從二元一次不定方程的解法談“一題多解”

李瑩瑩　張磊

摘要：不定方程，即未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)且其解受一定限制（如解為整數(shù)，正整數(shù)等）的方程或方程組。不定方程又稱為丟番圖方程，是數(shù)論的重要分支學(xué)科，是歷史上最活躍的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一。二元一次不定方程是其中一類比較簡單的方程，它在什么情況下有解，有多少組解，以及求解方法，筆者在這里進行了小結(jié)。其中求解的方法都是一些初等數(shù)學(xué)的方法，體現(xiàn)了用初等數(shù)學(xué)思想解決高等數(shù)學(xué)中的問題。

關(guān)鍵詞：二元一次不定方程；數(shù)學(xué)思想；一題多解

一、用多種方法求解二元一次不定方程

在看到一個二元一次不定方程ax+by=c（其中a，b，c是整數(shù)，且a，b都不是0）時，我們首先要判斷其是否有解，利用判斷（a，b）是否整除c來確定。若方程有解，此時，我們可以使用觀察法，輾轉(zhuǎn)相除法，逐步縮小系數(shù)求解等方法來解二元一次不定方程。各種方法步驟如下：

1、1方法介紹

其中觀察法常適用于一些簡單的題目，這類題目我們能夠一眼看出方程特解，然后代入通解的公式進行計算即可。

輾轉(zhuǎn)相除法[1]，又稱帶余數(shù)除法，對于方程ax+by=1，（a，b）=1（1）

假定a>0，b>0，且a>b（注：若a

求解二元一次不定方程的方法很多，筆者在這里列出了以上三種，對于理論理解起來可能有些難度，下面我們通過一個具體的例子來嘗試一下以上3種方法。

1、2舉例分析

求二元一次不定方程15x+25y=100的一切整數(shù)解。

解：原方程等價于3x+5y=20，所以兩者的解完全相同。其中（3，5）=1，所以方程有解。求解方法如下：

方法1：由觀察法可得，3x+5y=20有一組特解為x0=10，y0=-2，因此全部解為：x=10-5t，y=-2+3t（t=0，±1，±2…），因此原方程的全部解為x=10-5t， y=-2+3t（t=0，±1，±2…）.

方法2：輾轉(zhuǎn)相除法：對于二元一次不定方程：3x+5y=20，先求解5x+3y=1，令a=5，b=3，則（3，5）=1，5=3×1+2，即q1=1，r1=2，又由3=2×1+1，即q2=1，r2=1，所以方程5x+3y=1的一個特殊解為：x =（-1）2-1（1×1+0）=-1 y=（-1）2（1×1+1）=2，所以方程3x+5y=20的一個解是x=40，y=-20，所以一切解可以表示為：x=40-5t，y=-20+3t（t=0，±1，±2…），即原方程的全部解為：x=40-5t，y=-20+3t（t=0，±1，±2…）

方法3：逐步縮小系數(shù)法：由3x+5y=20得y= -x+ ，令y= ，y應(yīng)該為整數(shù)。得到一個新的不定方程：5y-2x=20，解該方程得，x= .

此時，令x= ，則有：2x-y=-20，即y-2x=20，顯然上式的一切解為x=t；y=20+2t（t=0，±1，±2…），所以，原方程的一切整數(shù)解為：x=40+5t，y= =20-3t（t=0，±1，±2…）

以上通過求解一道簡單的二元一次不定方程，列舉了使用不同方法求解的情形。根據(jù)學(xué)生的知識條件由淺入深、由此及彼、舉一反三，逐步擴展其知識范圍，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運用靈活的思考方法，使課堂成為同學(xué)們合作、爭辯、探究、交流的場所，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，不斷提高解題能力。

二、一題多解的意義

大學(xué)生已經(jīng)接觸到高等數(shù)學(xué)的知識與方法，具備了使用不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容相互溝通，利用它們的內(nèi)在聯(lián)系來思考問題的基本條件。在教學(xué)過程中，適當?shù)厥褂靡活}多解[2]，能夠啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同思路，啟迪思維，開闊視野，全方位思考問題，分析問題，運用不同的方法解決實際問題，有助于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，可以訓(xùn)練學(xué)生積極思維，觸類旁通，提高學(xué)生思維敏捷性、靈活性和深刻性。教師應(yīng)幫助學(xué)生將每一個孤立的知識模塊聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生良好的認知結(jié)構(gòu)，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，這樣一來，有利于創(chuàng)新意識的形成和發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)與創(chuàng)新精神的好方法。這樣不僅可以創(chuàng)設(shè)新穎的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，而且可以使課堂煥發(fā)生命活力，可以使新課堂理念得到有效的落實。

參考文獻：

[1]《初等數(shù)論》，閔嗣鶴、嚴士健著（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.

[2]張雅軒.談大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一題多解的意義.長春師范大學(xué)學(xué)報，2014.

[3]潘承洞、潘承彪.《初等數(shù)論》.北京：北京大學(xué)出版社，1992年9月.

[4]凌梅.幾種常見的不定方程的求解.教育教學(xué)論壇.2011年3月，186-187.