(λ，μ)-模糊商環(huán)及其同構(gòu)定理①

張蒙蒙 尹玉祥

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城252059)

(λ，μ)-模糊商環(huán)及其同構(gòu)定理①

張蒙蒙 尹玉祥

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城252059)

在(λ，μ)-模糊子環(huán)與(λ，μ)-模糊理想概念的基礎(chǔ)上，討論了(λ，μ)-模糊商環(huán)與(λ，μ)-商模糊子環(huán)的若干性質(zhì)，最后建立了(λ，μ)-模糊商環(huán)的同構(gòu)定理.

λ，μ)-模糊子環(huán);(λ，μ)-模糊理想;(λ，μ)-模糊商環(huán);(λ，μ)-商模糊子環(huán);同構(gòu)定理

0 引言

1965年，Zadeh首次提出模糊集概念，創(chuàng)立了模糊集合論，并在此基礎(chǔ)上形成了模糊數(shù)學(xué)這門新學(xué)科[1].1971年，Rosenfeld 將模糊集理論應(yīng)用到群上，提出了模糊群的概念，形成了模糊代數(shù)學(xué)[2]. 隨著代數(shù)結(jié)構(gòu)的模糊化， 大批學(xué)者將模糊集理論應(yīng)用到環(huán)和模上，先后提出了模糊子環(huán)、模糊理想、(λ，μ)-模糊子環(huán)、(λ，μ)-模糊理想等概念. 2008年，姚炳學(xué)所著的關(guān)于群與環(huán)上的模糊理論的書，詳細地介紹了群與環(huán)的模糊理論和代數(shù)結(jié)構(gòu)提升理論[3]. 本文是在(λ，μ)-模糊子環(huán)和(λ，μ)-模糊理想意義下[4]，利用(λ，μ)-模糊商環(huán)的性質(zhì)，建立了(λ，μ)-模糊商環(huán)及其同構(gòu)理論，進一步豐富了(λ，μ)-模糊子環(huán)的內(nèi)容.

1 預(yù)備知識

在本文中，R表示一個環(huán)，λ,μ滿足0≤λ<μ≤1.

定義1[4]設(shè)A為環(huán)R的模糊子集，稱A為R的(λ，μ)-模糊子環(huán)，如果對任意的x,y∈R，

1)A(x+y)∨λ≥(A(x)∧A(y))∧μ;2)A(-x)∨λ≥A(x)∧μ;3)A(xy)∨λ≥(A(x)∧A(y))∧μ.

根據(jù)上述定義，普通的模糊子環(huán)是(0,1)模糊子環(huán)，而(∈,∈∨q)模糊子環(huán)是(0,0.5)模糊子環(huán).

定理1[4]設(shè)A為環(huán)R的模糊子集，則A為R的(λ，μ)-模糊子環(huán)的充分必要條件是?x,y∈R,

1)A(x-y)∨λ≥(A(x)∧A(y))∧μ;

2)A(xy)∨λ≥(A(x)∧A(y))∧μ.

定理2[4]設(shè)A為R的(λ，μ)-模糊子環(huán)，則對任意的x∈R,A(0)∨λ≥A(x)∧μ特別地，若存在x0∈R,使得A(x0)≥μ則A(0)≥μ.

由此顯然可得，若A為R的(λ，μ)-模糊子環(huán)，則對任意的x∈R,A(0)∨λ∧μ≥A(x)∨λ∧μ.

定義2[4]設(shè)A為環(huán)R的模糊子集，稱A為R的(λ，μ)-模糊理想，如果對任意的x,y∈R，

1)A(x-y)∨λ≥(A(x)∧A(y))∧μ;

2)A(xy)∨λ≥(A(x)∨A(y))∧μ.

定理3[3]設(shè)f：R1→R2為環(huán)的同態(tài)映射，且A為R1的(λ，μ)-模糊子環(huán)，則f(A)為R2的(λ，μ)-模糊子環(huán).特別地，若f為同態(tài)滿射且A為R1的(λ，μ)-模糊理想，則f(A)為R2的(λ，μ)-模糊理想.

定理4[3]設(shè)f：R1→R2為環(huán)的同態(tài)映射，B為R2的(λ，μ)-模糊子環(huán)((λ，μ)-模糊理想)，則f-1(B)為R1的(λ，μ)-模糊子環(huán)((λ，μ)-模糊理想).

