關(guān)于三重積分的一題多解

房明磊 耿顯亞 李強(qiáng)

摘 要：給出了四種計(jì)算三重積分的基本方法，對同一個(gè)積分問題分別通過四種方法求解，并且給出了利用這四種方法所適用的條件和應(yīng)注意的問題。

關(guān)鍵詞：三重積分；直角坐標(biāo)；球面坐標(biāo)；柱面坐標(biāo)

中圖分類號(hào)：O172.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2017）24-0108-03

Abstract： This paper illustrates four essential methods to calculate triple integrals. One triple integral problem can be solved by four methods. Besides， this paper proposes the conditions and problems for using the four methods.

Keywords： triple integral； Cartesian coordinates； spherical coordinates； cylindrical coordinates

重積分一直以來都是學(xué)生在高等數(shù)學(xué)課程中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)同時(shí)也是難點(diǎn)[1，2]，重積分通常指二重積分與三重積分。二重積分的求解通常是將一個(gè)二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分，一般在直角坐標(biāo)下與在極坐標(biāo)系下考慮。在直角坐標(biāo)系下根據(jù)積分區(qū)域通常分為X-型的或者Y-型的，X-型的積分表示先對y再對x積分，Y-型的積分表示先對x再對 y積分。在極坐標(biāo)系下求解二重積分時(shí)一般積分區(qū)域是與圓相關(guān)的區(qū)域，它將一個(gè)二重積分轉(zhuǎn)化為先對極徑r再對極角？茲的二次積分。求解三重積分的基本思想是把三重積分轉(zhuǎn)換為三次積分，三重積分的常用求解方法有：在直角坐標(biāo)系下的投影法（也稱為先一后二法）和切片法（也稱為先二后一法）、柱面坐標(biāo)法和球面坐標(biāo)法。怎么求解三重積分，一直困擾著很多同學(xué)，他們經(jīng)常是拿到題目不知道用什么方法。主要表現(xiàn)為：首先很多同學(xué)對積分區(qū)域的空間想象或圖形不是很清楚，其次對三重積分計(jì)算適用于什么方法不能很好的把握，最后是對變量的積分上下限不知如何確定。下面用一道三重積分的例子[3]分別介紹在使用投影法、切片法、柱面坐標(biāo)法、球面坐標(biāo)法進(jìn)行計(jì)算時(shí)所適合使用的條件和應(yīng)注意的問題，直觀的體會(huì)它們的區(qū)別和進(jìn)行計(jì)算的復(fù)雜程度。

一、采用投影法求解（先一后二）

投影法是計(jì)算三重積分最基本的方法，在求解中首先考慮條件是否滿足切片法、柱面坐標(biāo)法、球面坐標(biāo)法所適用的條件，若滿足，不用投影法，若都不滿足這時(shí)才考慮采用直角坐標(biāo)系下的投影法。利用投影法求解時(shí)：首先要確定積分區(qū)域？贅在某個(gè)坐標(biāo)平面的投影區(qū)域，如考慮在xoy面上的投影，投影區(qū)域就是變量x，y的范圍；其次確定變量z的范圍，用平行于z軸且與z軸正向同方向的射線從左到右去任意穿過積分區(qū)域？贅，若穿入或者穿出的曲面都是同一曲面，那么把這兩個(gè)曲面方程中的變量z分別用 x，y來表示，積分變量z的上下限就已確定，穿入的曲面為積分下限，穿出的曲面為積分上限，否則，穿入或者穿出的不是同一曲面，就要對積分區(qū)域進(jìn)行分割處理。

二、采用切片法求解（先二后一）

切片法一般適用的條件為：第一：被積函數(shù)僅為某一個(gè)變量的函數(shù)，如只為變量z的函數(shù)；第二：用平行xoy面的平面去切割積分區(qū)域？贅時(shí)，所截的面是規(guī)則圖形，比如是圓或圓的一部分時(shí)可以考慮采用切片法求解。在采用切片法求解時(shí)要注意截面是否發(fā)生變化，若有變化需對積分區(qū)域進(jìn)行分割處理后計(jì)算。如何判斷截面是否發(fā)生變化：用平行xoy面的平面由下往上依次去切割積分區(qū)域？贅，若平面與不同的曲面相交，則表示截面發(fā)生了變化；否則沒有發(fā)生變化。若截面沒有變化，那么把這個(gè)曲面方程中含變量x，y的項(xiàng)放在等號(hào)的左端，其他項(xiàng)放在等號(hào)的右端，再把等號(hào)變成小于等于，此表達(dá)式就是截面區(qū)域的方程。

