苗族生活中的數(shù)學(xué)文化

姜世花+肖紹菊+肖玲

摘 要：通過對榕江縣朗洞苗族服飾圖案、造型的調(diào)查和研究，發(fā)現(xiàn)苗族生活中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)文化，含蓋了大量的平面幾何知識和代數(shù)知識，也包括球、星形線、阿基米德螺線、圓錐體等知識，特別是朗洞苗族喜愛使用的菱形圖案更是反映了苗族生活中數(shù)學(xué)文化的運用。

關(guān)鍵詞：榕江縣朗洞；苗族服飾；數(shù)學(xué)文化

中圖分類號：J523 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-621X（2016）02-0127-09

苗族生活與數(shù)學(xué)文化有著密切的聯(lián)系，比如在生活用品、生產(chǎn)工具、記數(shù)、幾何概念及運算法則上都不同程度、不同形式地表現(xiàn)出來，特別是在建筑、服飾、竹編、節(jié)日活動等方面都運用得十分到位。本文作者在對榕江縣朗洞苗族進行細(xì)致的觀察和調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，朗洞苗族生活中的數(shù)學(xué)文化無處不在，特別是在苗族的服飾圖案和飾品造型中運用得極為普遍，為此，作者對朗洞苗族的服飾圖案和飾品造型中數(shù)學(xué)文化運用進行詳盡分析，從中以窺見苗族人民生活中的數(shù)學(xué)知識運用情況。

榕江縣朗洞鎮(zhèn)位于榕江縣城北80公里，鎮(zhèn)內(nèi)轄20個村139個村民小組，77個自然寨，為苗族、侗族、漢族大雜居，其中苗、侗民族占8353%。① ①榕江人民政府辦公室，榕江縣地方（年鑒）編纂委員會辦公室編，榕江縣情，2004年.10，第328頁。 朗洞的苗族主要聚居雷公山南面的宰牙、定向、岑最、高略、高幫、兩福、岑向、色同、九董、宰幫等村寨。朗洞苗族服飾比較特別，有人因其形而稱之為“武士的鎧甲”， 朗洞苗族卻自稱是“穿著‘戀服的苗族”，“戀”為苗語，指一種方塊花紋的布，可以說是朗洞苗族服飾的一個明顯的特征，成年女性上衣背部都必須要有這種方塊花紋布，嚴(yán)格規(guī)定冬裝有3塊，夏裝有2塊。朗洞苗族女裝為上衣下裙結(jié)構(gòu)，由上衣、胸兜、腰帶、百褶裙、前圍腰、后圍腰、綁腿等構(gòu)成，男裝為上衣下褲結(jié)構(gòu)，由包頭巾、對襟衣、綁帶、褲子等構(gòu)成。朗洞苗族裝飾在服裝上的繡片花樣卻各式各樣，種類極其繁多。苗族服飾是苗族文化的一種象征，是苗族獨特的文化藝術(shù)形式，做工精細(xì)，頗具匠心，被譽為“穿在身上的史書”，它代替了文字的功能，也是苗族歷史、文化、藝術(shù)、哲學(xué)和信仰的視覺再現(xiàn)[1]。在對朗洞苗族服飾進行實地調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，朗洞苗族服飾中的圖案紋樣以及飾品都蘊含著大量的幾何紋樣，有三角形、菱形、梯形、五邊形（凸五邊形和凹五邊形）、六邊形、圓形、扇形、圓柱等，這些基本的幾何圖形通過拼接、對稱、組合構(gòu)成了菱形紋、八角花、十二角花、回紋、渦紋、鋸齒紋、蝶紋等等。

一、服裝圖案中的幾何圖形

在朗洞苗族服飾中，少女盛裝是最具有代表性的服飾。圖1是朗洞苗族十幾年前的少女盛裝，整套服裝以青色為底，在胸圍兜、上衣、圍腰、綁腿中都繡有彩色的繡片，頭上頂著3只大鹡宇鳥，頸上佩戴著鏈條項鏈和銀鎖，背上戴著銀背吊，懸于胸圍兜上。圖2是近幾年的少女盛裝，與圖1比較，這套服裝已經(jīng)沒有了胸圍兜，整套服裝上下都鋪滿了花及彩帶，衣服以紅色為底，在顏色上主要是由白色、黃色、粉色與橙色4種顏色搭配而成，從遠處看來就像是橙色與白色搭配，在佩戴的飾品中，頭上戴銀帽，頸上常佩戴蝴蝶狀的壓領(lǐng)。隨著時代的進步，人們的生活條件越來越好，審美的角度也在漸漸的改變，從圖1和圖2可看出短短的幾年內(nèi)服飾發(fā)生了很大的變化。從服飾的演變來看，朗洞苗族受到了外來文化一定程度的影響，但無論是哪款服飾，朗洞苗族服飾上的繡片圖案都是以方塊為主，并在里面繡滿龍、蝴蝶、魚、鳥、蟲以及一些花草[2] ，并且在里面含有大量的幾何圖形。

