經(jīng)歷抽象過程，發(fā)展抽象能力
——“三角形的認識”教學片段及反思

◇劉 燕

經(jīng)歷抽象過程，發(fā)展抽象能力
——“三角形的認識”教學片段及反思

◇劉 燕

教過四年級“三角形的認識”的老師都會觀察到這樣的現(xiàn)象：學完該內(nèi)容后，給學生一個直角三角形，要求畫出以直角邊為底的高，許多學生都會在另一條直角邊的旁邊畫一條不垂直于底的虛線（如圖1所示）。針對這一現(xiàn)象我做了有趣的測試：將同樣的直角三角形提供給三年級學生，請他們測量這個三角形的高，結果無一例外，全班同學都測量對了（如圖2所示）！這真是有趣的現(xiàn)象：老師不教，學生都會；老師一教，學生反而不會了。究其原因，是學生在學習該內(nèi)容時沒能真正理解三角形高的含義，深刻印在他們頭腦中的不是高的本質(zhì)屬性，而是高的外在形式——“虛線”。

圖1

圖2

概念是抽象思維的起點，在抽象思維的過程中，人們需要借助概念、判斷、推理反映現(xiàn)實。概念教學中，如果學生在頭腦中建立的概念對象只是外在形式，缺乏對本質(zhì)屬性的理解和認識，那么必將直接影響抽象思維的能力。因而，在基本概念教學中讓學生經(jīng)歷抽象的過程，舍棄個別的、非本質(zhì)的屬性，抽象出共同的、本質(zhì)的屬性，經(jīng)過概括形成概念，才有助于學生抽象思維能力的發(fā)展。

基于這樣的思考，在“三角形的認識”教學中，我做了以下嘗試，以期讓學生經(jīng)歷概念形成的抽象概括過程，了解概念本質(zhì)，發(fā)展抽象能力。

片段一：定義三角形，在抽象概括中積累活動經(jīng)驗。

1．復習舊知，喚醒已有感性經(jīng)驗。

師：低年級我們已經(jīng)認識了三角形，判斷一下，下面的圖形中哪些是三角形？哪些不是？說一說為什么。

（出示圖3）

下面的圖形中哪些是三角形？

圖3

生：3、5號圖形是三角形，1、2、4、6號圖形不是三角形。

師：你怎么看出來2號不是三角形的？

生：它有四條邊，是四邊形。

師：1號、4號和6號圖形只有三條邊呀，你怎么還說它們不是三角形呢？

生：1號圖形有缺口，6號圖形沒有合起來。

生：4號圖形有一條邊是彎的。

師：低年級我們學過畫三角形，還記得嗎？請畫一個三角形。

（學生獨立畫，教師巡視并展示）

2．抽象概括，積累定義概念的數(shù)學活動經(jīng)驗。

師：以前我們已經(jīng)學會了“認”三角形、“畫”三角形，這節(jié)課我們還要會“說”三角形。這種“說”有特殊的要求，即按照你的說法，一定是三角形，不可能是其他圖形,并且盡可能“說”得簡潔,這又叫給三角形下定義。

（片刻思考后,學生有了如下回答）

生1：只有三條邊、三個角、三個頂點的封閉圖形是三角形。

生2：我覺得他那樣說有個不好的地方，三角形的邊不能彎,所以應該這樣說:只有三條邊、三個角、三個頂點的封閉圖形,并且邊是直的，這樣的圖形是三角形。

生3：這樣說好是好，就是有些啰嗦，可以更簡潔：只有三條線段、三個角、三個頂點的封閉圖形是三角形。

（全班學生自動鼓掌）

生4：頂點可以不說，因為有三個角就有三個頂點了！只有三條線段、三個角的封閉圖形是三角形。

生5：角也可以不說，由三條線段組成的封閉圖形是三角形。

（有的學生鼓掌，有的在思考）

生6：那別人畫出這樣的圖形怎么辦？

（生6板演：圖4）

圖4

師:我們看看書上是怎么說的。比較書上的定義，你有什么看法？

[齊讀課本中三角形的定義：由三條線段圍成的封閉圖形（相鄰線段的端點相連）]

生5：書上用了“圍成”，比我們的“組成”更準確和形象，并且書上括號中的補充說明，也避免了出現(xiàn)誤解。

師：數(shù)學概念的定義，往往是經(jīng)過很多年才逐漸完善的，今天，你們在短短十幾分鐘的時間里經(jīng)過獨立思考、討論交流、互相補充概括出的三角形的定義已經(jīng)比較準確，老師為你們能夠勤于動腦思考并初步學會了怎么下定義而高興！

