發(fā)散思維和聚合思維在數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合培養(yǎng)

【摘要】數(shù)學(xué)本身是立足于激發(fā)聯(lián)想、開拓創(chuàng)新的一門應(yīng)用學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和豐富的想象力。而傳統(tǒng)的教學(xué)中存在一系列問題，導(dǎo)致教師在教學(xué)中仍然選擇“題海戰(zhàn)”，嚴(yán)重制約了學(xué)習(xí)者的思考空間。針對這一情況，本文以具體初中教學(xué)為例，結(jié)合最新的中考命題，就如何在日常教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和聚合思維的融合運(yùn)用展開探討。

【關(guān)鍵詞】發(fā)散思維 聚合思維 運(yùn)用 培養(yǎng)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）17-0148-02

引言

時(shí)代在進(jìn)步，教育在發(fā)展。新世紀(jì)的教育，特別重視學(xué)生多維智力的發(fā)展，也就是立體思維的培養(yǎng)。立體思維也可稱為空間思維、整體思維，是縱橫統(tǒng)一，全方位去思考的思維方式。這種思維不受限制，由外到內(nèi)多角度去觀察思考問題，并克服思想的片面性，從而拓寬創(chuàng)新之路。有心理學(xué)家曾出這樣的一道題：在一塊地上種四棵樹，要求樹與樹之間的距離相等。結(jié)果受試的學(xué)生無論畫什么形狀的四邊形都得不到答案。后來心理學(xué)家給出答案：可以將其中一棵樹種在山頂上！只要這樣，其余的三棵樹就可以與它構(gòu)成正四面體，符合等距離。這些學(xué)生就是因?yàn)闆]有學(xué)會靈活運(yùn)用創(chuàng)造性方法——立體思維法。影響這個(gè)立體思維的因素是創(chuàng)造思維，創(chuàng)造就需要各種思維的運(yùn)用，包括左腦的推理、分析、歸納、總結(jié)等邏輯思維和右腦的聯(lián)想、摸擬、想象等形象思維。盡管創(chuàng)造的過程是多么復(fù)雜，最終還是發(fā)散思維與聚合思維這兩種對立思維起的核心和關(guān)鍵作用，是難分難解的兩種思維方式。因而，我們在教學(xué)過程中要積極培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)合理地運(yùn)用發(fā)散思維與聚合思維。

一、發(fā)散思維與聚合思維的運(yùn)用方式

發(fā)散與聚合是思維的兩翼，方向雖然不同，但都是為了更好地找到一個(gè)最合理、最佳的答案或結(jié)論。這兩種相反方向的思維，一個(gè)由中心向外擴(kuò)散，一個(gè)往中心里聚集。發(fā)散思維是在一段時(shí)期內(nèi)朝著多種方向不拘一格地去探尋各種不同的答案及途徑；它表現(xiàn)自由發(fā)揮，視野廣闊，新穎獨(dú)特。聚合思維是由已知的命題或事實(shí)為起點(diǎn)，有方向、有條理的收斂；或是從不同來源、不同層次、不同材料探求出正確的答案；它遵循嚴(yán)謹(jǐn)周密、實(shí)事求是、重視驗(yàn)證。兩種思維都是相輔相成、密切聯(lián)系的，都是解決問題不可缺少的。發(fā)散思維給聚合思維提供廣闊的信息之源，聚合思維反過來為發(fā)散思維提供科學(xué)的依據(jù)，使發(fā)散思維不會變成胡編濫造。在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)思維中，兩者是交叉并存的。例如，當(dāng)面對一道要提供一個(gè)答案的填空題時(shí)，就會有若干個(gè)聯(lián)想產(chǎn)生——發(fā)散；當(dāng)陳述完題目，明白了題意和需要填的性質(zhì)或形式——聚合；然后，思考可能出現(xiàn)的幾個(gè)答案——發(fā)散；最后，逐個(gè)加以驗(yàn)證，放棄不合適的設(shè)想，選取其中最符合要求的答案——聚合。可見，發(fā)散思維和聚合思維在數(shù)學(xué)探索問題答案思維過程中是緊密聯(lián)系交替使用、缺一不可的。因而，我們教師在傳授知識時(shí)，既要重視培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，又不能忽視聚合思維的培養(yǎng)，這樣才能更好地促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新的思維發(fā)展，提高學(xué)習(xí)的實(shí)踐能力。