三、采用柱面坐標(biāo)法求解

柱面坐標(biāo)法一般適用的條件為：第一：被積函數(shù)中含有兩個(gè)變量的平方項(xiàng)，如含有x2+y2某種形式；第二：積分區(qū)域？贅在某個(gè)坐標(biāo)平面上的投影區(qū)域是圓、環(huán)或圓的一部分，如在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)閳A或者圓的一部分，則適用于柱面坐標(biāo)法求解。在采用柱面坐標(biāo)法求解時(shí)：首先要明確變量的轉(zhuǎn)變，從x，y，z變成了？茲，r，z其中？茲，r分別為積分區(qū)域？贅在xoy面上的投影區(qū)域用極坐標(biāo)系來表示的極角和極徑，柱面坐標(biāo)一般表示形式為x=rcos？茲，y=rsin？茲，z=z。其次三重積分中體積元素變?yōu)閐xdydz=rd？茲drdz。柱面坐標(biāo)法與前面的投影法聯(lián)系起來，可以理解為投影法的特殊形式，當(dāng)投影法的投影區(qū)域適用極坐標(biāo)系處理時(shí)，則直角坐標(biāo)系下的投影法即轉(zhuǎn)化為柱面坐標(biāo)法，因此往往柱面坐標(biāo)法不用特殊的去學(xué)習(xí)，若投影法和二重積分的極坐標(biāo)求解清楚，那么用柱面坐標(biāo)法就沒有問題了。

四、采用球面坐標(biāo)法求解

最后注意是否要對積分區(qū)域進(jìn)行分割計(jì)算：通常用過坐標(biāo)原點(diǎn)的射線去任意穿過積分區(qū)域？贅，若穿出的曲面不是同一曲面，則需要對積分區(qū)域進(jìn)行分割計(jì)算，否則不需要分割。

在這個(gè)例子中，若直接采用三重積分在直角坐標(biāo)系下的投影法計(jì)算該問題比較復(fù)雜，雖然這種方法的計(jì)算較為復(fù)雜，但有助于學(xué)生掌握在直角坐標(biāo)系下如何將三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分，而利用切片法計(jì)算時(shí)注意到了積分區(qū)域?qū)儆谛璺指钋樾?，要對積分區(qū)域進(jìn)行分割，但求解時(shí)發(fā)現(xiàn)先計(jì)算的二重積分恰好是截面為圓的面積，接下來計(jì)算定積分時(shí)是對多項(xiàng)式函數(shù)的積分，雖要計(jì)算兩個(gè)積分，但是計(jì)算都很簡單，很容易就可得出結(jié)果。觀察滿足適用條件時(shí)發(fā)現(xiàn)此題也適用于柱面坐標(biāo)法和球面坐標(biāo)法，求解計(jì)算量也不大，所以此題在積分區(qū)域或被積函數(shù)的特點(diǎn)上都符合切片法、柱面坐標(biāo)法和球面坐標(biāo)法所適用的條件，此例采用切片法、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算都很適用。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]呂中學(xué).關(guān)于三重積分的計(jì)算[J].高等數(shù)學(xué)研究，2016，19（2）：48-50.

[3]許鋒.高等數(shù)學(xué)（下）同步輔導(dǎo)及習(xí)題[M].天津科學(xué)技術(shù)出版社，2016.

[4]蘇欣，游煦.基于Mathematica的重積分研究[J].高教學(xué)刊，2015（19）：255-257.

[5]高建召.微積分慕課教學(xué)資源與應(yīng)對策略[J].高教學(xué)刊，2017（04）：58-59.

[6]楊晶.微積分教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法的探究[J].高教學(xué)刊，2016（17）：117-118.

[7]肖俊.一道三重積分計(jì)算題引出的思考[J].高等數(shù)學(xué)研究，2017（02）.