師：你認為在三角形的定義中哪些詞語重要？為什么？

生：“三條線段”重要，因為必須是三條，而且必須是直的、有端點。

生：“圍成”也很重要，因為如果不是圍成，像6號圖形那樣就不是三角形了。

生：“封閉圖形”和 “相鄰線段的端點相連”也很重要，否則像1號和黑板上那樣的圖形（指圖4）就不是三角形了。

師：看來同學們在總結、概括三角形定義的過程中對三角形有了更深刻的認識。

反思：定義是對于一種事物的本質(zhì)特征或一個概念的內(nèi)涵和外延的確切而簡要的說明。我在喚醒學生已有感性認識的基礎上，首先提出“說”（定義）的兩個要求：1.確切：一定是三角形，不可能是其他圖形；2.簡要：盡可能“說”得簡潔。提出了定義的要求，再由學生根據(jù)要求嘗試概括三角形的定義。觀察課堂中學生的表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，學生由三角形的特征三條邊、三個角、三個頂點出發(fā)，按照“確切”“簡要”的要求抽象概括，互相修正，逐步完善、簡化，最終得到了非常接近課本的定義。最后再通過與課本中的定義比較，完善認識。由于提出了“說”的要求，無須老師舉反例，學生自己就能展開更深入的交流討論。學習定義本身不僅僅是掌握定義，更要以學習定義為載體發(fā)展學生的抽象概括能力，為學生積累定義數(shù)學概念的思維活動經(jīng)驗。

片段二：測量高，在測量活動中感悟高的本質(zhì)。

師：同學們，和你們一樣，每個三角形都有自己的身高。你看，三角形ABC和三角形DEF正在爭論，都說自己更高。

（出示圖5）

圖5

師：你能幫它們量一量嗎？

（學生先獨立在練習紙上測量，再交流討論，并請一個學生用實物投影演示。學生都是測量AB邊和DE邊）

師：為什么你們都量這條邊（指未標“底”的直角邊），不量這條（指斜邊）？

生：不能斜著量。

生：要垂直。

師：原來BC邊和EF邊就像這兩個三角形的腳底。量高時一定要垂直于底邊！

師：公正的裁判們，請告訴我它們誰比較高？

生：三角形ABC比較高！

師：聽到你們的回答，三角形DEF說：“我不服氣，你們?nèi)酥挥幸粋€腳底，我們?nèi)切慰刹恢挂粋€呢，你們看！”

（課件演示兩個三角形翻轉，如圖6）

圖6

師：現(xiàn)在哪條邊相當于腳底？

生：AB邊和DE邊。

師：你能測出以AB邊和DE邊為腳底時它們的身高嗎？

（學生再次獨立在練習紙上測量、交流討論、實物投影演示，學生都是測量CB邊和FE邊）

師：為什么你們都量這條邊（指直角邊），不量這條（指斜邊）？

生：要垂直于腳底AB邊和DE邊！

師：現(xiàn)在誰比較高？

生：三角形DEF比較高。

師：你們猜猜，三角形ABC會說什么？

生：不服氣，不服氣，我們再換一個腳底比一比，然后再翻個跟頭。

（生笑）

師：現(xiàn)在它們會以哪條邊為底比身高呢？

生：AC邊和DF邊。

（出示圖7，課件演示兩個三角形再次翻轉）

圖7

師：你能測出以CA邊和FD邊為腳底時它們的身高嗎？請把你們量的邊畫出來。

（學生再次在練習紙上獨立測量、交流討論、實物投影演示）

師：為什么這次你們既不量這條邊（指斜邊），也不量這兩條邊（指兩條直角邊），而是在中間畫了一條線來量？

生：因為那兩條都不垂直于腳底。

師：現(xiàn)在誰比較高？

生：還是三角形DEF比較高。

師：三角形的高與我們?nèi)说纳砀弑?，有什么特別的地方？

生：我們?nèi)酥挥幸粋€身高，三角形有三個。

生：因為三角形有三條邊，都可以做腳底。

師：（邊比畫）在三角形中，像人的腳底一樣的邊我們不叫“腳底”，而是稱為“底”；像身子一樣的邊也不叫“身高”，而是稱為“高”。以三角形的三條邊為底，分別有三條高。

師：剛才我們研究了直角三角形的高，你還有什么問題嗎？

（學生沉默）

師：我們學過的三角形除了直角三角形還有——

生：銳角三角形的高和鈍角三角形的高是怎樣的呢？

生：我很想試著畫一畫、量一量。

師：那我們就再一起來試著畫一畫、量一量銳角三角形的高吧。

(教師指導學生畫銳角三角形的高，略)

