探究問(wèn)題本真，突破教學(xué)壁壘

章建斌

[摘 要] 高考試題一般都具有較高的研究?jī)r(jià)值和教學(xué)運(yùn)用價(jià)值，如果我們能通過(guò)研究分析，挖掘出其背后的通性通法，結(jié)合教學(xué)需求合理地優(yōu)化設(shè)計(jì)，再通過(guò)有計(jì)劃地引導(dǎo)和啟發(fā)，可以讓學(xué)生舉一反三，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于學(xué)生“整合思維—發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—突破常規(guī)—實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新”. 本文以一道高考題為例，介紹筆者的研究心得和教學(xué)設(shè)計(jì)之旅.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列與不等式；教學(xué)設(shè)計(jì)；疊加法；疊積法

高考?jí)狠S題具有結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、形式多變、情境新穎、構(gòu)思巧妙、方法靈活等特點(diǎn)，是高三復(fù)習(xí)的寶貴資源；然而壓軸題讓眾多學(xué)生望而生畏，摸不著頭腦. 如果在復(fù)習(xí)中直接使用這樣的例題教學(xué)，無(wú)疑會(huì)打擊學(xué)生的自信心，起到“反作用”的效果. 那么，如何在課堂教學(xué)中充分利用這些難度大的高考題？這就需要教師對(duì)同類問(wèn)題進(jìn)行深入地研究，在教學(xué)過(guò)程中搭建好“支架”，通過(guò)由淺入深地合作探究來(lái)揭示問(wèn)題的真相，挖掘出復(fù)雜背景下解決問(wèn)題的通性通法，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力. 下面筆者以2015年浙江省高考理科數(shù)學(xué)壓軸題為例，談?wù)劷虒W(xué)設(shè)計(jì)上的一些想法.

問(wèn)題提出

1. 原題呈現(xiàn)

題目（2015年高考真題）：已知數(shù)列{an}滿足a1=且an+1=an-a（n∈N*）.

（1）證明：1≤≤2（n∈N*）；

（2）設(shè)數(shù)列a的前項(xiàng)和為Sn，證明：≤≤（n∈N*）.

2. 高考“標(biāo)準(zhǔn)答案”展示

（1）由題意得an+1-an=-a≤0，即an+1≤an，an≤. 由an=（1-an-1）an-1得an=（1-an-1）·（1-an-2）…（1-a1）a1>0. 由0

（2）因?yàn)閍=an-an+1，

所以Sn=a+a+…+a=（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-an+1）=a1-an+1①.

由-=和1≤≤2得1≤-≤2，所以n≤-≤2n.

因此≤an+1≤（n∈N*）②.

由①②得≤≤.

解法再思考，釋疑解惑

1. 解讀試題考查的知識(shí)與方法

本題主要考查數(shù)列的遞推公式與單調(diào)性、不等式的性質(zhì)等知識(shí)，同時(shí)考查考生的推理論證能力及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 求解的方法主要有：利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系求解、定義法、構(gòu)造新數(shù)列法等；數(shù)列的求和方法主要有：公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等，解題時(shí)要針對(duì)不同的數(shù)列特征選擇不同的求和方法.

2. 解題過(guò)程中的難點(diǎn)突破

根據(jù)本題中的遞推關(guān)系，數(shù)列{an}認(rèn)為是在給定首項(xiàng)a1=后，由遞推公式an+1=f（a）反復(fù)迭代生成的，此時(shí)把數(shù)列{an}叫作迭代數(shù)列. 顯然迭代數(shù)列是由an+1=f（an）與首項(xiàng)a1共同決定的. 以迭代為背景的題目，浙江考生遇到的不多，顯得有些神秘.

要證明第（2）問(wèn)，實(shí)際上是證明2（n+1）≤≤2（n+2），它的左右兩邊是等差數(shù)列的通項(xiàng)，因此問(wèn)題的突破口是證明是類等差數(shù)列. 但-又不好計(jì)算，所以此思路不是本題的切入點(diǎn). 第（2）問(wèn)的切入點(diǎn)在于對(duì)所證式子的等價(jià)轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的、難運(yùn)算的式子轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、好運(yùn)算的式子，到此第（2）問(wèn)的思路就很明顯了：Sn=a+a+…+a=（a1-a2）+…+（an-an+1）=a1-an+1，由于數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式本身不可求，因此通過(guò)遞推式an+1=an-a轉(zhuǎn)化為a=an-an+1，進(jìn)而利用疊加法得到Sn=a1-an+1，故而只需解決通項(xiàng)an即可. 由an+1=an-a得-=，因?yàn)?

