基于一次性設(shè)備指數(shù)分布簡(jiǎn)單步加試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析

李曉曉

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

基于一次性設(shè)備指數(shù)分布簡(jiǎn)單步加試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析

李曉曉

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

一次性設(shè)備不能重復(fù)使用，不能通過(guò)試驗(yàn)觀測(cè)到其真實(shí)的壽命，只能觀測(cè)到壽命區(qū)間．為了在短時(shí)間內(nèi)獲得更多的壽命信息，對(duì)壽命服從指數(shù)分布的一次性設(shè)備進(jìn)行了簡(jiǎn)單的步加試驗(yàn)．引進(jìn)EM算法，解決了矩估計(jì)、極大似然估計(jì)等傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)參數(shù)比較困難的問(wèn)題．

一次性設(shè)備；EM算法；指數(shù)分布；步加試驗(yàn)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，高可靠、長(zhǎng)壽命的產(chǎn)品越來(lái)越多，它們?cè)谡９ぷ鳁l件下壽命能達(dá)到數(shù)萬(wàn)小時(shí)以上，甚至更長(zhǎng)時(shí)間，這樣不僅大大增加了試驗(yàn)費(fèi)用，而且由于時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，使試驗(yàn)失去意義．這就要求我們?cè)谧疃痰臅r(shí)間內(nèi)掌握產(chǎn)品的一些質(zhì)量信息．對(duì)于高壽命的產(chǎn)品，截尾壽命試驗(yàn)也不能適應(yīng)這種需要．像一次性設(shè)備，如電子引爆裝置、航天飛機(jī)、軍工兵器、汽車安全氣囊等設(shè)備的壽命是很長(zhǎng)的，由于它們的破壞性質(zhì)，這些設(shè)備在截尾壽命試驗(yàn)中的使用壽命總是左截尾或右截尾[1]，完全樣本的失效時(shí)間無(wú)法觀測(cè)到，在有限的時(shí)間和正常操作條件下收集用來(lái)預(yù)測(cè)設(shè)備可靠性指標(biāo)的足夠的壽命信息就變得相當(dāng)困難．出于這個(gè)原因，加速壽命測(cè)試經(jīng)常被使用，以誘導(dǎo)施加較高水平應(yīng)力的裝置快速失效．

加速壽命試驗(yàn)通過(guò)增加應(yīng)力水平縮短產(chǎn)品壽命，通常在加速壽命試驗(yàn)中設(shè)定恒定應(yīng)力，可以使用多種應(yīng)力因素，例如溫度和濕度．在高應(yīng)力條件下估計(jì)參數(shù)后，可以推測(cè)出高應(yīng)力條件下的平均壽命和失效率，進(jìn)而推斷出正常操作條件下的壽命特性[2-3]．基于一個(gè)假定的分布模型和應(yīng)力的關(guān)系，在一個(gè)特定的任務(wù)時(shí)間和正常工作條件下設(shè)備的可靠性指標(biāo)可以從更高的應(yīng)力水平下的可靠性指標(biāo)來(lái)外推．EM算法是對(duì)參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)應(yīng)用比較廣泛的方法．加速壽命試驗(yàn)研究很多都是一次性設(shè)備在恒定應(yīng)力下進(jìn)行試驗(yàn)的，Balakrishnan等[4]用EM算法估計(jì)了指數(shù)分布下單應(yīng)力因素的一次性設(shè)備模型的參數(shù)，進(jìn)一步將單應(yīng)力因素模型延伸成多應(yīng)力因素模型[5]，并分別將同樣的問(wèn)題延伸到威布爾壽命分布和伽馬壽命分布[6-7]，還做了關(guān)于競(jìng)爭(zhēng)失效模型的EM算法分析[8]．然而，這些研究沒(méi)有考慮將恒定應(yīng)力變?yōu)椴竭M(jìn)應(yīng)力從而進(jìn)行步加試驗(yàn)，步加試驗(yàn)的失效時(shí)間要比恒加試驗(yàn)的失效時(shí)間短，而且可以減少受試樣品的數(shù)量．因此，步加試驗(yàn)是一個(gè)對(duì)于測(cè)試高可靠性產(chǎn)品非常有效的試驗(yàn)方法．

本文在闡述一次性設(shè)備試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃筒郊釉囼?yàn)基礎(chǔ)上，假定產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布，且除了溫度以外沒(méi)有其他應(yīng)力因素的影響．為了方便，設(shè)定兩個(gè)溫度應(yīng)力水平，應(yīng)用EM算法對(duì)一次性設(shè)備壽命服從指數(shù)分布情形進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析．