師：鈍角三角形的高同學們課后可以探討。

反思：三角形高的教學是個難點。在以往聽課過程中發(fā)現(xiàn)，四年級學生很難從文字表述上抽象理解三角形高的概念。盡管學生能背出什么是三角形的高，但一旦動手量或畫的時候就顯得困難重重，常畫一條不垂直于底的虛線，認為是高?？傊?，學生對三角形高的外在形式“虛線”印象深刻，而沒有真正理解高的本質(zhì)屬性。高，究其本質(zhì)是一個距離，是垂直于底邊的那條線段的長度，虛線只是表示這條線段所在的位置。

考慮到小學生在生活中已經(jīng)積累了大量測量身高的活動經(jīng)驗，如從頭頂量到腳底的垂直距離、測量時尺子要垂直于腳底等，我換了一種教學思路：讓學生運用量身高的活動經(jīng)驗遷移，幫助給三角形量“身高”。創(chuàng)設三角形比身高的童話情境，由易到難，先從直角三角形的一條直角邊為底的高量起（因為其高所在位置是顯性的），再以一個形象的比喻——三角形“翻跟頭”，讓學生看到三角形的三條邊都可以做“腳底（底）”，再讓學生分別測量以另一條直角邊和斜邊為底的高。其中以斜邊為底的高的測量是難點，因為其所在位置沒有線條標識，順理成章讓學生用虛線將其所在位置標識出來。學生在活動中感悟了高是“從頂點到底邊的垂直距離”這一本質(zhì)屬性，無論畫與不畫，它都是存在的，畫只是將其標識出來，從而為學生理清了三角形高的本質(zhì)屬性及其外在形式之間的關系。最后引導學生聯(lián)想提出有關銳角三角形的高的問題，指導和規(guī)范學生畫高的方法。在測量高的操作活動中，學生共計測量和畫出了兩個直角三角形和一個銳角三角形的9條高，積累了有關三角形高的大量感性認識，為下一步抽象概括定義奠定了基礎。

片段三：定義高，在概括活動中發(fā)展抽象能力。

師：你能說說什么是三角形的高嗎？

（討論交流）

生：從最高點到邊的垂線段長度。

師：可是如果換個位置呢？就如同人，如果躺著，你總不能這么說吧！我們都是說從頭頂?shù)侥_底的距離，三角形的高如何能說得更準確一些呢？

生：三角形的高是指從角到邊的垂直距離。

生：有三條邊，應該講清“三角形的高是指從角到對邊的垂直距離”。

（全班給予掌聲）

師：補充得很好，可是我們知道，角是由一個頂點和兩條邊組成的。

生：我知道了，應該講清“三角形的高是指從角的頂點到對邊的距離，一定要垂直”。

（全班再次給予掌聲）

師：很好，你們已經(jīng)真正理解了什么是三角形的高。打開課本，看看書上是怎么描述的。

反思：由于在上一環(huán)節(jié)學生多次感悟了高是“頂點到底邊的垂直距離”這一本質(zhì)屬性，此時的抽象概括水到渠成。學生能抽象概括出“三角形的高”的概念，說明學生對概念已經(jīng)有了深刻的理解。有了對本質(zhì)屬性的認識，學生測量和畫高時，不論是什么三角形，都能把握關鍵，測量準確、畫得準確。

張奠宙教授認為“數(shù)學的對象是抽象的、形式化的思想材料”。思想材料進入頭腦必須經(jīng)歷過程，這樣思想材料才能成為他（學生）的材料（涂榮豹語）。在基礎性概念的形成階段，讓學生經(jīng)歷從許多事物中抽出共同本質(zhì)屬性的抽象過程，經(jīng)歷把事物的共同特點歸結在一起并概括、建立概念的過程，概念才能真正成為學生本人的思想材料，學生才能發(fā)展出以概念為思想材料的抽象思維能力。

（作者單位：廣東中山市教育教學研究室）