設(shè)計(jì)再思考，優(yōu)化重組

不可否認(rèn)，此題作為高考?jí)狠S題有相當(dāng)大的難度，很多學(xué)生陷入了無(wú)從下手的窘境. 但在錯(cuò)綜復(fù)雜的題目中，肯定直接或間接地告訴了我們一些信息，而這些信息是常規(guī)的，是我們所熟知的.數(shù)列中最常規(guī)的無(wú)非是等差數(shù)列和等比數(shù)列及相關(guān)的一些基本方法，這些想法也可以從高考試題的標(biāo)準(zhǔn)答案和解題過(guò)程的難點(diǎn)突破中得到驗(yàn)證. 為此，筆者進(jìn)行了一定程度的研究，發(fā)現(xiàn)一類數(shù)列與不等式綜合問(wèn)題解題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)遞推式的結(jié)構(gòu)特征，將遞推式轉(zhuǎn)化變形，再利用疊加法或疊積法進(jìn)行解題. 為了有效地提高學(xué)生解決數(shù)列與不等式復(fù)雜問(wèn)題的能力，有效地提升我們平常的教學(xué)效果，筆者進(jìn)行了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)，意在提煉通性通法，整合思維，讓高考試題在教學(xué)中演繹高效精彩！

1. 基礎(chǔ)回顧，做好鋪墊

（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=an-a1①，××…×=②.

設(shè)計(jì)思考：①式疊加法和②式疊積法是等差數(shù)列與等比數(shù)列推導(dǎo)通項(xiàng)公式的常用方法，是學(xué)生熟知的. 通過(guò)回顧常用的恒等式，一方面告訴學(xué)生這個(gè)常用恒等式在這堂課中是有用的；另一方面通過(guò)搭“腳手架”的方式，充分利用學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)去解決更高水平的問(wèn)題，有起點(diǎn)低、坡度緩的特點(diǎn)，符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的認(rèn)知原則.

2. 合作探究，提升認(rèn)識(shí)

問(wèn)題1：已知數(shù)列{an}滿足an+1=a，0

解答：由an+1=a得an=a=a=…=a，又0

設(shè)計(jì)思考：本題強(qiáng)調(diào)遞推式bn=（an-an+1）an+2中an-an+1的結(jié)構(gòu)特征. 在求和時(shí)聯(lián)想到①式疊加法的運(yùn)用，即（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-1-an）=a1-an

問(wèn)題2：已知數(shù)列{an}滿足：an≥0，a1=0，a+an+1-1=a（n≥1），記Sn=a1+a2+…+an. 求證：（1）an+1>an；（2）Sn>n-2.

證明：（1）略；

（2）由a+an+1-1=a得an+1=a-a+1，所以Sn=a1+a2+…+an=（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+n-1=a-a+n-1=n-1-a.

由（1）知數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，又a+an+1-1=a，即a-a=1-an+1>0，所以an<1（n≥2），Sn=n-1-a>n-2.

設(shè)計(jì)思考：本題遞推式a+an+1-1=a等價(jià)變形，得到an+1=a-a+1，看到了a-a的結(jié)構(gòu)特征，在求和時(shí)聯(lián)想到①式疊加法的變形運(yùn)用，即Sn=a1+a2+…+an=（a-a）+（a-a）+…（a-a）+n-1=a-a+n-1=n-1-a. 雖然問(wèn)題（1）和問(wèn)題（2）都是疊加法的運(yùn)用，本質(zhì)是一樣的，但遞推式的結(jié)構(gòu)還是有區(qū)別的，或者說(shuō)問(wèn)題（2）是問(wèn)題（1）的拓展.

問(wèn)題3：已知數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=a-an+1（n≥1）. 求證：（1）an+1>an；（2）當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=anan-1…a2a1+1成立；（3）1-<++…+<1.

證明：（1）略；（2）略；

（3）由an+1=a-an+1得==-，=-，

所以++…+=-+-+…+-=-=1-.

因?yàn)閍n+1>an≥a1=2，所以1-<1.

因?yàn)閍n+1=anan-1…a2a1+1≥2n+1，所以1->1-.

