Bread-Loaf型磁鋼的永磁電機(jī)氣隙磁場計(jì)算與參數(shù)分析

艾增強(qiáng)，陳進(jìn)華，廖有用，張 馳，杜建科

(1.中國科學(xué)院寧波材料技術(shù)與工程研究所，浙江省機(jī)器人與智能制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，寧波 315201；2.寧波大學(xué),寧波 315211)

0 引 言

根據(jù)永磁體安置方式的不同，永磁電機(jī)可分為表貼式和內(nèi)置式兩種類型。表貼式永磁電機(jī)具有高效率、高轉(zhuǎn)矩密度、結(jié)構(gòu)簡單、安裝方便等優(yōu)點(diǎn)，在電動(dòng)汽車、機(jī)器人、數(shù)控機(jī)床等工業(yè)領(lǐng)域受到廣泛應(yīng)用。目前表貼式永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子磁極主要采用瓦片形磁極結(jié)構(gòu)。瓦片形磁極通常有同心瓦片形磁極和等半徑瓦片形磁極兩種。同心瓦片形磁極結(jié)構(gòu)徑向充磁時(shí)產(chǎn)生的氣隙磁通密度接近矩形波，通常在永磁無刷直流電動(dòng)機(jī)中應(yīng)用較多，若應(yīng)用于正弦波供電場合的永磁同步電機(jī)，將含有大量的諧波，導(dǎo)致鐵耗增加、效率降低且轉(zhuǎn)矩波動(dòng)增大，降低了電機(jī)運(yùn)行的平穩(wěn)性，抑制了電機(jī)在高精度控制應(yīng)用領(lǐng)域的推廣。文獻(xiàn)[1]中的等半徑瓦片形磁極結(jié)構(gòu)對(duì)氣隙磁通密度波形的正弦性有較大的改善，在一定程度上可以降低電機(jī)的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，但是會(huì)減少每極磁通，影響電機(jī)的運(yùn)行性能。文獻(xiàn)[2]提出了一種導(dǎo)磁的金屬塊和永磁體結(jié)合的磁極結(jié)構(gòu)，用有限元方法對(duì)比分析了這種結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的氣隙磁場的分布，并用遺傳算法對(duì)這種結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[3]分析了磁極結(jié)構(gòu)對(duì)永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動(dòng)勢波形的影響，分析表明了正弦形磁極結(jié)構(gòu)不僅可以減小齒槽轉(zhuǎn)矩，而且還可以得到正弦性更好的反電動(dòng)勢波形。

目前氣隙磁場分析主要的方法有解析法、磁路法以及有限元方法等。有限元方法精度高但耗時(shí)長；磁路法精度低；二維解析法精度高于磁路法，易理解，在計(jì)算機(jī)的輔助下簡單迅速。文獻(xiàn)[4-11]闡述了永磁電機(jī)的磁場的詳細(xì)解析方法。文獻(xiàn)[12-14]對(duì)電機(jī)的空載磁場進(jìn)行了解析建模分析，并考慮開口槽與半閉口槽的影響。文獻(xiàn)[15]利用許-克變換的方法求解了永磁直線電動(dòng)機(jī)的推力，不僅考慮了開槽和端部影響，還考慮了磁極結(jié)構(gòu)的影響。文獻(xiàn)[16]提出了一種Bread-Loaf型磁鋼的永磁直線電動(dòng)機(jī)，并通過麥克斯韋方程解析，分析了電機(jī)的磁場和推力分布，并根據(jù)解析模型進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[17]推導(dǎo)了磁極分段型表貼式永磁電機(jī)的解析模型并對(duì)不同分段參數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[18]總結(jié)了不同的表貼式磁極形狀，利用分段的方法分析了不等厚偏心磁極結(jié)構(gòu)的磁場分布。這種方法不僅可以解析同一磁極下磁性能相同的磁極結(jié)構(gòu)，而且還可以分析同一磁極下磁性能分布不同的情況。文獻(xiàn)[19]分析偏心磁極結(jié)構(gòu)的磁場分布，并用等效槽表面虛擬電流的方法考慮了開槽的影響，然后分析了這種磁極結(jié)構(gòu)對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。