圖1 朗洞傳統(tǒng)少女盛裝 圖2 朗洞近幾年少女盛裝 圖1和圖2中的前圍腰的形狀都呈如圖3所示，即由1個六邊形與1個長方形拼接而成的，圖3-1是它的繡片，在繡片內(nèi)部含有幾何圖形：三角形、菱形、長方形、六邊形、平行四邊形等，其中菱形最為突出。朗洞苗族婦女的刺繡針法都是挑花，挑花有2種基本針法，分別是“-”和“×”，其中“-”是最小的單位[3]，這幾塊繡片都是以“-”為基本針法的平挑花。

圖4是胸圍兜，圖4a是抽象化了的圖形，由這2幅圖可知胸兜是由4塊繡片構(gòu)成的，最中間的繡片為凹五邊形（如圖4b），兩側(cè)為長方形繡片，而下面的繡片呈梯形。圖4b是胸兜中間的繡片，是抽象化了的蝴蝶，它也是以“-”為基本針法的平挑花，在繡片里面有三角形、菱形、長方形等幾何圖形。

圖4b 胸圍兜繡片 圖5是男裝，它顯得樸素了許多，衣服和褲子都是黑色的，包頭巾和腰帶上稍有些艷麗的色彩。通過觀察發(fā)現(xiàn)，圖5上的包頭形狀是一個圓柱形，都是用黑布環(huán)繞而成的，將最里層端頭的布折成扇子形狀聳立于耳朵上方；再如圖5a，它是圖5中的腰帶，是一種織錦，整體呈長方形，里面的圖案是菱形八角花內(nèi)接于六邊形再通過平移的方式而成的，圖5b是菱形八角花的抽象圖，由圖5a和圖5b可知，在腰帶中含有三角形、平行四邊形、菱形、對稱、旋轉(zhuǎn)、全等、相似等幾何元素。 （一）對稱圖形與幾何變換

在朗洞苗族的挑花刺繡圖案上，很容易在其中找到圓心，坐標(biāo)軸無論是沿橫向還是縱向折疊都是對稱的。甚至許多圖案不僅整個大的組合圖案對稱，而且大圖案與小圖案之間也是對稱的。

服飾中的紋樣分為單獨紋樣和連續(xù)紋樣，單獨紋樣是指由一個獨立的個體紋樣的造型表現(xiàn)形式（圖6），連續(xù)紋樣是指由一個單獨紋樣向二方或四方連續(xù)復(fù)制而成的組合紋樣（圖8） [4]。

在朗洞苗族服飾中，單獨紋飾的表現(xiàn)方式大都是軸對稱紋樣和中心對稱紋樣，構(gòu)成方式也有相似或位似變換，相似是指形狀相同的圖形，而位似是指圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，即位似一定相似，但相似不一定位似。如圖6是抽象化了的蝴蝶，它們不僅是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形。圖7和圖8都是少女盛裝圍腰上的繡片，它們都是平繡，圖7除了最里面的八角花，外面是由多個菱形紋以位似變換形式嵌套而成，菱形邊則以連續(xù)回紋為基本紋樣繡成，圖8可看成由圖7平移、對稱復(fù)制而形成的連續(xù)紋樣。

如圖9，這是男子童裝上的一塊繡片，這塊繡片中有抽象化了的蝴蝶、鳥、花、樹，它含有豐富的幾何元素，如：三角形、正方形、五邊形、菱形、梯形、螺旋線、玫瑰線等，然后再由這些基本的圖形通過連接、對稱、組合又構(gòu)成了基本的紋飾。這塊繡片它不僅是軸對稱圖形，也是一個中心對稱圖形，除此之外還有平移、旋轉(zhuǎn)和相似等幾何變換。該紋飾反復(fù)使用點、線、面裝飾手法，使圖案的畫面想象豐富，韻味十足，充分體現(xiàn)苗族的圖案設(shè)計中節(jié)奏和韻律之美，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美與和諧美[5]。

