基于圖像潛在低秩結(jié)構(gòu)的去噪方法

吳瑞平，蔣紅星，葉修梓

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

基于圖像潛在低秩結(jié)構(gòu)的去噪方法

吳瑞平，蔣紅星，葉修梓

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

提出了一種基于圖像潛在低秩結(jié)構(gòu)的去噪方法．該方法首先對(duì)原始圖像的子塊進(jìn)行空間變換從而獲得它們的低秩紋理，然后再利用SVD方法來(lái)壓縮這個(gè)低秩紋理，從而得到最終的去噪結(jié)果．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法的去噪結(jié)果是干凈、清晰的，并且該方法甚至可以對(duì)輸入圖像中的很小的污點(diǎn)進(jìn)行修復(fù)．與非局部均值濾波算法相比，本文所給方法的去噪性能、尤其是對(duì)特征信息的保持性能均有顯著提高．

圖像去噪；非局部均值；低秩結(jié)構(gòu)；旋轉(zhuǎn)；凸優(yōu)化

圖像去噪是圖像處理的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，目的是去除圖像中的各種噪聲污染，同時(shí)又能保持圖像的結(jié)構(gòu)特征如邊緣、紋理等．圖像去噪效果的好壞直接影響著后續(xù)圖像處理工作的進(jìn)行，消除圖像噪聲對(duì)于圖像處理的研究有著非常重要的意義．目前，圖像去噪算法總的來(lái)說(shuō)可以分為兩類(lèi)：局部的方法和非局部的方法．局部的方法就是用某種核與圖像做卷積運(yùn)算，用當(dāng)前像素所在鄰域內(nèi)的所有像素去估計(jì)該像素以實(shí)現(xiàn)去噪，主要有鄰域平均去噪法，基于小波、多小波、輪廓波等變換域以及基于過(guò)完備字典的稀疏表示圖像去噪法，局部自適應(yīng)方法．因局部的方法沒(méi)有利用圖像的全局結(jié)構(gòu)信息，所以去噪后圖像會(huì)出現(xiàn)過(guò)于模糊、細(xì)節(jié)丟失的現(xiàn)象．非局部方法就是像素之間在空間位置上不存在實(shí)質(zhì)性關(guān)系，只與用來(lái)度量像素之間相似性的圖像片有關(guān)，是一種基于圖像塊相似性度量的去噪方法．2005年，Buades等人①Buades A,Coll B,Morel J M. A non-local algorithm for image denoising [C] // 2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'05). IEEE,2005,2: 60-65.提出了一種非局部均值（Nonlocal Means，NLM）圖像去噪方法，該方法通過(guò)加權(quán)平均一些相似像素值來(lái)估計(jì)當(dāng)前像素的真實(shí)值．NLM方法的提出為圖像去噪領(lǐng)域開(kāi)辟了一個(gè)新的空間，將圖像去噪的研究推向了一個(gè)新的高潮，一系列對(duì)NLM方法的改進(jìn)算法被相繼提出．對(duì)NLM方法有效的改進(jìn)算法主要有：Kervrann等[1]提出的優(yōu)化的空間自適應(yīng)（Optimal Spatial Adaptation，OSA）NLM方法（OSA-NLM），該方法從相似性度量和參數(shù)優(yōu)化兩個(gè)方面對(duì)NLM方法進(jìn)行了改進(jìn),實(shí)現(xiàn)了有效的圖像去噪；2011年，Deledalle等人[2]提出的一種形狀自適應(yīng)的NLM方法（SA-NLM），該方法能夠較好地保持弱梯度信息，避免在圖像產(chǎn)生“偽影”的問(wèn)題；對(duì)NLM方法最有效的改進(jìn)是2007年Dabov等人[3]提出的塊匹配三維（BlockMactching3D，BM3D）協(xié)同濾波方法．在NLM方法中，相似權(quán)系數(shù)由以當(dāng)前像素點(diǎn)與其鄰域內(nèi)其它像素點(diǎn)為中心的圖像塊之間的相似性來(lái)決定．圖像塊比單個(gè)像素點(diǎn)蘊(yùn)含的信息更加豐富，能更好地描述圖像的特征，因此能夠更好地度量像素之間的相似性，在去除噪聲的同時(shí)也能有效地保持紋理等具有重復(fù)結(jié)構(gòu)的特征．然而，由于NLM方法中的權(quán)重難以選擇，Rajwade等人[4]提出了一種對(duì)相似圖像塊所組成矩陣進(jìn)行奇異值分解并截?cái)嗟娜ピ敕椒?，該方法能夠有效地處理高斯噪聲．盡管上述基于圖像塊相似性的非局部去噪方法的去噪效果較好，但還是存在著明顯的不足，主要表現(xiàn)在：1）圖像塊內(nèi)部的結(jié)構(gòu)沒(méi)有被有效地利用；2）只能處理高斯噪聲．基于此，本文提出了一種新的基于圖像潛在低秩結(jié)構(gòu)的去噪方法．首先，對(duì)圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換以獲取圖像的低秩紋理，再利用SVD的方法對(duì)這個(gè)低秩紋理進(jìn)行壓縮，就可以得到非常好的去噪效果．對(duì)比NLM算法，本文的低秩壓縮算法去噪效果更佳顯著．由于低秩紋理的規(guī)則或?qū)ΨQ(chēng)的結(jié)構(gòu)特征用局部的像素點(diǎn)是無(wú)法描述的，只能從圖像的較大范圍區(qū)域中獲取，所以獲取的圖像特征具有很好的整體性，包含的特征信息也更為豐富．

