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    一道數(shù)列不等式證明方法的深入探究

    2017-05-17 22:21:31童昌盛
    關(guān)鍵詞:構(gòu)造轉(zhuǎn)化

    童昌盛

    [摘 要] 本文對(duì)一道數(shù)列不等式證明深入探討,得到五種不同證法,從而開拓學(xué)生的思維,感受數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系與應(yīng)用,提升學(xué)生分析問題的能力,開發(fā)學(xué)生的解題智慧.

    [關(guān)鍵詞] 放縮;轉(zhuǎn)化;構(gòu)造

    (聯(lián)考試題節(jié)選)?搖證明:+++…+<(n∈N*) .

    證法一:柯西不等式放縮

    +++…+

    <++…×(12+12+…12)

    =n×++…+

    =n×-+-+…+-

    =n×-=,

    所以+++…+<<,

    故原不等式成立.

    點(diǎn)評(píng):聯(lián)系柯西不等式,構(gòu)造其形式,達(dá)到放縮目的從而可以求和得結(jié)論,可很好地考查和訓(xùn)練學(xué)生的知識(shí)之間的聯(lián)系與應(yīng)用.

    證法二:構(gòu)造新數(shù)列放縮

    記Tn=1+++…+,

    則T2n-Tn=1+++…++++…+-1+++…+

    =1+++…++++…+-2+++…+

    =1-+-+-+…+-.

    當(dāng)n≥3時(shí),T2n-Tn<1-+-+=<=.

    因?yàn)門2n-Tn=++…+,

    當(dāng)n=1時(shí),左=<,當(dāng)n=2時(shí),左=+=<<,

    故原不等式成立.

    點(diǎn)評(píng):通過本試題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)造新的數(shù)列,把后面負(fù)數(shù)丟掉,從而放大,但要注意不能放得過大,這里可以考慮從哪一項(xiàng)開始放縮.這種證法能很好地培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)造思想,同時(shí)也提醒在放縮過程中的放縮大小.

    證法三:倒序求和與放縮

    設(shè)An=+++…+,

    An=+++…+,

    所以2An=++++…++

    =(3n+1)++…+.

    又(2n-k)(n+1+k)=2n(n+1)+2nk-(n+1)k-k2=2n(n+1)+(n-1)k-k2

    =2n(n+1)+(n-1-k)k≥2n(n+1),

    所以<,

    所以2An<(3n+1)++…+=(3n+1)

    =<=,

    所以An<<,

    故原不等式成立.

    點(diǎn)評(píng):這種證法是根據(jù)不等式的特點(diǎn),利用倒序求和得到另一規(guī)律,從而進(jìn)行放縮求和完成證明. 這種證法考查學(xué)生的觀察分析能力.

    證法四:定積分應(yīng)用

    +++…+=·++…+,

    根據(jù)定積分定義得

    ·++…+

    因?yàn)閘n2-=<0,

    所以+++…+<.

    點(diǎn)評(píng):根據(jù)定積分的定義與其該不等式的結(jié)構(gòu)的關(guān)系,從而進(jìn)行放縮證明.這種證明方法很好地考查學(xué)生的知識(shí)間的聯(lián)系及其相互應(yīng)用.

    證法五:數(shù)學(xué)歸納法——加強(qiáng)不等式

    先證明不等式:

    +++…+<-(n≥2,n∈N*)

    用數(shù)學(xué)歸納法證明

    當(dāng)n=2時(shí),左邊=+=<==-=右邊,

    所以不等式成立.

    當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí),不等式成立,即+++…+<-,那么,n=k+1時(shí),

    左邊=++…+++

    <-++-

    <-<-,

    所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.

    由上得,不等式+++…+<-(n≥2,n∈N*)成立.

    顯然,-<(n≥2,n∈N*),

    當(dāng)n=1時(shí),左邊=<=右邊,

    綜上,可得,+++…+<.

    點(diǎn)評(píng):數(shù)學(xué)歸納法中加強(qiáng)不等式構(gòu)造也是數(shù)列不等式證明出現(xiàn)的一種現(xiàn)象,先證明一個(gè)可以用數(shù)學(xué)歸納法證明的不等式,另一個(gè)不等式-<(n≥2,n∈N*)顯然成立,從而得證. 這種證法考查學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納法的掌握深度.

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