工科研究生數值分析課程教學改革

孔勝利

摘 要：為了提高工科研究生“數值分析”課程的教學質量，針對工科研究生“數值分析”課程的學科特點和存在的普遍問題，通過優(yōu)化教學內容、改進教學模式、加強實踐教學、鼓勵學生參與科研項目和競賽以及改革考核方式等多種方式對教學環(huán)節(jié)進行改革，引導研究生了解常用算法的基本思想、程序開發(fā)、實際應用和最新進展等內容，促進學生對常用算法的認識和理解，并提高其解決實際工程問題的能力。

關鍵詞：數值分析；教學改革；Matlab

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）22-0145-03

Abstract： To improve the curriculum teaching quality of the "Numerical Analysis" for engineering postgraduates， various ways are analyzed and adopted to reform the curriculum based on the curriculum characteristics and the common problems， and the main means include optimizing the contents， improving the teaching patterns， strengthening practices， encouraging the postgraduates to participate in the projects and competitions， and rationalizing the assessment modes. These steps will guide the postgraduates to master the basic principles， programming techniques， applications and the latest progress， and also enhance the comprehension for the algorithms and upgrade the ability to solve the engineering problems.

Keywords： numerical analysis； curriculum teaching reform； Matlab

一、概述

隨著我國現代工業(yè)的快速發(fā)展和人們接受更高層次高等教育需求的不斷增長，如何提高研究生教育質量，并為社會培養(yǎng)高素質的創(chuàng)新型人才是我國研究生教育所面臨的主要問題之一。而研究生的培養(yǎng)與本科生有著明顯的區(qū)別，其顯著特點有：1.研究生教育的目標是培養(yǎng)高層次創(chuàng)新型人才，特別注重基礎理論知識的積累和科研思想的培養(yǎng)；2.研究生教育要培養(yǎng)學生獨立開展科研工作的能力和創(chuàng)新思維，研究生擁有很大的自主空間；3.培養(yǎng)研究生綜合應用多學科知識解決實際工程復雜問題的能力[1]。因此，對于工科研究生而言，能對工程模型進行快速高效地科學計算是其必備的基本能力之一。

目前，科學計算是與理論分析和實驗研究并列的科學研究工作中的三大方法之一，在計算力學、機械設計、機電控制、結構分析等工程領域都得到了廣泛的應用[2]。數值分析課程作為工科研究生的公共基礎課，主要介紹科學計算中的誤差與常用的數值計算方法，其教學目的是讓學生系統地了解和掌握常見工程問題數值求解的思想和方法，為后續(xù)課程的學習和課題研究的順利進行奠定良好的基礎。因此，培養(yǎng)工科研究生工程問題的計算能力，切實提高數值分析課程教學質量是一項長期的課程建設任務。

二、數值分析課程的特點

數值分析課程的教學內容主要是利用電子計算機來求解工程問題的數值理論和方法，兼有理論課和實踐課的要求，具備以下特點[3]：

1. 數值分析課程教學內容比較豐富，國內高校為工科研究生開設本課程是以實際工程問題中所建立數學模型的數值求解為出發(fā)點，主要包括誤差的基礎知識、插值法、數值逼近、方程（組）的根、數值微積分、微分方程數值解和邊界值問題的求解等內容，與高等數學和線性代數課程有著明顯的區(qū)別。

2. 數值分析課程是與電子計算機使用密切相關的課程，學生既要系統掌握和使用常用數值算法，又要能借助計算機軟件來解決實際工程問題。

3. 大多數數值分析的課程教材對各種問題的常用計算方法的介紹相對獨立，而且是以常用數值算法的理論知識為主。

三、數值分析課程教學現狀分析

多年以來，我院為機械工程專業(yè)的研究生開設了數值分析課程（32學時），主要選用李慶揚等主編的“數值分析”作為推薦教材[4]。該教材主要包括插值與逼近，數值微分與數值積分，非線性方程與線性方程組的數值解法，矩陣的特征值與特征向量計算，常微分方程數值解法等常用內容，能滿足研究生數值分析課程的教學要求，在國內高校中得到了高度評價和廣泛使用。然而，在我院該課程的教學中，也存在一些比較普遍的問題，主要有：1.學生在學習數值分析課程時，面對復雜的數學公式和算法普遍有畏難抵觸情緒，往往處于被動學習狀態(tài)；2.教材內容側重于理論知識的介紹，缺少典型工程背景知識，學生對所學算法的應用場合理解不夠；3.學生對常用數值計算軟件（如MATLAB）的使用學習不足，利用商業(yè)軟件進行數值計算來解決實際工程問題的能力急需提高。

因此，為了進一步提高數值分析課程的教學質量，必須推進該課程的教學改革和創(chuàng)新，加強工程背景知識和案例庫的建設，建立理論知識和軟件應用相結合的課程教學體系，提高學生學習課程的目的性、積極性和主動性。