1 模型闡述

在一次性設(shè)備的步加試驗(yàn)中，將溫度設(shè)置為應(yīng)力因素，用wj(j=1,2)表示，檢測(cè)時(shí)間用tji(i=1,…,mj,j =1,2)表示．首先，將N個(gè)設(shè)備放到溫度w1下，在檢測(cè)時(shí)間t11,…,t1m1取出k11,…,k1m1個(gè)設(shè)備分別進(jìn)行檢測(cè)，在t21時(shí)刻把溫度調(diào)至w1，剩下的設(shè)備分別在檢測(cè)時(shí)間t21,…,t2m2進(jìn)行檢測(cè)．

步加試驗(yàn)?zāi)Ｐ头?hào)說(shuō)明如下：

1）tji(i=1,…,mj,j =1,2)表示設(shè)備的檢測(cè)時(shí)間；

2）wj(j=1,2)表示設(shè)備的檢測(cè)溫度；

3）kji表示在時(shí)間tji和溫度wj下設(shè)備的檢測(cè)個(gè)數(shù)；

4）nji表示在時(shí)間tji和溫度wj下檢測(cè)設(shè)備壞掉的個(gè)數(shù)；

5）tjik表示在檢測(cè)時(shí)間tji下，第k個(gè)設(shè)備的壽命．

在本文中，T為隨機(jī)變量，假定T是獨(dú)立的，服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，令λwj表示設(shè)備中元件在溫度wj下的失效率,tjik表示隨機(jī)變量T的真實(shí)值，則它的概率密度函數(shù)為：

累積分布函數(shù)為：

以及生存函數(shù)為：

λwj和wj的關(guān)系用一個(gè)對(duì)數(shù)線性函數(shù)的形式來(lái)表示：

其中，公式（4）是由加速模型變換而來(lái)，加速模型是單應(yīng)力加速壽命模型中最常用的模型，對(duì)加速模型做對(duì)數(shù)變換，則加速方程就變?yōu)榫€性模型．

在應(yīng)力水平w1下，t11,…,t1m1是樣本實(shí)際的檢測(cè)時(shí)間；而在應(yīng)力水平w2下，檢測(cè)時(shí)間t21,…,t2m2下不是樣本真正的檢測(cè)時(shí)間．因此，步加試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析需對(duì)失效數(shù)據(jù)進(jìn)行換算，這里需要增加假定A3[9]．

假定A3[9]產(chǎn)品的殘余壽命僅依賴于當(dāng)時(shí)已累積失效部分和當(dāng)時(shí)應(yīng)力水平，而與累積的方式無(wú)關(guān)．

假定A3是Nelson[10]根據(jù)產(chǎn)品的物理失效規(guī)律提出的，利用這一假定，可對(duì)步加試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行折算．如果產(chǎn)品在應(yīng)力水平S下的壽命分布為Fs(t)，則假定A3的數(shù)學(xué)意義是：產(chǎn)品在應(yīng)力水平Si下工作τi時(shí)間的累積失效概率FSi(τi)，相當(dāng)于該產(chǎn)品在應(yīng)力水平Sj下工作τij時(shí)間的累積失效概率FSj(τij)，即

將其展開(kāi)為

即在概率意義下，產(chǎn)品在應(yīng)力水平Si下試驗(yàn)iτ時(shí)間相當(dāng)于在應(yīng)力水平Sj下試驗(yàn)時(shí)間，其中假定iθ和jθ分別是在應(yīng)力水平Si和應(yīng)力水平Sj下的參數(shù)．

應(yīng)用假定A3，可以將應(yīng)力水平w2下的測(cè)試數(shù)據(jù)折算成應(yīng)力水平w1下：

相應(yīng)的的似然函數(shù)為：

2 EM算法

EM算法（Expectation Maximization Algorithm）是一種有效解決缺失數(shù)據(jù)情況下對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)問(wèn)題的方法[11]，主要用來(lái)求極大似然估計(jì)，它的每一次迭代中由兩部組成：E步（求期望）和M步（極大化）[12]．

假設(shè)Y是觀測(cè)數(shù)據(jù)，Z是潛在數(shù)據(jù)，θ是未知參數(shù)，以p(θ|Y)表示θ基于觀測(cè)數(shù)據(jù)Y的后驗(yàn)分布密度函數(shù)．p(θ|Y,Z)表示添加數(shù)據(jù)Z后得到的關(guān)于θ的后驗(yàn)分布密度函數(shù)，P(Z|θ,Y)表示在給定θ和觀測(cè)數(shù)據(jù)Y下潛在數(shù)據(jù)Z的條件分布密度函數(shù)，我們計(jì)算的目的是觀測(cè)后驗(yàn)分布P(θ|Y)的眾數(shù)．