定理5[3]設(shè)A為R的(λ，μ)-模糊子環(huán)，a,b∈R，則

(A(a-b)∨λ)∧μ=(A(0)∨λ)∧μ?(A(b-a)∨λ)∧μ=(A(0)∨λ)∧μ.

2 (λ，μ)-模糊商環(huán)與(λ，μ)-商模糊子環(huán)

設(shè)A為R的(λ，μ)-模糊子環(huán)，對任意的r∈R，定義R的模糊子集r⊕A如下：

(r⊕A)(x)(A(x-r)∨λ)∧μ,?x∈R.

定義3[3]設(shè)A為R的(λ，μ)-模糊理想，則(R/A,+○,)做成環(huán)，其中，R/A={a⊕A|a∈R}(x⊕A)+(y⊕A)(x+y)⊕A,(x⊕A)○(y⊕A)xy⊕A.

并稱(R/A,+○,)為R關(guān)于A的(λ，μ)-模糊商環(huán).

定理6[3]設(shè)A為R的(λ，μ)-模糊子環(huán)，a,b∈R,則a⊕A=b⊕A?(A(a-b)∨λ)∧μ=(A(0)∨λ)∧μ.

定理7[3]設(shè)A為R的(λ，μ)-模糊理想，則對任意的x,y,a,b∈R,

定理8 設(shè)A,B分別為R的(λ，μ)-模糊理想與(λ，μ)-模糊子環(huán)，則B/A為R/A的(λ，μ)-模糊子環(huán)，其中,B/A(r⊕A)sup{B(x)|x⊕A=r⊕A},?r∈R.

證明 ?x,y∈R,B/A((x⊕A)-(y⊕A))∨λ

=B/A((x-y)⊕A)∨λ

=sup{B(u-v)|(u-v)⊕A=(x-y)⊕A}∨λ

=sup{B(u-v)∨λ|(u-v)⊕A=(x-y)⊕A}

≥sup{B(u)∧B(v)∧μ|u⊕A=x⊕A,v⊕A=y⊕A}

=sup{B(u)|u⊕A=x⊕A}∧sup{B(v)|v⊕A=y⊕A}∧μ

=B/A(x⊕A)∧B/A(y⊕A)∧μ.

同理，B/A((x⊕A)°(y⊕A))∨λ≥B/A(x⊕A)∧B/A(y⊕A)∧μ.因此，B/A為R/A的(λ，μ)-模糊子環(huán).

類似地，有

定理9 設(shè)A,B為R的(λ，μ)-模糊理想，則B/A為R/A的(λ，μ)-模糊理想.

證明 由定理8，B/A為R/A的(λ，μ)-模糊子環(huán).?x,y∈R,

B/A((x⊕A)°(y⊕A))∨λ=B/A((xy)⊕A)∨λ

=sup{B(uv)|(uv)⊕A=(xy)⊕A}∨λ

=sup{B(uv)∨λ|(uv)⊕A=(xy)⊕A}

≥sup{B(u)∨B(v)∧μ|u⊕A=x⊕A,v⊕A=y⊕A}

=sup{B(u)|u⊕A=x⊕A}∨sup{B(v)|v⊕A=y⊕A}∧μ

=B/A(x⊕A)∨B/A(y⊕A)∧μ，

所以，B/A為R/A的(λ，μ)-模糊理想.

定義4[3]設(shè)A,B分別為R的(λ，μ)-模糊理想與(λ，μ)-模糊子環(huán)，則B/A為R/A的(λ，μ)-模糊子環(huán)，B/A稱為B關(guān)于A的(λ，μ)-商模糊子環(huán).

定理10[3]設(shè)A為R的(λ，μ)-模糊理想，則R/A#?R/A,其中，

A#={x∈R|(A(x)∨λ)∧μ=(A(0)∨λ)∧μ}.

3 (λ，μ)-模糊商環(huán)的同構(gòu)定理

定理11[3]設(shè)f：R1→R2為同態(tài)滿射，A為R1的關(guān)于f不變的(λ，μ)-模糊理想，則R1/A?R2/f(A).

推論1[3]設(shè)f：R1→R2為同態(tài)滿射，B為R2的(λ，μ)-模糊理想，則R1/f-1(B)?R2/B.

定理12 設(shè)A,B分別為R的(λ，μ)-模糊子環(huán)與(λ，μ)-模糊理想，則A≈A/B.