二、發(fā)散性思維和聚合思維在數(shù)學(xué)教學(xué)的培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理運(yùn)用發(fā)散思維與聚合思維可以有效地幫助學(xué)生樹立科學(xué)的抽象思維和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維。因而，如何有效培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散、聚合思維能力的運(yùn)用是值得我們進(jìn)一步去探討。下文在課本的基礎(chǔ)上，選用數(shù)學(xué)中考題目為例探究有關(guān)的培養(yǎng)方法。

㈠“一題多考”培養(yǎng)發(fā)散思維和聚合思維的深刻性

隨著新課改的推進(jìn)，中考試題涉及面越來越廣，形式多變，而且越加注重考查學(xué)生的應(yīng)變力和理解力。中考數(shù)學(xué)試題逐步表現(xiàn)出素材廣、形式多、花樣新的特點(diǎn)，更加著眼于對學(xué)生的應(yīng)變能力和潛能的考查。這類問題多見于開放性的題型，每年開放性的試題成為了各地命題的焦點(diǎn)，“一題多考”恰恰是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用發(fā)散思維和聚合思維解答這類試題能力的有效方法。

如填空題：（2013 浙江省義烏市）14.如圖，已知∠B=∠C，添加一個(gè)條件使△ABD≌△ACE（不標(biāo)注新的字母，不添加新的線段）.你添加的條件是_______。

（2013 湖南省常德市）請寫一個(gè)圖像在第二，四象限的反比例函數(shù)解析式：_________。

開放性題型是各地中考?？碱}型，此類題型答案不唯一固定，是發(fā)散性思維的具體表現(xiàn)。但解答時(shí)卻必須知道題目所考的知識點(diǎn)，根據(jù)相關(guān)理論作答，這又需要聚合思維。在廣州近五年中考中，此類的題目考得相當(dāng)多，近年來直接放在最后兩題來考。下表對近5年廣州中考開放性題目做了一個(gè)統(tǒng)計(jì)：

從表中可以看到，題目放置越來越后，2016甚至把這個(gè)問題直接放到壓軸題了。雖然是最后一問，但題目并不是“高不可攀”的，我們可以嘗試用聚合思維先引導(dǎo)學(xué)生以畫圖入手，敢于觸碰，題目取分的可能性就加大了。以考題為例：

【例1】25.如圖10，點(diǎn)C為△ABD外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不在上，且不與點(diǎn)B、D重合），∠ACB=∠ABD=45°。

（1）求證：BD是該外接圓的直徑；

（2）連接CD，求證：AC=BC+CD

（3）若△ABC關(guān)于直線AB的對稱圖形為△ABM，連接DM，試探究DM2，AM2，BM2三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

面對第（3）問，學(xué)生最容易聯(lián)想到的是勾股定理。但當(dāng)把圖形構(gòu)造起來后，學(xué)生馬上會發(fā)現(xiàn)三條線段中以DM為最長，但這三條線段不在同一三角形中，無法構(gòu)成直角三角形。我們就要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維聯(lián)想運(yùn)用所學(xué)的知識，然后把思維聚合回來考慮線段等量代換方法。類似的問題，在我們的教材中其實(shí)有很多體現(xiàn)。

【例2】（九年級教材）已知如圖所示，AB是O的直徑，C、D是半圓弧上的兩點(diǎn)，E是AB上除O外的一點(diǎn)，AC與DE相交于點(diǎn)F，①AD=CD；②DE⊥AB；③AF=DF。

⑴寫出以“①②③中的任意兩個(gè)為條件，推出第三個(gè)（結(jié)論）”的一個(gè)正確命題，并加以證明；

⑵以“①②③中的任意兩個(gè)為條件，推出第三個(gè)（結(jié)論）”可以組成多少個(gè)正確的命題？

我們不妨可以發(fā)散思維把題目條件“C、D是半圓弧上的兩點(diǎn)”稍作改動(dòng)為“C、D是圓上的兩點(diǎn)”。兩個(gè)問題對比之下，學(xué)生就很容易發(fā)現(xiàn)題目要進(jìn)行分類討論，將思維聚合求出正確答案。同一問題，不同角度進(jìn)行思索，改變學(xué)生“死記硬背”的思考模式，“一題多考”能進(jìn)一步挖掘出題目深度。

