復(fù)變函數(shù)積分種類(lèi)和辦法及留數(shù)簡(jiǎn)單計(jì)算技巧

李夢(mèng)雨 岳曉蕊

摘 要：文章旨在研究復(fù)變函數(shù)的積分的種類(lèi)及其計(jì)算辦法，通過(guò)分析復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)積分的聯(lián)系與不同，根據(jù)被積函數(shù)與積分曲線的種類(lèi)，文章將復(fù)變函數(shù)的積分主要分成三大類(lèi)：路徑積分、解析函數(shù)的積分、閉合曲線上的積分，針對(duì)上述分類(lèi)，分別討論計(jì)算辦法。特別地，對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)的計(jì)算，文章提供了一種較為簡(jiǎn)單的判斷辦法，并給予嚴(yán)格證明。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)的積分；路徑積分；牛頓-萊布尼茨公式；閉合曲線上的積分；無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2017）24-0113-03

Abstract： This paper probes into categories and calculation methods of integral of complex function. By analyzing the integral connections and differences between complex function and real variable function， this paper indicates three major categories： path integral， integral of analytic function and integral of closed curve based on the varieties of integrand and integral curve. It discusses calculation method respectively on the basis of the categories. Particularly， this paper puts forward an easier method to judge residues at the infinity and strictly demonstrates the method.

Keywords： integral of complex function； path integral； Newton-Leibniz formula； integral of closed curve； residue at the infinity

引言

復(fù)變函數(shù)的理論研究距今已有兩百多年的歷史，是數(shù)學(xué)中即古老又較為成熟的一門(mén)學(xué)科。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過(guò)程中相關(guān)理論及其應(yīng)用的重要性可見(jiàn)一斑，尤其是解決一些實(shí)際問(wèn)題，例如，物理中的電磁學(xué)和熱力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)等領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型。復(fù)變函數(shù)作為實(shí)函數(shù)的擴(kuò)展，即當(dāng)自變量退化為實(shí)數(shù)時(shí)，則復(fù)變函數(shù)即為實(shí)函數(shù)。自然地，實(shí)函數(shù)理論中的一個(gè)重要概念——積分，也擴(kuò)展到復(fù)數(shù)領(lǐng)域。復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，而復(fù)變函數(shù)也是由兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)相對(duì)應(yīng)，這樣在處理復(fù)變函數(shù)積分時(shí)就要顯得麻煩得多[1-3]。

本文旨在研究復(fù)變函數(shù)的積分的種類(lèi)及其計(jì)算辦法，并以典型例題加以說(shuō)明。通過(guò)分析復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)積分的聯(lián)系與不同，根據(jù)被積函數(shù)與積分曲線的種類(lèi)，將復(fù)變函數(shù)的積分進(jìn)行分類(lèi)，并針對(duì)不同種類(lèi)闡明計(jì)算辦法。其中，對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)的計(jì)算，本文提供了一種較為簡(jiǎn)單的判斷辦法，并給予嚴(yán)格證明；特別地，當(dāng)函數(shù)為有理分式時(shí)，分母的最高次冪大于等于分子的最高次冪加2時(shí)，則該函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)為零。

一、準(zhǔn)備工作

四、結(jié)束語(yǔ)

本文整理歸納了復(fù)變函數(shù)積分的種類(lèi)和計(jì)算方法。通過(guò)對(duì)比實(shí)函數(shù)與復(fù)變函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別以及探討積分路線和被積函數(shù)的不同情形，將復(fù)變函數(shù)的積分分為三類(lèi)，并分別給出了積分辦法。尤其在留數(shù)定理的辦法中，我們發(fā)現(xiàn)并嚴(yán)格證明了一種計(jì)算無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的高效的方法，從而簡(jiǎn)化計(jì)算步驟。

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