證明 令f:R→A/B,F|→F⊕B為自然同態(tài)，則f為同態(tài)滿射. ?x∈R,

f(A)(x⊕B)=sup{A(t)|f(t)=x⊕B}

=sup{A(t)|t⊕B=x⊕B}=A/B(x⊕B),

即f(A)=A/B, 所以A≈A/B.

定理13 設(shè)f：R1→R2為環(huán)的同態(tài)滿射，A,B分別為R1的(λ，μ)-模糊子環(huán)與(λ，μ)-模糊理想，若B為f不變的，則A/B?f(A)/f(B).

證明 由定理11，g:R1/B→R2/f(B),x⊕B|→f(x)⊕f(B),?x∈R1是一個同構(gòu)映射. ?y∈R2,?x∈R1,使得f(x)=y，所以

f(A)/f(B)(y⊕f(B))=f(A)/f(B)(f(x)⊕f(B))

=sup{f(A)(v)|v⊕f(B)=f(x)⊕f(B)}

=sup{sup{A(u)|f(u)=v}|v⊕f(B)=f(x)⊕f(B)}

=sup{A(u)|f(u)⊕f(B)=f(x)⊕f(B)}

=sup{A(u)|(f(B)(f(x)-f(u))∨λ)∧μ=(f(B)(02)∨λ)∧μ}

=sup{A(u)|(B(x-u)∨λ)∧μ=(B(02)∨λ)∧μ}

=sup{A(u)|u⊕B=x⊕B}

=A/B(x⊕B)

=g-1(g(A/B))(x⊕B)

=g(A/B)(g(x⊕B))

=g(A/B)(f(x)⊕f(B))

=g(A/B)(y⊕f(B)),

即g(A/B)=f(A)/f(B). 因此A/B?f(A)/f(B).

推論2 設(shè)f：R1→R2為環(huán)的同態(tài)滿射，A,B分別為R2的(λ，μ)-模糊子環(huán)與(λ，μ)-模糊理想, 則f-1(A)/f-1(B)?A/B.

證明 易知f-1(A)與f-1(B)分別為R1的(λ，μ)-模糊子環(huán)與(λ，μ)-模糊理想,對任意的x1,x2∈R2,由f(x1)=f(x2)可得

f-1(A)(x1)=A(f(x1))=A(f(x2))=f-1(A)(x2),

f-1(B)(x1)=B(f(x1))=B(f(x2))=f-1(B)(x2),

所以f-1(A)與f-1(B)是f不變的，f是滿射，所以f(f-1(A))=A,f(f-1(B))=B.由定理13，f-1(A)/f-1(B)?A/B.

引理1 設(shè)A,B為R的(λ，μ)-模糊理想，且滿足A?B,A(0)∨λ∧μ=B(0)∨λ∧μ， 則?x,y∈R,x⊕B⊕A/B=y⊕B⊕A/B?x⊕A=y⊕A.

證明 必要性. 設(shè)x⊕B⊕A/B=y⊕B⊕A/B，則

(A/B)((x-y)⊕B)∨λ∧μ=(A/B)(B)∨λ∧μ=A(0)∨λ∧μ,

從而sup{A(t)|t⊕B=(x-y)⊕B}∨λ∧μ=sup{A(t)∨λ∧μ|t⊕B=(x-y)⊕B}=A(0)∨λ∧μ

若t⊕B=(x-y)⊕B，則B(x-y-t)∨λ∧μ=B(0)∨λ∧μ，于是

A(x-y)∨λ∧μ≥(A(x-y-t)∧A(t))∨λ∧μ

≥(B(x-y-t)∧A(t))∨λ∧μ

=(B(x-y-t)∨λ∧μ)∧(A(t)∨λ∧μ)

=(B(0)∨λ∧μ)∧(A(t)∨λ∧μ)

=(B(0)∧A(t))∨λ∧μ

=A(t)∨λ∧μ,

故A(x-y)∨λ∧μ≥sup{A(t)∨λ∧μ|t⊕B=(x-y)⊕B}=A(0)∨λ∧μ，

又A(0)∨λ∧μ≥A(x-y)∨λ∧μ，從而x⊕A=y⊕A.