于是，EM算法可以如下進(jìn)行，記θ(m)為第m+1次迭代開(kāi)始時(shí)后驗(yàn)眾數(shù)的估計(jì)值，則第m+1次迭代的兩步為：

1）E步：將p(θ|Y,Z)或logp(θ|Y,Z)關(guān)于Z的條件分布求期望，從而把Z積掉，即

如此形成了一次迭代θ（m）→θ（m+1）．將上述E步和M步進(jìn)行迭代直至，或者充分小時(shí)停止．本文中的步加試驗(yàn)中有兩個(gè)參數(shù)，分別是待估參數(shù)α0和α1．

一次性設(shè)備的樣本中，λwj=α0eα1wj，α0,α1,w≥0，λwj表示設(shè)備中元件在溫度wj下的失效率，α0和α1是兩個(gè)興趣參數(shù)，溫度wj是觀測(cè)數(shù)據(jù)，而壽命tjik是隱藏的數(shù)據(jù)．這里α0和α1的對(duì)數(shù)似然函數(shù)用lc(α)表示為

M步的目標(biāo)就是函數(shù)的極大化

E步和M步是迭代的，直到收斂到我們想要的精確水平，這樣我們可以看到，首先通過(guò)對(duì)缺失數(shù)據(jù)的逼近，解決了不完全數(shù)據(jù)的問(wèn)題，然后用它們算出參數(shù)向量的估計(jì)．

2.1 M步

對(duì)公式（12）分別關(guān)于0α和1α求一階導(dǎo)數(shù)，可以得到相應(yīng)的似然方程

令一階導(dǎo)數(shù)為零，方程（12）和（13）分別可以寫為

通過(guò)牛頓迭代法解決方程式，第m+1次迭代公式為

2.2 E步

在E步，應(yīng)力水平w1下，服從失效率為λ的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為

則得到溫度w1下的平均壽命為

同樣的，在應(yīng)力水平w2下，應(yīng)用假定A3，將溫度w1下那部分的試驗(yàn)數(shù)據(jù)折算成溫度w2下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中假定真實(shí)的壽命t是相互獨(dú)立的，并且服從失效率為λ的指數(shù)分布，相應(yīng)的密度函數(shù)為

則得到溫度w2下的平均壽命為

3 結(jié) 論

對(duì)于加速壽命試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，關(guān)于恒定應(yīng)力試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析研究有很多，由于步加試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膹?fù)雜性，導(dǎo)致成熟的結(jié)果較少．本文進(jìn)行了簡(jiǎn)單步加試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析，針對(duì)一次性設(shè)備在步加試驗(yàn)中不能通過(guò)試驗(yàn)觀測(cè)到其真實(shí)的壽命，只能觀測(cè)到壽命區(qū)間這個(gè)問(wèn)題引進(jìn)了EM算法．EM算法的最大優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單和穩(wěn)定，它的主要目的是提供一個(gè)簡(jiǎn)單的迭代算法來(lái)計(jì)算極大似然估計(jì)．利用EM算法能很好處理在缺失數(shù)據(jù)等不完全數(shù)據(jù)的情形下獲得極大似然估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算并完成一系列的極大化，使得參數(shù)估計(jì)變得簡(jiǎn)單有效．

本文為探究高可靠、長(zhǎng)壽命特別是一次性設(shè)備在正常應(yīng)力水平下的壽命特征做了理論分析，步加試驗(yàn)技術(shù)迎合了高可靠、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品評(píng)估的工程需求，涉及武器裝備、航空、航天、機(jī)械、電子等諸多領(lǐng)域．綜合本文的分析，可以看出EM算法在處理數(shù)據(jù)缺失問(wèn)題中有明顯優(yōu)勢(shì)，算法和原理簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛．

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The Statistic Analysis of the Simple SSALT Based on the Exponential Distribution of Disposable Equipment

LI Xiaoxiao
(College of Mathematics and Information Science,Wenzhou University,Wenzhou,China 325035)

It is well-known that the disposable equipment cannot be reused and its true life span cannot be observed through experiments except for its lifetime section. In order to gain more lifetime information in a short time,a simple step-stress accelerated life-test (SSALT) is undertaken in the experiment towards disposable equipment of the lifetime exponential distribution. Whereby the EM-algorithm is introduced to estimate the parameters of the model. This method turns out to be better than the traditional statistical methods like moment estimation and maximum likelihood estimation to solve the above problem.

Disposable Equipment; EM Algorithm; Exponential Distribution; Step-stress Accelerated Life-tests (SSALT)

O213.2

：A

：1674-3563(2017)02-0008-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.02.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2016-03-17

國(guó)家自然科學(xué)基金(11201345)

李曉曉(1990-)，女，山東濰坊人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與數(shù)理金融