㈡“一題巧解”培養(yǎng)發(fā)散思維和聚合思維的靈活性

“一題巧解”是老師們喜歡的解題方式，也是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效方法。在探索不同的解答過程中，往往能碰撞學(xué)生思維的火花，收到意外驚喜。在解題過程中，思維發(fā)散尋求不同解答，再思維聚合對多種思路進(jìn)行鑒別與篩選。

【例3】 （2016廣州）8.若一次函數(shù)y=ax+b的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，則下列不等式中總是成立的是（ C ）

（A）ab>0 （B）a-b>0 （C）a2+b>0 （D）a+b>0

解析：本題考查了一次函數(shù)性質(zhì)、不等式及其性質(zhì)。

解法1：利用條件“一次函數(shù)y=ax+b的圖像經(jīng)過第一、二、四象限”畫出對應(yīng)函數(shù)圖像，由此判斷得出：a<0，b>0，然后分別計(jì)算ab<0，a-b<0，a+b結(jié)果不確定。而C選項(xiàng)中，a2>0，所以a2+b>0必定成立。

解法2：同樣根據(jù)條件“一次函數(shù)y=ax+b的圖像經(jīng)過第一、二、四象限”，設(shè)a=-1，b=1分別代入選項(xiàng)，檢驗(yàn)正確性，顯然只有C是正確的。

【例4】 （2016廣州）23.如圖9，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)C，與直線AD交于點(diǎn)A（），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）。

（1）求直線AD的解析式；

（2）直線AD與x軸交于點(diǎn)B，若點(diǎn)E是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），當(dāng)△BOD與△BCE相似時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。

不斷尋求新的解題方法，從而找到更好、更簡、更巧、更美的解法，能使各個(gè)知識之間得到更好的縱橫聯(lián)系，更好地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散、聚合思維和創(chuàng)新能力。

㈢“變式訓(xùn)練”培養(yǎng)發(fā)散思維和聚合思維的廣闊性

簡單地把類似的題目堆砌在一起，然后讓學(xué)生重復(fù)練習(xí)，這種做法毫無意義，是在走回頭路，實(shí)際就是陷入題海戰(zhàn)，學(xué)生只會越學(xué)越乏味?，F(xiàn)所提的“變式訓(xùn)練”是舊名詞，新做法。變式就是要抓住問題的本質(zhì)，通過變換思維發(fā)散，引導(dǎo)學(xué)生掌握變異規(guī)律，再把思維適當(dāng)聚合運(yùn)用所學(xué)的知識點(diǎn)解決新問題。新的教材對這一觀點(diǎn)做了生動(dòng)的詮釋，如人教版《數(shù)學(xué) 七年級 下冊》P5。在引入了垂線的定義后，課本拋出探究的空間，由此引發(fā)學(xué)生尋找“垂線段最短”這一公理。以下借助中考題探索變式訓(xùn)練。

【例5】（2016廣州）18.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AB=AO，求∠ABD的度數(shù).

變式：圖中，條件“矩形 ABCD”改變?yōu)椤罢叫蜛BCD”，其余條件不改變，問：∠ABD的度數(shù)會變化嗎？

這時(shí)，老師可以引導(dǎo)學(xué)生“能否單獨(dú)改變四邊形ABCD的形狀，而能維持其它條件及問題結(jié)論不變”，運(yùn)用思維發(fā)散改變條件，學(xué)生就容易從矩形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成正方形的性質(zhì)，把思維聚合回來找到解答方法。

結(jié)束語

數(shù)學(xué)是一門講究思維過程的學(xué)科，而發(fā)散性思維和聚合思維則是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。結(jié)合新的思維方式進(jìn)行教學(xué)，留足夠的空間給予學(xué)生思考，使學(xué)生學(xué)會舉一反三，讓學(xué)生在思考的過程中享受數(shù)學(xué)的樂趣，這就是我們需要思維教學(xué)。

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作者簡介：

林燕婷（1978-），女，廣東省清遠(yuǎn)市人，本科，廣州市南武中學(xué)教導(dǎo)處副主任，研究方向：數(shù)學(xué)教育、微課在數(shù)學(xué)教育學(xué)中的應(yīng)用。