所以1-<++…+<1.

設(shè)計(jì)思考：本題的遞推式an+1=a-an+1可變形為=-，根據(jù)這種結(jié)構(gòu)特征，在求和時(shí)可用疊加法達(dá)到求和的目的，即++…+=-+-+…+-=1-.

由問(wèn)題1、問(wèn)題2、問(wèn)題3可知，遞推式的結(jié)構(gòu)決定著求和的方法. 當(dāng)遞推式出現(xiàn)下列結(jié)構(gòu)式：“an-an-1=”“a-a=”“-=”，可以用疊加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，甚至遞推式的結(jié)構(gòu)可以推廣至“-=”的形式.

問(wèn)題4：已知數(shù)列{an}滿足：an=·（a+1），a1=1（n∈N*），求證：an≤2n-1.

證明：因?yàn)閍n=（a+1）>0，所以an=（a+1）≥×2=an+1，≤2，所以=…≤2n-1，所以an≤2n-1.

設(shè)計(jì)思考：本題根據(jù)結(jié)論an≤2n-1，其中數(shù)列{2n-1}是一個(gè)等比數(shù)列，故而猜想≤2，通過(guò)不等式放縮，恰好能得到我們所要的；但要說(shuō)明an≤2n-1，可以通過(guò)疊積的方式=…≤2n-1來(lái)說(shuō)明，這也是遞推式的結(jié)構(gòu)所決定的.

同樣，當(dāng)遞推式出現(xiàn)結(jié)構(gòu)式“=”，可以用疊積法求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 當(dāng)然，這種遞推結(jié)構(gòu)也是有變化的，如“=”“=”“=”等. 希望學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)與疊加法的遞推結(jié)構(gòu)進(jìn)行類比，能做到舉一反三.

教學(xué)設(shè)計(jì)反思

高三二輪復(fù)習(xí)被稱為“方法”篇，其中數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用教學(xué)就是高三二輪復(fù)習(xí)的一個(gè)專題，其目的就是培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力. 如果教師不善于利用典型例題并進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，就不能把數(shù)學(xué)原理講清楚、講透徹，也就達(dá)不到提高教學(xué)效率的目的. 筆者以本文為例，談?wù)勗谠O(shè)計(jì)上的一些反思：

1. 例題設(shè)計(jì)的啟發(fā)性原則

啟發(fā)是游離于教師講解和學(xué)生思維之外的活動(dòng)形式，是教師通過(guò)合理的教學(xué)設(shè)計(jì)和有計(jì)劃的引導(dǎo)讓學(xué)生有所感悟. 本文是以2015年浙江省高考數(shù)學(xué)壓軸題為知識(shí)背景，對(duì)解法再思考下進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì). 當(dāng)遞推式結(jié)構(gòu)特征為“an-an-1=”“a-a=”“-=”“-=”“=”“=”等時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用高中數(shù)學(xué)教材中疊加法、疊積法的基本方法去思考問(wèn)題，顯然能達(dá)到啟發(fā)的效果.

2. 例題設(shè)計(jì)的示范性原則

教師在備課時(shí)設(shè)計(jì)的例題要選取典型的題目，目的是在解題時(shí)能將過(guò)程清晰地反映出來(lái)，進(jìn)而讓學(xué)生通過(guò)例題學(xué)會(huì)遵循最基本的分析方法. 筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)在于充分挖掘高考題背后的通法與通解，而沒(méi)有過(guò)多地展示其解法的技巧；通過(guò)對(duì)遞推式的研究及教學(xué)設(shè)計(jì)，用疊加法和疊積法來(lái)解決一類數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題，真可謂萬(wàn)變不離其宗.

3. 例題設(shè)計(jì)的層次性原則

本文以數(shù)列疊加法和疊積法的最基本形式為依托，通過(guò)遞推式結(jié)構(gòu)的變化，由淺入深，體現(xiàn)了例題設(shè)計(jì)的層次性. 這種層次不僅是邏輯之間的層次，更主要的是思維過(guò)程的生成性，可以看出筆者充分關(guān)注了學(xué)生的思維活動(dòng)過(guò)程. 我們常說(shuō)：“數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是數(shù)學(xué)的靈魂，沒(méi)有了思維，數(shù)學(xué)就失去了生命與活力. ”所以，以思維為基礎(chǔ)，能力提升才能得到有效落實(shí).