圖9 男童裝繡片在朗洞苗族服飾中還含有幾何變換：平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、軸對稱變換。圖10是朗洞苗族的象征物織錦“戀”，它是由菱形向內(nèi)通過位似的形式嵌套形成菱形紋，然后由菱形紋通過平移得到一排花，而后再將這排花進行平移而得的（幾何圖示如圖10a）；它也可看作是由菱形向內(nèi)通過位似的形式嵌套形成菱形紋，而后再由一個菱形紋經(jīng)過三次旋轉(zhuǎn)后得到一朵大的菱形花，然后再將其進行旋轉(zhuǎn)而得到的（幾何圖示如圖10b）。

圖10a “戀”幾何圖示一 圖10b “戀”的幾何圖示二圖11這種圖案的白色部分是其主體，每一個圖案是中心對稱圖形，它可看成是通過一個圖案平移得到的。如圖12，這種花不僅是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，通過平移可得到這一排花，也可以說是通過旋轉(zhuǎn)180度而得到的。

圖13的這塊繡片來自胸兜，從整體來看很明顯它是軸對稱圖形，對稱軸是中間的折痕，并且它里面的小圖案之間也是關(guān)于折痕對稱的。 縱觀以上繡片可發(fā)現(xiàn)朗洞苗族對菱形有著非常獨特的喜愛，在服飾上菱形到處可見。從材料上來說，是因為苗族婦女們織的布的經(jīng)緯度之間的距離不一樣，而且朗洞苗族格外在乎對稱，因此在繡制時為了保證菱形圖案的完整與對稱，婦女們在繡花時通常是通過數(shù)紗線來達到的。菱形不僅是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，對稱美、旋轉(zhuǎn)美都是數(shù)學(xué)美的一種表現(xiàn)形式，菱形讓人從視覺上感受到了對稱美。

（二）圖案的周期性變化

在苗族的繡片中不僅具有強烈的對稱性，而且周期性也很強，很多的繡片都是由一個圖案經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱而得到的，而平移都是有一定的周期的。如圖14是老人綁腿上的繡片，上面的繡片所用的針法是挑花，以“×”為基本單位，現(xiàn)在為了方便，將“×”看作一個點，則繡片中的主線（白線）部分可畫成如圖14a所示，建立平面直角坐標(biāo)系如圖14a所示。

圖14 綁腿中的繡片 圖14a 綁腿繡片主線幾何圖 一般地，在一個變化過程中，有兩個變量x，y，如果給定一個x值，相應(yīng)的就確定唯一的一個y，那么就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量，x的取值范圍叫做這個函數(shù)的定義域，相應(yīng)y的取值范圍叫做函數(shù)的值域[6]。這是函數(shù)的定義，由函數(shù)的定義可知圖14a是一個函數(shù)圖像，設(shè)其函數(shù)表達式為y=f（x），且它的定義域是R，值域是[0，2]。由圖14a可發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=f（x）是由圖中藍色部分左右平移而得，并且之間的間隔為4，由周期函數(shù)的定義可知這是以4為周期的周期函數(shù)，即4是最小正周期。因而，綁腿的主線圖案是一條以4為周期的周期函數(shù)圖象，并且它的函數(shù)解析式為：

f（x）=x-4k，x∈（4k，4k+2）

-x+4k，x∈（4k-2，4k） ，k∈z.

在朗洞苗族的服飾中，花帶（如圖15）上的周期性很強，花帶常捆綁于綁腿上，這樣既可以防止綁腿脫落，而且可以作為一種裝飾品，一般要圍上小腿至少2圈，長度在1.2米左右，看個人的腿而定。圖15是以前常見的花帶，它是由基本圖形“”平移而得的，周期為24，每經(jīng)過24根線重復(fù)一遍。