本文研究的Bread-Loaf型磁鋼不僅結(jié)構(gòu)簡單，安裝方便，而且能有效改善電機(jī)氣隙磁通密度波形的正弦性，提高電機(jī)的運(yùn)行性能。通過采用磁極分段的方法，將Bread-Loaf型磁鋼等效成一系列等圓心角的瓦片形磁極結(jié)構(gòu)的組合。引入標(biāo)量磁位，建立方程組求取通解，根據(jù)邊界條件計(jì)算麥克斯韋方程，確定其中某一段磁極所產(chǎn)生的氣隙磁通密度，根據(jù)疊加原理求出整個(gè)Bread-Loaf型磁鋼永磁電機(jī)的氣隙磁場的分布。然后采用有限元方法與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了解析計(jì)算結(jié)果的正確性。而且該磁場解析計(jì)算的方法同樣適合計(jì)算傳統(tǒng)瓦片形磁極結(jié)構(gòu)。最后根據(jù)Bread-Loaf型磁鋼結(jié)構(gòu)的特殊性，本文提出將偏心距、極弧系數(shù)作為分析參數(shù)，研究了其對(duì)氣隙磁通密度波形的影響，為Bread-Loaf型磁鋼的永磁電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

1 解析模型建立

本文建立的Bread-Loaf型磁鋼永磁電機(jī)解析模型如圖1所示，在二維極坐標(biāo)系下將解析模型分為兩個(gè)區(qū)域：區(qū)域1為永磁體；區(qū)域2為氣隙，其中Rs為定子內(nèi)徑，Rr為轉(zhuǎn)子內(nèi)徑。

圖1 Bread-loaf型磁鋼永磁電機(jī)解析模型

對(duì)于Bread-Loaf型磁鋼，由于其形狀的特殊性，使得永磁體與氣隙，以及永磁體與轉(zhuǎn)子軛的邊界條件變得復(fù)雜，并難以用簡單的方程表示，使得對(duì)這種類型的磁鋼進(jìn)行解析時(shí)比較困難，所以本文采用一種等角度分段的方法，如圖2所示，磁鋼被等分成n段等圓心角的瓦片形磁極結(jié)構(gòu)的組合。當(dāng)n等于1時(shí)，Bread-Loaf型磁鋼就變成等半徑偏心瓦片形磁極結(jié)構(gòu)，所以這種方法適應(yīng)性強(qiáng)。

圖2 Bread-loaf型磁鋼分段模型圖

為獲得這種電機(jī)的氣隙磁場的解析方程，需作相關(guān)假設(shè)：定、轉(zhuǎn)子鐵心的導(dǎo)磁率為無限大；忽略端部影響與定子齒槽影響；永磁體均勻充磁，充磁后每極磁鋼上的磁化強(qiáng)度大小相等。

2 氣隙磁場計(jì)算

2.1 Bread-Loaf型磁鋼的磁化強(qiáng)度求解

圖3(a)中，R為Bread-Loaf型磁鋼外側(cè)偏心圓半徑；h為偏心距；g為磁鋼最大厚度；Rmj為第j塊磁鋼外徑；Rrj為第j塊磁鋼內(nèi)徑；θj為第j塊磁鋼與該磁極中心位置的夾角。則根據(jù)圖2的幾何關(guān)系，可得第j塊磁鋼所對(duì)應(yīng)的參數(shù)關(guān)系如下：

Rmj={R2-[(R+h-g)tanθj]2+h2+

(1)

(a) 第j段磁鋼模型圖

(b) 第j段磁鋼的徑向磁化強(qiáng)度分布圖

每極永磁體被分成n段，其中第j段永磁體的切向磁化強(qiáng)度分布如圖3(b)所示，則Mrj在一個(gè)周期內(nèi)可以表示：

(2)

式中：Br，μ0，p，αp分別為永磁體剩磁、真空磁導(dǎo)率、極對(duì)數(shù)、永磁體磁極的極弧系數(shù)。

同理可得Bread-Loaf型磁鋼的第j段永磁體磁化強(qiáng)度的切向分量。則整個(gè)圓周范圍內(nèi)第j段永磁體的磁化強(qiáng)度的傅里葉展開：

(3)

(4)

式中：

(5)

(6)

(7)

式中：k=1，3，5，…；Mrj，Mθj為第j段永磁體的磁化強(qiáng)度的徑向分量與切向分量。

2.2 標(biāo)量磁位方程組及其通解

由于B或H所滿足的微分方程是向量方程，求解起來十分復(fù)雜困難，所以為了求解方便，引入磁位來描述。如前所述，本文所研究的區(qū)域內(nèi)電流密度處處為0，即磁場為無旋場。由向量分析可知，旋度為0的向量場總可以表示為某一標(biāo)量的梯度場。在無旋場中，磁場強(qiáng)度H的旋度為0，所以H可以表示為標(biāo)量磁位A的梯度。

H=-A

(8)

對(duì)于介質(zhì)內(nèi)部每點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B與磁場強(qiáng)度H之間有：

(9)

由磁通連續(xù)性定律可知，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的散度處為0，即：

B=0

(10)