1 噪聲模型和非局部均值濾波方法

1.1 噪聲模型

假設(shè)噪聲信號(hào)為與圖像無(wú)關(guān)的加性高斯白噪聲，噪聲模型為：

其中，Y(i)為受污染的噪聲圖像，X(i)為未受噪聲干擾的原始圖像，N(i)為均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲．圖像去噪的目的是從噪聲圖像Y(i)中獲取原始圖像X(i)的最優(yōu)估計(jì)值X~(i)，使其盡可能地接近原始圖像X(i)．

1.2 非局部均值濾波算法

其中權(quán)重值w(i,j)是由像素點(diǎn)i和像素點(diǎn)j之間的相似度決定的，滿(mǎn)足條件：0≤w(i,j)≤1，且∑jw(i,j)=1，而像素點(diǎn)i和像素點(diǎn)j之間的相似度由它們的灰度值矩陣Ni與Nj之間的相似度決定，其中Ni表示以像素點(diǎn)i為中心的圖像子塊區(qū)域，Nj表示以像素點(diǎn)j為中心的圖像子塊區(qū)域．各區(qū)域之間的相似度由它們的高斯加權(quán)歐氏距離d(i,j)來(lái)度量，其定義為：，其中β為高斯核的標(biāo)準(zhǔn)差．鄰域之間灰度值矩陣越相似，相應(yīng)的像素點(diǎn)平均權(quán)重就越大，權(quán)重w(i,j)定義為：為歸一化因子，h為指數(shù)函數(shù)的衰減因子，控制指數(shù)函數(shù)的衰減速度，也影響濾波的程度和去噪性能．

2 旋轉(zhuǎn)不變的低秩紋理

2.1 低秩紋理的定義

本文中，考慮一個(gè)定義在平面空間R2上的2D紋理圖像，其矩陣表示為I0(x,y)，當(dāng)一維函數(shù)族張成一個(gè)有限的低維線(xiàn)性子空間時(shí)，則稱(chēng)0I是一個(gè)低秩紋理．即：

對(duì)于一個(gè)較小的正整數(shù)k，若r存在，則可稱(chēng)0I為一個(gè)秩為r的紋理．通過(guò)該定義，可以很容易地發(fā)現(xiàn)，規(guī)則或?qū)ΨQ(chēng)的模型通常具有低秩紋理．

2.2 變換的低秩紋理

雖然在3D空間中許多平坦的表面或者結(jié)構(gòu)模型呈現(xiàn)的是低秩紋理，但它們的圖像卻不一定具有低秩性．假設(shè)一個(gè)位于平面空間的低秩紋理圖像為A(x,y)，在一定的視角下觀察所獲取的圖像為I(x,y)，用數(shù)學(xué)公式表示為：

其中τ為一個(gè)22R→R的空間旋轉(zhuǎn)變換函數(shù)，在本文中，假設(shè)變換τ為2D仿射或投影變換．通常情況下，經(jīng)過(guò)變換后的紋理I(x,y)不再是低秩的了，例如，一個(gè)水平邊界的秩為1，當(dāng)把它旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，它就變成了一個(gè)滿(mǎn)秩的對(duì)角線(xiàn)邊界．

觀察到的圖像除了旋轉(zhuǎn)變換的干擾外，還會(huì)受到周?chē)h(huán)境的噪聲污染或遮擋的影響，因此，對(duì)于觀測(cè)圖像可以建立如下模型：