四、數值分析課程教學改革

根據我院數值分析課程前期開設所積累的經驗和存在的主要問題，結合該課程的特點和學生的實際情況，我們開展了該課程的教學改革探討。

（一）優(yōu)化教學內容

為了切實提高該課程的教學水平，達到使學生掌握并會使用算法的目的，在充分考慮該課程教學目標要求和學生實際水平的基礎上，任課教師對教學內容進行優(yōu)化。根據我院本課程教學的實際情況，我們主要做了以下幾方面的嘗試。1.根據本課程教學應理論知識與實踐教學并重的指導思想，我們對國內外數值分析課程教學所使用的教材進行了全面調研，在繼續(xù)堅持李慶楊等編寫的《數值分析》作為主教材的同時，參考并引入了多本國外經典“數值分析”教材來豐富課程教學內容，主要有S. Chapra主編的Applied numerical methods with MATLAB for Engineers and Scientists， T. Sauer主編的Numerical analysis和C. Moler主編的Numerical computing with MATLAB等[5]。在堅持常用數值算法理論知識的情況下，加入了具有代表性的工程背景知識及MATLAB程序案例和代碼，使學生掌握工程背景、求解思想、數值算法和MATLAB程序實現等解決實際工程問題的全過程。2.由于教學學時所限，教學內容必須根據專業(yè)要求有所取舍。而對我們工科學生來說，教學側重點肯定與數學專業(yè)的是不一樣的，教學內容應該集中于算法的實現過程和實現方法方面。另外，課堂上不同算法的講授要區(qū)分重點和難點，主要分析常見算法的基本思想、算法的實現和適用范圍以及與其它算法的優(yōu)劣。例如，線性方程組的數值解法，重點介紹雅克比迭代法和高斯賽德爾迭代法的基本思想，迭代過程和相互關系等內容，通過分析工程案例和程序實現，使學生能夠有目的地選擇合適的算法來解決實際工程問題。而對于共軛梯度法和最小殘差法等專門算法僅介紹其基本思想和優(yōu)缺點即可。又比如在數值積分部分，在介紹拋物型公式積分、復化梯形公式積分和復化辛普森公式積分和龍貝格公式積分的基本思想和遞推關系后，重點介紹在工程實際中常用的龍貝格積分公式和高斯求積公式，通過調用相應的MATLAB程序向學生展示求解實際工程問題的全過程。3.在教學內容中加入最新科研論文中各種常用算法的應用和進展，以便學生全面了解各種新算法的功用和思路，提高學生的創(chuàng)新能力[6]。4.對于課堂上由于課時和復雜程度所限而無法展開講授的算法，為學生介紹其基本思想、應用場合和適用范圍等基本內容后，鼓勵學生課下自學[7]。

（二）改進教學模式、方法和手段

隨著信息技術的快速發(fā)展和普及，目前國內大多數高校均逐步采用多媒體教學來取代或部分取代傳統的教學模式，而多媒體教學方法也以其課堂大容量、教學效率高和表現形式豐富等突出優(yōu)點得到了師生的廣泛認可。我院在“數值分析”課程的教學中也采用了多媒體教學，并取得了良好的效果。然而，對于部分教學內容，尤其是涉及數學推導和需要反復思考及練習的教學內容，我們發(fā)現采用多媒體教學并不能取得很好的教學效果，必須根據教學內容的具體特點采取更合適的教學方式[8]。例如，在介紹拉格朗日插值和牛頓插值等內容時，我們有意識地選擇傳統的板書為主的方式，放慢教學進度，讓學生充分地理解和思考插值法的問題來源，插值函數構造思想和不同插值法的區(qū)別并完成一定量的練習，反而取得了不錯的反響。另外，以往的教學主要是以課堂講授為主，課下只是完成一定量的習題或者簡單的計算，學生學習的重點局限在具體算法的應用方面，這與培養(yǎng)學生解決復雜工程問題能力的教學目標相去甚遠。目前，我們有意識地在教學設計中包括數值求解實際工程問題的全過程，例如，在介紹微分方程的數值解法時，從懸臂梁的彎曲變形這個簡單的實際工程問題出發(fā)，讓學生建立其彎曲變形數學模型，然后選用所學的四階龍格庫塔法自行開發(fā)程序和直接利用MATLAB自帶的ode45函數分別進行運算，最終得到計算結果并對比分析，通過讓學生完成解決問題的全過程來切實提高其解決實際工程問題的能力。

（三）增設實驗教學環(huán)節(jié)