則聯(lián)立式(8)、式(9)、式(10)，可得：

(11)

在二維極坐標(biāo)系下，有：

(12)

根據(jù)上述可得，在永磁體區(qū)域的第j塊磁鋼有：

(13)

(Mrj+kMθj)sin(kθj)sin(kθ)]

(14)

在氣隙區(qū)域中有：

(15)

根據(jù)分離變量法可得這兩個(gè)區(qū)域標(biāo)量磁位方程的通解，如下所示。

在永磁體區(qū)域中，有通解：

(16)

式中：

(17)

當(dāng)k≠1時(shí)：

(18)

其中：

(19)

當(dāng)k=1時(shí)：

(20)

在氣隙區(qū)域中，有通解：

(21)

式中：

(22)

方程中A1j，B1j，C1j，D1j，A2j，B2j，C2j，D2j為待定系數(shù)。

2.3 氣隙磁場求解

根據(jù)前面的假設(shè)，其邊界條件如下：

(23)

通過這4個(gè)邊界條件可以確定兩個(gè)區(qū)域中標(biāo)量磁位方程的待定系數(shù)，從而可得氣隙區(qū)域中磁通密度的切向分量B2r與徑向分量B2θ：

(24)

(25)

相關(guān)系數(shù)如下：

(26)

(27)

其中：

(28)

(29)

3 有限元與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證氣隙磁場解析計(jì)算的正確性，本文參照一款平行充磁的Bread-Loaf型磁鋼的永磁電機(jī)，電機(jī)參數(shù)如表1所示。設(shè)計(jì)制作了無槽定子，考慮實(shí)驗(yàn)測試的原因，將定子的內(nèi)徑增大為21 mm，如圖4所示。另外為對(duì)比分析構(gòu)建了一款傳統(tǒng)的瓦片形磁鋼的無槽永磁電機(jī)。

表1 Bread-Loaf型磁鋼的永磁電機(jī)基本參數(shù)

(a) 無槽定子

(b) 轉(zhuǎn)子

(c) 實(shí)驗(yàn)測試平臺(tái)

利用三維磁場測試儀對(duì)Bread-Loaf型磁鋼電機(jī)的氣隙磁場進(jìn)行測試，測試平臺(tái)如圖4(c)所示。同時(shí)利用有限元分析軟件，對(duì)Bread-Loaf型磁鋼和傳統(tǒng)的瓦片形磁鋼電機(jī)的氣隙磁場進(jìn)行仿真對(duì)比分析。圖5為解析計(jì)算、有限元分析、實(shí)驗(yàn)所測的徑向氣隙磁場結(jié)果圖，從圖5中我們可以發(fā)現(xiàn)，3種方法所得結(jié)果吻合較好，說明了解析計(jì)算的準(zhǔn)確性。由于實(shí)際情況中每塊磁鋼之間存在差異，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)中氣隙磁通密度幅值并非完全一致，這是可以理解的。

圖5 徑向磁密的解析、有限元與實(shí)測結(jié)果波形對(duì)比圖

當(dāng)分段數(shù)n取1時(shí)，模型轉(zhuǎn)換成了傳統(tǒng)的瓦片形磁鋼。通過ANSYSMaxwell軟件對(duì)傳統(tǒng)瓦片形磁鋼與Bread-Loaf型磁鋼的電機(jī)進(jìn)行仿真分析。兩者在一對(duì)極下的磁力線分布對(duì)比如圖6所示。兩者的氣隙磁通密度的徑向分量與切向分量在氣隙半徑為r=Rs-0.15mm處的解析計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果如圖7所示。從圖7中可以看出，解析計(jì)算與有限元仿真十分吻合，說明了解析計(jì)算是可靠的。并且同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，Bread-Loaf型磁鋼徑向氣隙磁通密度波形的正弦性比傳統(tǒng)瓦片形磁極結(jié)構(gòu)的正弦性更好。

(a) 瓦片形磁極結(jié)構(gòu)

(b) 面包形磁極結(jié)構(gòu)

(a) 徑向磁通密度分布圖

(b) 切向磁通密度分布圖

4 參數(shù)分析

由式(26)、式(27)可知，影響電機(jī)氣隙磁通密度分布的主要因素是轉(zhuǎn)子磁鋼的內(nèi)外半徑Rrj，Rmj以及極弧系數(shù)αp。根據(jù)式(1)可知，轉(zhuǎn)子磁鋼的內(nèi)外半徑Rrj，Rmj與磁鋼外側(cè)偏心圓半徑R，偏心距h，磁鋼最大的厚度g有關(guān)。