除此之外，在胸圍兜及其他花帶上都含有豐富的周期性，很多繡片都是由某一個基本圖案經(jīng)過平移而得。

圖15 綁腿中的花帶 圖16 幼年流蘇穗子二、飾品“噶貞”中的數(shù)列關(guān)系

流蘇穗子是朗洞苗族女裝必備的裝飾之物，苗語稱為“噶貞”，它是成對出現(xiàn)的，系于后圍腰上，款式?jīng)]多大區(qū)別，但是大小與顏色卻是隨著年齡的不同而不同，常分有幼年、少女、中年和老年四個階段。流蘇穗子的制作過程是比較復(fù)雜的。首先，要單獨的把下面的絲線編好，每種顏色都要有；同時做好上面的分支，盡量把分支做硬些，這是為了美觀；然后用黑布做好包包來繞絲線，用針挑絲線，使它均勻、扎實，以免脫落。在這個過程中不管是哪道工序都是極其重要的。

小姑娘常戴月牙形（圖16）的款式，介于小孩喜愛各種各樣的圖案，常見的是辮繡。如圖16，上面是一個在橢圓的基礎(chǔ)上剪成一個“W”的形狀，它具有對稱性，下面是由一些編好了的絲線連接而成的。

（一）“噶貞”中的等差數(shù)列

圖17是少女戴的“噶貞”款式，顏色艷麗，較于兒童的來說要大些，并且結(jié)構(gòu)上是一個樹叉的形式，不再是月牙形。中年婦女的款式和少女的款式是一樣，只是在顏色上會稍微暗淡些。圖17a是圖17中的一支，由圖17a可得它的簡圖如圖17b所示。

由圖17b可知，從上至下來看，第一層的支點O分成1根枝干，第二層的支點A分成2根枝干，第三層支點B和支點C都分成3根枝干。

設(shè)第n層每支點分叉為an根枝干數(shù)列{an}，則

a1=1，a2=2，a3=3。

因為2=1+32，即a2=a1+a32。

則數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列。

（二）“噶貞”中的等比數(shù)列

圖18是老年人戴的，它的顏色偏暗，主要由藍色和紫色組成的，圖18a是圖18的一個簡圖，它的每層總支數(shù)從上至下呈1，2，4分布。

圖18 老年“噶貞” 圖18a 老年“噶貞”分支結(jié)構(gòu)圖 設(shè)第n層的總枝干數(shù)為數(shù)列{bn}，則

b1=1，b2=2，b3=4。

因為22=1×4，即b22=b1b3。

所以由等比數(shù)列的定義可知，數(shù)列{bn}呈等比數(shù)列。

圖19 “噶貞”包包圖除此之外，流蘇穗子還蘊含有其他的幾何元素，由圖19可見，下面的每一個包都是1個圓錐，由支點B、C分叉出來的的那3根枝干每2根之間呈相同的度數(shù)。同時流蘇穗子還具有對稱、平行等幾何變換。

三、銀飾造型的數(shù)學(xué)知識

朗洞苗族生活中常見的銀飾有頭飾、胸頸飾、衣飾、背飾、手飾這幾種。朗洞苗族姑娘以前都喜穿胸圍兜，在盛大節(jié)日跳蘆笙舞時都要佩戴銀背吊（如圖20），苗語稱為“扣”，“扣”連接胸圍兜帶，懸于背部，既可調(diào)節(jié)胸圍兜的寬度，又可作為裝飾品，常見的有兩種，一種是平面螺旋狀（如圖21），一種是立體螺旋狀（如圖22）。

圖21是一對扁螺旋“扣”，它是抽象化了的蝴蝶的形象，它不僅含有星形線、螺旋線等曲線，還含有對稱、旋轉(zhuǎn)等幾何變換。

阿基米德螺旋線亦稱為“等速螺線”，當(dāng)一點p沿動射線op以等速率運動的同時該射線由以等角速度繞點o旋轉(zhuǎn)點p的軌跡稱為“阿基米德螺線” [7]。圖21a是圖21中的一個局部圖，從中我們可發(fā)現(xiàn)這是一條阿基米德螺線，其標(biāo)準(zhǔn)極坐標(biāo)方程可表示ρ=ρ0+aθ，其中ρ0是指當(dāng)θ=0°時的極徑，單位為mm；θ為極角，單位為度；a為阿基米德系數(shù)，單位為mm/度，表示每旋轉(zhuǎn)1度時的極徑的增加（或減?。┝?。