其中，矩陣E為圖像中的噪聲、遮擋等干擾量．在本文中，假設(shè)低秩紋理圖像只有很小一部分受到噪聲污染，因此，噪聲矩陣E是一個(gè)稀疏矩陣．我們的目的是從觀測(cè)圖像中恢復(fù)低秩紋理圖像A，得到變換變量τ并且去除噪聲變量．

上述問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題：

文獻(xiàn)[5]中提出，通常情況下，公式（6）中的優(yōu)化問(wèn)題在求解關(guān)于矩陣A的秩和E的零范數(shù)時(shí)是NP-難的，但是，基于矩陣的稀疏表示和低秩恢復(fù)的迅猛發(fā)展，在適當(dāng)條件下，上述問(wèn)題可以替換為求解它們的凸包，可參考Candès[6]和Chandrasekaran[7]以及Xiaoqin Zhang[8-9]的論文，即：用矩陣的核范數(shù)替換rank（ A），矩陣E的1-范數(shù)替換，其中核范數(shù)為矩陣的所有奇異值之和，1-范數(shù)為矩陣中所有元素絕對(duì)值之和．因此公式（6）可轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問(wèn)題：

式中的λ與公式（6）中的γ意義相同．對(duì)于公式（7），前面的目標(biāo)函數(shù)已經(jīng)是凸問(wèn)題，但是，約束條件I?τ=A+E 仍是非線(xiàn)性的，因此公式（7）中的問(wèn)題仍然是非凸的．針對(duì)這一難題，可參照Baker[10]等人的論文，將約束條件線(xiàn)性化為：

其中▽I為雅可比矩陣，它的元素為變換函數(shù)上各變換參數(shù)的增量，則式（7）中的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：

經(jīng)過(guò)線(xiàn)性化后，公式（6）中的問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為公式（9）中的凸優(yōu)化問(wèn)題．由于線(xiàn)性化后的問(wèn)題僅僅是原始非線(xiàn)性問(wèn)題的一個(gè)局部近似，因此，為了使原始的非凸問(wèn)題收斂到（局部）最小值，本文用迭代的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題．根據(jù)迭代凸優(yōu)化的方法可得出針對(duì)該問(wèn)題的算法，如下：

算法1

輸入：原始紋理圖像I∈Rw×h，初始化的變換函數(shù)τ（仿射或投影變換），權(quán)重參數(shù)λ＞0．

迭代循環(huán)：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到收斂時(shí)結(jié)束循環(huán)，循環(huán)過(guò)程分為4步：

第二步（內(nèi)循環(huán)）：解決線(xiàn)性化問(wèn)題：

第三步：更新轉(zhuǎn)換函數(shù)：τ←τ+Δτ*；

第四步：用得到的優(yōu)化結(jié)果A*,E*,τ*重新初始化參量并進(jìn)入第二步的內(nèi)循環(huán)；保存結(jié)果，循環(huán)結(jié)束；

輸出：優(yōu)化解A*,E*,τ*．

算法1描述了本文提出的算法的整體算法結(jié)構(gòu)，下面將針對(duì)該算法進(jìn)行詳細(xì)的分析，并對(duì)算法中的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化．

2.3 基于增廣的拉格朗日乘數(shù)方法（ALM）的快速算法

觀察算法1可以看出，整個(gè)算法中計(jì)算量最大的部分為解決第二步內(nèi)循環(huán)中的凸優(yōu)化．幸運(yùn)的是，關(guān)于核范數(shù)最小化的算法已經(jīng)有了很快的發(fā)展．為了解決公式（9）中的線(xiàn)性化問(wèn)題，我們利用增廣的拉格朗日乘數(shù)法對(duì)算法1進(jìn)行優(yōu)化處理．

將公式（9）轉(zhuǎn)化為增廣拉格朗日方程為：

式中，μ＞0表示附加在不可行點(diǎn)上的懲罰量，Y為拉格朗日乘數(shù)矩陣，表示矩陣的內(nèi)積，f表示目標(biāo)函數(shù)，R表示約束條件的函數(shù)，并且

根據(jù)ALM基本迭代方法，我們的問(wèn)題的ALM基本迭代方法由下式給出：

除非特別指出，本文以下部分都假設(shè)μ=ρkμ0，且滿(mǎn)足μ0＞0，ρ＞1．

現(xiàn)在主要集中于如何有效地解決上述迭代方法的第一步．通常情況下，同時(shí)關(guān)于所有變量A,E和Δτ對(duì)目標(biāo)函數(shù)取最小值的計(jì)算量是非常大的，因此，本文采用迭代最小方法近似地解決這個(gè)問(wèn)題，即對(duì)變量A,E和Δτ一次選取一個(gè)變量關(guān)于目標(biāo)函數(shù)取最小值：