因此，為了研究Bread-Loaf型磁鋼對(duì)電機(jī)徑向氣隙磁通密度的正弦性的影響，通過解析計(jì)算得到的模型來分析這些參數(shù)對(duì)氣隙磁通密度正弦性的影響。本文只考慮分析了徑向氣隙磁通密度的分布情況，并通過徑向磁通密度的基波幅值B2r1以及由下式(30)的正弦性畸變率KBr來表征。

(30)

4.1 偏心距分析

從結(jié)構(gòu)上來看，Bread-Loaf型磁鋼的外側(cè)為圓弧形狀，外側(cè)偏心圓半徑R，偏心距h和磁鋼最大的厚度g是相互關(guān)聯(lián)的。當(dāng)電機(jī)最小氣隙和轉(zhuǎn)子外徑確定后，只需分析其中一個(gè)參數(shù)即可，所以本文將偏心距作為參數(shù)進(jìn)行分析。

設(shè)磁鋼最大厚度為g=1.7mm，定子內(nèi)半徑Rs=18mm，分析偏心距對(duì)切向氣隙磁通密度分布的影響。圖8(a)為隨偏心距h的變化的徑向氣隙磁通密度波形。圖8(b)為偏心距h的變化對(duì)徑向磁通密度的基波幅值B2r1以及正弦性畸變率KBr影響。

(a) 偏心距h與徑向氣隙磁通密度的關(guān)系

(b) 偏心距與徑向磁通密度的基波幅值以及正弦性畸變率的關(guān)系圖

由圖8可得，徑向磁通密度的基波幅值B2r1隨著偏心距的增大一直減小，但總體減小的幅度不大。當(dāng)偏心距為0時(shí)，徑向氣隙磁通密度的正弦性畸變率KBr最大，并且隨著偏心距的增大而減小，但是當(dāng)偏心距增大到12mm左右處后又開始增大。所以為了使得電機(jī)徑向氣隙磁通密度的正弦性更好，偏心距既不能選得太小也不能選得太大。即合理選擇Bread-loaf磁極外側(cè)偏心圓半徑，使得最小氣隙處曲率半徑不至于太大和太小，便可獲得正弦性更好的徑向氣隙磁通密度。

4.2 極弧系數(shù)分析

如前面解析計(jì)算可知，極弧系數(shù)會(huì)影響氣隙磁通密度的分布。設(shè)磁鋼最大厚度g=1.7mm，定子內(nèi)半徑Rs=18mm，磁鋼外側(cè)偏心圓半徑R=6.25mm，偏心距h=11.45mm。分析極弧系數(shù)αp=0.7，0.8，0.9，1時(shí)對(duì)徑向磁通密度的影響。

如圖9所示，徑向磁通密度的基波幅值B2r1隨著極弧系數(shù)的增大一直增大，但總體來說，變化的幅度不大。隨著極弧系數(shù)的不斷增大，徑向氣隙磁通密度的正弦性畸變率KBr先開始減小后慢慢又增大，在αp=0.8～0.85處取得最小值。所以在電機(jī)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)合理選擇極弧系數(shù)，使得電機(jī)的氣隙磁場分布更優(yōu)。

(a) 極弧系數(shù)αp與徑向氣隙磁通密度的關(guān)系

(b) 極弧系數(shù)與徑向磁通密度的基波幅值以及正弦性畸變率的關(guān)系圖

5 結(jié) 語

本文利用磁極分段的方法，建立了Bread-Loaf型磁鋼的無槽永磁電機(jī)的氣隙磁場解析模型，而且當(dāng)分段總數(shù)取1時(shí)，該解析模型又適用于計(jì)算傳統(tǒng)瓦片形磁極結(jié)構(gòu)的無槽永磁電機(jī)的氣隙磁場分布，具有很大的實(shí)用性。通過設(shè)計(jì)無槽定子，參照實(shí)例Bread-Loaf型磁鋼的永磁電機(jī)，搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并同時(shí)利用有限元仿真分析，驗(yàn)證了解析計(jì)算的正確性。對(duì)比分析表明，Bread-Loaf型磁鋼徑向氣隙磁通密度波形的正弦性比傳統(tǒng)瓦片形磁極結(jié)構(gòu)的正弦性更好。最后通過解析計(jì)算模型對(duì)Bread-Loaf型磁鋼偏心距和極弧系數(shù)兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行了分析。分析表明，偏心距和極弧系數(shù)太大或太小都會(huì)使得徑向氣隙磁通密度的正弦性畸變率變大，影響電機(jī)性能。所以在設(shè)計(jì)這種Bread-Loaf型磁鋼的永磁電機(jī)時(shí)，需充分考慮這兩個(gè)參數(shù)的影響。

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