國內工科研究生數值分析課程所選用的教材一般都是以理論知識為主，從一系列公式的推導開始，詳細介紹各種具體算法，然后就跳過計算過程而直接給出計算結果，這就容易導致學生對計算過程缺乏完整體驗，對計算結果的正確性和計算精度也無從判斷。Matlab是美國MathWorks公司出品的，以數值計算見長的商業(yè)數學軟件，在世界范圍內得到了廣泛的認可和應用[9]。為了切實提高學生利用軟件工具來解決實際工程問題的能力，我們結合教學內容中所涉及到的常用數值算法和有代表性的工程問題，基于Matlab軟件開發(fā)了一系列典型案例并在課堂上進行實驗演示，充分發(fā)揮多媒體豐富的展示功能，比較直觀地讓學生了解算法實現的具體過程和最終結果。例如，在矩陣分解方面，我們就提供并演示了Cholesky分解，LU分解，QR分解，SVD分解，Schur分解和Hessenberg分解等Matlab軟件自帶的分解函數的實際應用案例[10]；在函數插值方面，提供并演示了Matlab軟件自帶的一維插值、二維插值、多維插值和樣條插值等自帶函數的應用案例。另外，在教學內容設計時積極考慮實施項目教學法的必要條件，通過一些專業(yè)學術論文和教師的科研任務給學生提出相對獨立的項目，明確任務目標和要求，由學生來完成方案設計、模型建立、算法選擇、程序開發(fā)或利用MATLAB軟件和工程計算等全過程，實現理論與實踐相結合，初步培養(yǎng)學生獨立承擔項目工作的能力。由于課時所限，課堂上不可能過多地講解Matlab軟件的實際應用，因此我們鼓勵學生選修或自學Matlab軟件，并以課題小組的形式完成給定項目工作。將課堂實驗演示和課外項目工作相結合，才能使學生真正把算法搞明白，并應用到解決復雜實際工程問題的工作當中。

（四）參與科研項目和競賽活動

為了提高學生綜合利用所學知識解決實際工程問題的能力，選取部分學生以小組的形式加入到教師的科研項目中來，在教師的指導下讓其獨立承擔部分數學計算的工作。通過全程參與實際科研項目工作，讓學生熟悉數值計算的全部環(huán)節(jié)；通過對不同算法的比較和對計算結果的分析，讓學生加深對算法優(yōu)劣和適用范圍的認識，為其開展課題研究積累寶貴的經驗。另外，鼓勵學生積極參加課外科技活動，通過參加全國研究生數學建模競賽和數學中國數學建模網絡挑戰(zhàn)賽等高水平的數學競賽，達到開拓學生視野，培養(yǎng)學生自學能力、團隊配合意識和創(chuàng)新精神的目的[11]。

（五）考核方式的改革

作為評價教學效果的重要手段，課程考核方式對促進學生學習和教師教學均具有重要的導向作用。以前，我院研究生"數值分析"課程的考核是以期末理論考試為主，考查的知識點相對比較單一，不能完全反應出學生綜合運用所學知識解決實際問題的能力。另外，研究生課程主要是以能力培養(yǎng)為主要目標，考核方式也應該能體現出學生的實際能力。因此，我們有意識地加大了對學生完成給定項目能力的考核力度，把基于Matlab軟件的程序開發(fā)和應用能力及項目完成情況納入了考核的范圍，這部分成績占50%，期末考試成績占50%，期末考試采用開卷形式，題目以應用型和設計型為主，這些題目強調工程應用背景，重點考查學生綜合運用所學知識解決復雜工程問題和創(chuàng)新思維的能力[12]。

五、結束語

針對工科研究生數值分析課程的教學要求、學科特點和教學存在的普遍問題進行了全面分析，通過優(yōu)化教學內容、改進教學模式、加強實踐教學環(huán)節(jié)、鼓勵學生參與科研項目和競賽以及改革考核方式等多種方式，并在教學過程中積極推進案例教學法和項目教學法等有效方法，引導研究生了解常用算法的問題來源，基本思想、程序開發(fā)、實際應用和最新進展等內容并展開討論，促進學生對常用算法的認識和理解，并提高其應用算法和軟件解決實際工程問題的能力，切實提高研究生“數值分析”課程的教學質量。

參考文獻：

[1]涂俐蘭.研究生“數值分析”精品課程建設與實踐[J].大學數學，2012，28（6）：10-12.

[2]劉春鳳，楊愛民，馬醒花.研究生課程《數值分析》的教學改革[J].河北理工大學學報（社會科學版），2010，10（2）：73-74.

[3]鄭繼明.研究生數值分析課程的教學改革[J].計算機教育，2016，6：155-157.

[4]李慶楊，王能超，易大義.數值分析[M].5版，北京：清華大學出版社，2008.

[5]唐玲艷，李建平.國內外典型計算方法教材的對比分析[J].大學數學，2015，31（5）：47-52.

[6]唐玲艷，宋松和.《高等數值分析》教學案例的建設與思考[J].大學數學，2015，31（1）：42-47.

[7]王兵賢，胡康秀，王澤文.自主學習模式下“數值分析”實驗教學的探索與實踐[J].實驗室研究與探索，2012，31（6）：147-149.

[8]韋煜明，申宇銘.多媒體輔助教學在《數學分析》中的利與弊及改進措施[J].高教論壇，2012，4（4）：37-40.

[9]袁利軍，曾靜.MATLAB在數值分析課程教學改革中的作用[J].科教文匯，2017，379（3）：55-56.

[10]謝志州.“數值分析”實驗教學的實踐與探索[J].2010，29（5）：133-136.

[11]郭金，韋程東.在數值分析教學中融入數學建模思想的研究與實踐[J].廣西師范學院學報（自然科學版），2008，25（3）：124-127.

[12]譚小花，袁仕芳，梁艷芳.Matlab軟件環(huán)境下數值分析考核方式研究[J].大學教育，2017，2：72-73.