由于問(wèn)題的特殊結(jié)構(gòu)，上述的每一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題都是一個(gè)簡(jiǎn)單的形式解，因此，可以一步解出．更精確地說(shuō)，公式（14）的解可用收縮算子的方法明確地表示如下：

綜合以上分析過(guò)程，再結(jié)合交互式方向方法可將算法1中的內(nèi)循環(huán)過(guò)程優(yōu)化為下面的算法：

算法2

輸入：當(dāng)前經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化和標(biāo)準(zhǔn)化處理后的圖像I?τ∈Rm×n，該圖像關(guān)于變換向量τ的雅可比矩陣▽I，權(quán)重參數(shù)λ＞0．

初始化變量：k=0，Y0=0，E0=0，Δτ0=0，μ0?0，ρ?1．

迭代循環(huán)：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到收斂時(shí)循環(huán)結(jié)束，循環(huán)的主要過(guò)程為使用交互式方向方法逐個(gè)求各個(gè)變量的優(yōu)化值：

用每次循環(huán)求得的參數(shù)值重新初始化變量，然后再次進(jìn)入循環(huán)求最優(yōu)值．

保存結(jié)果，循環(huán)結(jié)束．

輸出：公式（9）中未知參數(shù)的優(yōu)化解A,E,Δτ．

算法在實(shí)際應(yīng)用中，設(shè)定參數(shù)μk為滿(mǎn)足條件μk+1=ρμk且ρ＞1的一個(gè)實(shí)數(shù)序列｛μk｝．

從算法2中可以觀察到，算法中計(jì)算量較大的部分都被近似轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的求奇異值分解的過(guò)程，因此算法的計(jì)算復(fù)雜度隨之有了很大程度的降低．算法1和算法2共同組成了本文提出的基于矩陣低秩結(jié)構(gòu)提取旋轉(zhuǎn)不變紋理特征從而消除圖像噪聲的完整算法．

3 算法驗(yàn)證與結(jié)果分析

3.1 圖像切片上的結(jié)果

從上述算法分析可知，只要圖像的切片適當(dāng)大并包含有效的紋理，就能通過(guò)解決公式（9）中的優(yōu)化問(wèn)題得到低秩的紋理圖像A和旋轉(zhuǎn)變換向量τ．

圖1是SVD得到的近似解圖像．從圖1可以看出，取前兩個(gè)奇異值時(shí)就可以得到D的近似解，并且近似解圖像不僅是干凈清晰的，而且還去除了原始圖片中所有損壞的部分，因此還可以用這個(gè)方法來(lái)改進(jìn)低質(zhì)量的圖像．

圖1 SVD得到的近似解圖像 (I,D∈R289×349)Fig 1 Image of Approximate Solution from SVD (I,D∈R289×349)

對(duì)比本文方法與非局部均值濾波方法的去噪能力，結(jié)果如圖2所示．從圖2可以看出，本文算法的去噪能力顯然要比非局部均值濾波方法的要好．

圖2 本文方法與非局部均值方法去噪能力的對(duì)比Fig 2 Comparison of the De-noising Ability and the Non-local Means

3.2 圖像整體上的結(jié)果

本文的秩壓縮方法不僅對(duì)像建筑物表面這樣有規(guī)則結(jié)構(gòu)的圖像適用，而且對(duì)像樹(shù)和花這樣的自然圖像也適用.為了測(cè)試算法在整體圖像上的效果，把圖像切片以一定程度的重疊連在一起作為輸入圖像運(yùn)行算法，然后對(duì)重疊部分取平均就得到了整體圖像的去噪結(jié)果.去噪過(guò)程如圖3．

圖3 去噪過(guò)程Fig 3 De-noising Process

按圖3的去噪過(guò)程，對(duì)輸入圖像（大小為629 × 659），切成10 × 10的切片．首先用空間旋轉(zhuǎn)變換將傾斜的切片矯正，然后對(duì)這些矯正過(guò)的低秩切片去噪，通過(guò)空間變換把去噪后的切片旋轉(zhuǎn)成和原始圖像一樣的傾斜圖像，對(duì)重疊部分取平均值，就得到輸出的結(jié)果圖像．

