數(shù)學問題不僅不會讓學生形成思維定勢，還會激發(fā)學生思維火花的迸發(fā)。當兩面靠墻時，因為有了之前的思考作為鋪墊，絕大多數(shù)學生不難在對比和感悟中找尋到問題解決的策略，從而靈活地應(yīng)對不同情況下的問題。本組習題不僅給了后進生鞏固基礎(chǔ)知識的機會，而且訓練了優(yōu)等生的數(shù)學思維，讓不同水平的學生有不同的獲得。

（三）習題呈現(xiàn)（第三題組）

1.一張長30厘米、寬20厘米的長方形紙，周長和面積分別是多少？一次對折后，猜想周長和面積各是多少？再驗證你的猜想。（計算驗證）

猜想：周長=50厘米 面積=300平方厘米

2.再一次對折后變成圖2中的a（空白部分），猜想一下它的面積是多少。思考你是怎么驗證你的想法的？展開后將a（空白部分）剪去，變成了圖2中的b（黑色部分），b的周長和面積各是多少？

【練習目標】

1.動手操作，初步感受長方形經(jīng)過對折之后，周長和面積發(fā)生了怎樣的變化。

2.在動手操作中感受數(shù)學的魅力，體驗成功的喜悅，從而幫助學生建立自信，培養(yǎng)學生從幾何直觀到抽象思維的過渡，再一次調(diào)動學生參與課堂教學的積極性。

【設(shè)計意圖】本組習題讓學生先經(jīng)過大膽猜想，然后動手操作，再通過自己的實踐直觀感受到長方形的周長和面積發(fā)生著怎么樣的變化，從而驗證自己的猜想。借助學生畫的直觀圖，幫助學生理清求圖形b的周長可以轉(zhuǎn)化為求原長方形的周長，有機滲透轉(zhuǎn)化思想，促進學生求異創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。教師應(yīng)該多創(chuàng)設(shè)對學生具有思考價值的問題、能激發(fā)其自主學習的有探究性的數(shù)學任務(wù)，這樣，我們的課堂才會更有數(shù)學味。

（四）習題呈現(xiàn)（第四題組）

1.把圖2中的a（空白部分）往里推，變成圖3的形狀，它的周長和面積又是多少呢？

2.如果把凹進去的部分往上翻，變成圖4的形狀，它的周長和面積又是多少呢？

【練習目標】

1.提煉總結(jié)，幫助學生完成知識建模，其他學生補充、交流，同時學會總結(jié)回顧知識的方法。

2.在學習知識的同時，培養(yǎng)學生學會總結(jié)的能力。

【設(shè)計意圖】將不規(guī)則圖形變成“凹”和“凸”兩個形狀的圖形（電腦動態(tài)演示）。先引導學生對話“凹”和“凸”，“凸”對“凹”得意地大笑：“我不僅面積比你大，而且周長比你長?！弊寣W生扮演“凹”進行反駁。學生根據(jù)表面觀察，容易產(chǎn)生“凸”的周長比“凹”的周長長的認識偏差，通過相互辯駁，使學生明晰道理，將學生思維引向深入。通過計算，再次打破了學生原有的“周長越長的圖形面積越大，面積越大的圖形周長也越長”的思維定勢。在此基礎(chǔ)上，引導學生抽象、概括并總結(jié)出“周長相等的圖形面積不一定相等，面積相等的圖形周長不一定相等”的結(jié)論，從而揭示數(shù)學規(guī)律。在對比、體驗和感悟過程中，不僅提升了學生的理性思維，也有效培養(yǎng)了學生思維的深刻性。

三、設(shè)計感悟反思

數(shù)學習題教學，不僅要尊重數(shù)學知識本身，更要重視對學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。這樣才能使學生擁有一雙用數(shù)學視角觀察世界的眼睛，擁有一個能進行數(shù)學思維的頭腦，擁有一種能用數(shù)學方法解決問題的能力，才能把數(shù)學的根留住，讓學生真正擁有智慧。這四組習題將教學的著力點放在發(fā)展學生的合情推理能力、創(chuàng)新思維能力上，重視實踐探索，引導猜想驗證，啟迪學生思考，教給思考方法。

（一）引導猜想驗證，發(fā)展合情推理能力

猜想是一種合情推理能力，屬于綜合性的認知過程。學生在“猜想—驗證”的問題探索過程中，能親身經(jīng)歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理過程，在探索過程中感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。解答習題中引導學生將長方形紙對折，有的左右方向?qū)φ?，有的上下方向?qū)φ?，打開都變成兩個小長方形。然后學生猜想對折后每個小長方形的周長和面積各多少。最后計算驗證自己的猜想。接著又經(jīng)歷第二次對折，讓學生猜想連續(xù)對折兩次后這個小長方形的面積，要求學生想想怎么驗證自己的猜想，并鼓勵學生用多種方法驗證自己的猜想。學生先經(jīng)過大膽猜想，然后動手操作，從實踐中直觀感受長方形的周長和面積發(fā)生著怎樣的變化，讓學生通過計算驗證自己的猜想，既發(fā)展了學生的合情推理能力，也讓學生在實踐探索中感受到數(shù)學的魅力，體驗到成功的喜悅。

（二）尋求多種策略，發(fā)展創(chuàng)新思維能力

創(chuàng)新離不開思維，沒有思維就不可能有創(chuàng)新。本習題在設(shè)計時并不滿足學生已有的思維成果，而是引導學生從不同角度思考和探索，進行創(chuàng)造性的解決問題。先將長方形按左右、上下連續(xù)對折兩次后展開，再減去右上角的四分之一的小長方形，然后將剪去的空白部分往里推變成“凹”，最后將凹進去的部分往上翻變成“凸”。學生在計算每個不規(guī)則圖形的面積時，并不拘泥于狹隘的解題思路，突破單一的思維模式，敢于打破常規(guī)，轉(zhuǎn)換角度進行思考，沿著不同方向，對同一問題從多角度加以解決，學生的創(chuàng)新思維能力得到有效培養(yǎng)。

（三）組織比較辨析，發(fā)展思維的深刻性

組織比較辨析，有利于讓學生的思維在比較、辨析中走向深刻，進而發(fā)展學生思維的深刻性。數(shù)學中經(jīng)常用到的數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種獲取知識和解決問題的有效方法。習題利用數(shù)形結(jié)合的方式，引導學生從形的方面去研究，進行形象思維；從數(shù)的方面去分析，進行抽象思維。對各種圖形進行有序排列整理，在對比、體驗和感悟中讓學生體會各種圖形周長和面積的變化規(guī)律，感悟變與不變的數(shù)學思想，提升了學生的理性思維。

本習題設(shè)計以發(fā)展學生的思維能力為主線，通過一張長方形紙的不斷變化，在變化中求深刻。讓學生在實踐中體驗，在體驗中思考，在思考中感悟，在感悟中創(chuàng)造，使學生的思維能力得以提升。

（浙江省湖州市織里實驗小學教育集團 313008）