圖21上的那朵花，它可近似看成是由1/8球分別切長方體的8個角而得到的，即是一個星形球體。如圖21b，在長方體ABCD-EFGH中，經(jīng)測量得AD=34 cm，AB=34 cm，AE=38 cm。其中M，N，P，Q，J分別是邊BF，BC，AB，EF，F(xiàn)G的中點，為了求球的半徑，將圖中陰影部分平移到一起得到圖21c。設(shè)球半徑為r1，則由勾股定理有：

r21=（r1-1.7）2+1.92，

解得r1=1.912 cm≈1.9 cm。

因此，它可近似看成半徑為19 cm的1/8球分別切長方體的8個角而得到的，這樣不僅美觀，還節(jié)約材料。

將被切去的部分拼湊到一起可近似看成一個球體，而

V球4π3r31=4π3×1.93≈28.72 cm3，

V長方體=3.8×3.4×3.4=43.93 cm3

則，V花=V長方體-V球=43.93-28.72=15.21 cm3。因此，扁銀背吊上的這朵花的體積約為1521 cm3。

圖21c “扣”花被切割部分的近似半圓（三）立體螺旋“扣”中的圓錐體

如圖22，這是一對立體螺旋“扣”，它也是抽象化了的蝴蝶。牛角、蝴蝶都是苗族喜愛的圖騰圖案，它同樣也含有圓錐體、星形線、螺旋線、圓、對稱、垂直、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)知識。

在一對立體螺旋“扣”中有4個圓錐體，是抽象化了的牛角，這幾個圓錐體實際上里面是空的，這樣既表達了苗族人們對牛角的喜愛，也節(jié)約了材料。為了求得它的底面外半徑，將其按在白紙上描線，沿邊畫成圓，在圓上任意畫兩條弦（不重合，也不平行），分別作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即是圓心O，量得其半徑，為了取得更為精確的值，采取多次操作，取它們的平均數(shù)最終得到底面大圓半徑為r2=36 cm，高H=415 cm，母線L1=55 cm；內(nèi)部小圓錐的底面半徑為r3=32 cm，母線L2=51 cm，由勾股定理可求得內(nèi)部的高h=396 cm，則有：

外圓錐的體積V1=13πr22H=13π×3.62×415≈56.29 cm3，

V長方體=3.8×3.4×3.4=43.93 cm3，

則，V花=V長方體-V球=43.98-28.72=1521 cm3。

因而立體螺旋“扣”中圓錐體的體積近似為1385 cm3。

類似于圖22的那朵花也可看成是由1/8球分別切長方體的8個角而得到，只是此時的AD=48 cm， AB=48 cm， AE=56 cm，同理，算得球半徑約為283 cm，從而此時花的體積約為3413 cm3。

四、結(jié)束語

在苗族的生活中，服飾、銀飾、建筑是這個民族的代表物，它們都含有大量的數(shù)學(xué)文化。本文主要是對榕江縣朗洞苗族的服飾、銀飾兩個方面進行研究，通過實地考察與查閱資料，結(jié)合個人經(jīng)驗及現(xiàn)有的數(shù)學(xué)文化知識水平來挖掘苗族自己的數(shù)學(xué)文化。通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，在朗洞苗族的服飾、銀飾中都含有大量的代數(shù)與幾何知識，如幾何圖形、幾何變換、數(shù)列、周期性和阿基米德螺線等等。隨著時代的進步，生活條件的改變，這里原生態(tài)文化遭到了一定程度的沖擊，特別是在服飾上，傳統(tǒng)服飾顯得莊重、華麗、高貴，它代表著朗洞苗族，也是一種文化，隨著時代的發(fā)展，朗洞苗族服飾變得好像更艷麗，但卻顯得比較浮夸，仿佛失去了以往的凝重，給人一種炫富的感覺，或許再過不了多久想找?guī)准鹘y(tǒng)的衣服會是一件很困難的事情，但愿朗洞苗族服飾仍保持她獨有的風(fēng)韻。

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Mathematical Culture in the Life of Miao People in

Langdong Town of Rongjiang County

JIANG Shihua，XIAO Shaoju，XIAO Lin

（School of Mathematical Sciences， Kaili University， Kaili， Guizhou， 556011， China）

Abstract： The researcher studied the mathematic elements in Miao people's clothes and silver ornaments in Langdong Town of Rongjiang County， and found that there were abundant of mathematical culture in the life of Miao people. For example a lot of plane geometry and algebraic knowledge containing the in clothing， ball， star line， Archimedes spiral， cone and other knowledge also in silver is reflected. Among these shapes， rhombus is especially loved by Miao people in Langdong Town.

Key words： mathematic culture； geometry knowledge； algebraic knowledge； rhombus