輸入圖像，大小分別為629 × 659和915 × 952，均切片，重疊部分大約為8個(gè)像素，以80 × 80的方格網(wǎng)運(yùn)行算法，實(shí)驗(yàn)中所有的δ取值都是20．結(jié)果見(jiàn)圖4和圖5．

圖4 不同算法對(duì)圖像的去噪結(jié)果的比較 (629 × 659)Fig 4 Comparison of different algorithms for image and de-noising result (629 × 659)

圖5 不同算法對(duì)圖像的去噪結(jié)果的比較 (915 × 952)Fig 5 Comparison of different algorithms for image and de-noising result (915 × 952)

對(duì)于δ取值的選擇還需要進(jìn)一步探究．大部分δ的取值都是在一定經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上選擇的，當(dāng)然，還有其他的選取方法，例如利用魯棒的RPCA方法得到輸入圖像切片的秩，把這個(gè)秩作為δ的取值等．

4 一些觀察和討論

圖6 SVD的殘差Fig 6 Residual error of SVD

從圖6可看出，即使對(duì)于沒(méi)有矯正過(guò)的圖像I，當(dāng)取δ＞40時(shí)，殘差項(xiàng)都可以近似為高斯噪聲．對(duì)于利用空間旋轉(zhuǎn)變換矯正過(guò)的圖像，只要取前兩個(gè)奇異值時(shí)，殘差就可以很快地收斂到高斯噪聲，且逐個(gè)地增加了圖像的不同的部分，因此本算法還可以用來(lái)處理圖像的反射和遮擋問(wèn)題．

5 結(jié) 論

本文所提出的基于圖像潛在低秩結(jié)構(gòu)去噪方法，首先將目標(biāo)圖像分成具有重疊結(jié)構(gòu)的子塊，然后通過(guò)仿射變換將圖像子塊分解成一個(gè)低秩矩陣加上一個(gè)稀疏矩陣，搜索與低秩矩陣相似的其它圖像子塊，從而得到一個(gè)數(shù)據(jù)矩陣，對(duì)數(shù)據(jù)矩陣的秩進(jìn)行凸松弛：利用矩陣的核范數(shù)來(lái)近似代替矩陣的秩，并采用快速奇異值截?cái)喾椒ǐ@得上述矩陣的低秩結(jié)構(gòu)，最后對(duì)得到的低秩數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行仿射逆變換，得到原圖像子塊去噪后的結(jié)果．對(duì)圖像整體而言，對(duì)不同圖像子塊重疊區(qū)域求均值，從而得到整體圖像的去噪結(jié)果．本算法有效地利用了圖像子塊內(nèi)部的隱性低秩結(jié)構(gòu)，使得非局部相似圖像塊的匹配更為準(zhǔn)確，通過(guò)將其與圖像子塊間的低秩結(jié)構(gòu)相融合，實(shí)現(xiàn)了信噪比更高的去噪效果．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相對(duì)于其它的經(jīng)典圖像去噪算法，本文算法魯棒性更強(qiáng)，更有效，具有很好的應(yīng)用前景．

我們還可以嘗試進(jìn)一步提高圖像的質(zhì)量，例如，利用超分辨率來(lái)矯正圖像，甚至，還可以試著采用該算法來(lái)處理多個(gè)圖像的反射或者遮擋問(wèn)題．由于整個(gè)算法是基于低秩結(jié)構(gòu)的，所以也將會(huì)導(dǎo)致圖像被壓縮．

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The Study of Image De-noise Method Based on Potential Low-rank Texture

WU Ruiping,JIANG Hongxing,YE Xiuzi
(School of Mathematics and Information Science,Wenzhou University,Wenzhou,China 325035)

In A new image de-noising method is introduced in this paper,which is based on the potential low-rank texture. First step,the sub block of the original image is transformed to get its low-rank texture. Second step,the low-rank texture is compressed via SVD approach to obtain the final de-noising result. The result of experiment indicates that the result of such a de-noising method is clean and sharp. Furthermore,this method is even able to repair tiny stains of the input image. Compared with the non-local means algorithm,the proposed algorithm improves the de-noising performance as well as the preservation of feature information.

Image de-noising; Non-local Means; Low-rank Texture; Revolution; Convex Optimization

TP391.41

：A

：1674-3563(2017)02-0016-09

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.02.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2016-04-21

浙江省自然科學(xué)基金(LY16F020023；LY12F03016)

吳瑞平(1988-)，男，江西余江人，碩士研究生，研究方向：智能系統(tǒng)與控制