充分性. 設(shè)x⊕A=y⊕A. 則A(x-y)∨λ∧μ=A(0)∨λ∧μ=(A/B)(B)∨λ∧μ,

于是(A/B)((x-y)⊕B)∨λ∧μ=sup{A(t)|t⊕B=(x-y)⊕B}∨λ∧μ=A(0)∨λ∧μ=A(x-y)∨λ∧μ=(A/B)(B)∨λ∧μ,又(A/B)(B)∨λ∧μ≥(A/B)((x-y)⊕B)∨λ∧μ，故(A/B)(B)∨λ∧μ=(A/B)((x-y)⊕B)∨λ∧μ=(A/B)((x⊕B)-(y⊕B))∨λ∧μ，所以x⊕B⊕A/B=y⊕B⊕A/B.

定理14 設(shè)A,B為R的(λ，μ)-模糊理想，且滿足A?B,A(0)∨λ∧μ=B(0)∨λ∧μ， 若C為R的(λ，μ)-模糊子環(huán)，則(C/B)/(A/B)?C/A.

證明 令f:(R/B)/(A/B)→R/A,r⊕B⊕A/B|→r⊕A,?r∈R,則由引理1，f為單射，而且顯然也是滿射. 又?x,y∈R,

f((x⊕B⊕A/B)+(y⊕B⊕A/B))=f(x⊕y⊕B⊕A/B)=x⊕y⊕A=(x⊕A)+(y⊕A),

f((x⊕B⊕A/B)°(y⊕B⊕A/B))=f(xy⊕B⊕A/B)=xy⊕A=(x⊕A)°(y⊕A),

所以f為同構(gòu)映射. 又

((C/B)/(A/B))(x⊕B⊕A/B)=sup{C/B(r⊕B)|r⊕B⊕A/B=x⊕B⊕A/B}

=sup{sup{C(u)|u⊕B=r⊕B}|r⊕B⊕A/B=x⊕B⊕A/B}

=sup{C/B(r⊕B)|r⊕B⊕A/B=x⊕B⊕A/B}

=sup{C(u)|u⊕B⊕A/B=x⊕B⊕A/B}

=sup{C(u)|u⊕A=x⊕A}

=C/A(x⊕A)=C/A(f(x⊕B⊕A/B))

=f-1(C/A)(x⊕B⊕A/B),

即 (C/B)/(A/B)=f-1(C/A), 從而f((C/B)/(A/B))=C/A, 因此(C/B)/(A/B)?C/A.

4 結(jié)束語

本文將模糊商環(huán)和商模糊子環(huán)推廣到(λ，μ)-模糊商環(huán)和(λ，μ)-商模糊子環(huán)，并類比(λ，μ)-模糊商群的同構(gòu)定理建立了(λ，μ)-模糊商環(huán)的同構(gòu)定理,進一步豐富了模糊環(huán)理論.

[1] Zadeh L A. Fuzzy sets[J]. Inform and Control, 1965, 8(1): 338-353.

[2] Rosenfeld A. Fuzzy groups[J]. Math Anal Appl, 1971, 35: 512-517.

[3] 姚炳學(xué). 群與環(huán)上的模糊理論[M]. 北京：科學(xué)出版社，2008.

[4] Yao B.(λ，μ)-fuzzy subrings and(λ，μ)-fuzzy ideals[J]. The Journal of Fuzzy Mathematics, 2007, 15(4): 981-987.

[5] Kumbhojkar H V, Bapat M S. Correspondence theorem for fuzzy ideals[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1991, 41: 213-219.

[6] Yao B, Li Y, Shi K. Isomorphism theorems of generalized fuzzy quotient rings[J]. The Journal of Fuzzy Mathematics, 2003, 11(4): 827-833.

[7] 郝翠霞，姚炳學(xué).(λ，μ)-商模糊子群及其同構(gòu)定理[J]. 模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2015, 29(1): 35-42.

(λ，μ)-Fuzzy Quotient Ring and Isomorphism Theorem

ZHANG Meng-meng YIN Yu-xiang

(School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng 252059, China)

Based on the concept of(λ，μ)-fuzzy subring and(λ，μ)-fuzzy ideal, seveal properties of(λ，μ)-fuzzy quotient ring and(λ，μ)-quotient fuzzy subring were discussed. Finally, the isomorphism theorems for(λ，μ)-fuzzy quotient rings were established.

(λ，μ)-fuzzy subring， (λ，μ)-fuzzy ideal， (λ，μ)-fuzzy quotient ring， (λ，μ)-quotient fuzzy subring， isomorphism theorems

2016-10-15

國家自然科學(xué)基金項目(11471152)資助

張蒙蒙，E-mail:1833448183@qq.com.

O153

A

1672-6634(2017)01-0018-04