圖式理論在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究

常勇

[摘 要] 在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用圖式理論，不僅能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能夠使思維清晰化、知識條件化和結(jié)構(gòu)動態(tài)化. 本文在分析基于圖式理論下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)原則的基礎(chǔ)上，提出了基于圖式理論下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；圖式理論；原則；策略

作為認(rèn)知心理研究的重要方面，圖示理論是一種研究人的知識是怎樣表征的，該理論認(rèn)為單元、構(gòu)成“組塊”以及組成系統(tǒng)是人腦中儲存知識的形式，其實質(zhì)是一種關(guān)于知識的認(rèn)知模式. 隨著升學(xué)壓力的增大，教師常常弱化了概念性的知識而過度地強化程序性的知識，致使學(xué)生知其然，而不知其所以然，未能真正地理解數(shù)學(xué)知識，然而圖式理論的應(yīng)用，不僅能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能夠使思維清晰化、知識條件化和結(jié)構(gòu)動態(tài)化. 因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用圖示理論具有十分重要的意義.

基于圖式理論下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)原則

1. 層次性原則

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強的學(xué)科.在具體教學(xué)過程中，教師應(yīng)了解學(xué)生已有的數(shù)學(xué)圖式，遵循教學(xué)和數(shù)學(xué)知識本身的邏輯，先講哪個知識點，后講哪個知識點，注重圖式理論應(yīng)用的層次性原則. 同時，教學(xué)內(nèi)容要符合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗和認(rèn)知水平，新舊知識之間的聯(lián)系點是什么？學(xué)生已經(jīng)具備了哪些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗？只有充分掌握了這些知識，才能取得良好的教學(xué)效果.

以人教版高中數(shù)學(xué)為例，筆者在講授“集合”這節(jié)課時，面對的是剛剛升入高中、處于“適應(yīng)”階段的學(xué)生，心理上對高中數(shù)學(xué)存在著恐懼. 從知識層面上分析，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了分類討論思想，學(xué)習(xí)了數(shù)的分類、三角形的分類等，這些知識所蘊含的數(shù)學(xué)知識與即將學(xué)習(xí)的集合知識密切相關(guān)，要引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動已有的圖式，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解新的知識點，幫助學(xué)生建立新的數(shù)學(xué)圖式.

2. 過程性原則

現(xiàn)代教學(xué)理念認(rèn)為，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體.在具體教學(xué)過程中，通過動手實驗、小組交流、自主學(xué)習(xí)等方式，克服學(xué)生表面參與、一團和氣的現(xiàn)象，徹底把課堂還給學(xué)生. 要從圖式化教學(xué)模式出發(fā)、從學(xué)生的角度出發(fā)，幫助學(xué)生建立和擴充自己的知識框架，真正達(dá)到內(nèi)化知識、理解知識的目的. 以人教版高二數(shù)學(xué)“隨機事件的概率”課程教授為例，如果直接給出概率的性質(zhì)，學(xué)生即使能夠正確掌握其性質(zhì)，但也會產(chǎn)生懷疑，如果通過學(xué)生自己拋擲硬幣的方法得到相應(yīng)的判定性質(zhì)，讓學(xué)生親自參與和感受定會更加牢固.

3. 有效性原則

教案是教師的必備工具，是課前撰寫好為課堂教學(xué)服務(wù)的，但未必對課堂上發(fā)生的所有事情都有所預(yù)料，因此，教師在具體教學(xué)中因充分調(diào)動學(xué)生有效的圖式，對于發(fā)生的突發(fā)情境，應(yīng)及時改變教學(xué)策略，全面提升學(xué)生的基本知識和技能. 例如，在講授立體幾何時，按照教案筆者應(yīng)先介紹球體的形狀，但通過提問學(xué)生對球體的形狀已經(jīng)充分掌握，此時，教師應(yīng)改變教學(xué)策略，將其重點放置在球體的性質(zhì)上.

基于圖式理論下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略

1. 充分發(fā)揮學(xué)生的已有圖式？搖

高中學(xué)生已經(jīng)積累了一定量的數(shù)學(xué)圖式，在具體教學(xué)實踐中，教師應(yīng)全面了解學(xué)生的已有圖式，善于運用學(xué)生熟悉的生活場景和已有的知識結(jié)構(gòu)設(shè)計教學(xué)活動，使學(xué)生更易理解概念、公式以及定理成立的條件. 例如，很多學(xué)生對于實數(shù)的絕對值和平面向量的模常?；煜?，筆者通過錯誤案例的分析，引導(dǎo)學(xué)生比較幾何意義和代數(shù)形式之間的區(qū)別，即絕對值是數(shù)軸上的點到原點之間的距離，模是在坐標(biāo)平面內(nèi)平面向量對應(yīng)的點到原點之間的距離，使學(xué)生充分理解a=是a=的延伸，是一維向二維轉(zhuǎn)變的必然趨勢.

2. 注重圖式的練習(xí)訓(xùn)練

眾所周知，羅馬不是一日建成的，對于圖式的建構(gòu)需要一定量的實踐和積累才能實現(xiàn)，并且當(dāng)前大多數(shù)學(xué)生只聽老師的講解，缺乏相關(guān)習(xí)題的訓(xùn)練. 因此，教師要注重圖式的變式練習(xí)和變式訓(xùn)練，最大限度地讓學(xué)生感知不同題目程序性知識的異同，親自經(jīng)歷相關(guān)題目的解答過程，提高圖式建構(gòu)的質(zhì)量. 值得說明的是，圖式的練習(xí)訓(xùn)練并不是讓學(xué)生進(jìn)行“題海戰(zhàn)術(shù)”，并不是大量地記憶解題的過程和步驟，而是引導(dǎo)學(xué)生形成分析、歸納的數(shù)學(xué)習(xí)慣，讓學(xué)生在做題過程中提取相似的知識和方法，積極主動地掌握數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，從而幫助學(xué)生豐富和形成新的圖式.

例如，在講解等比數(shù)列知識時，筆者給出了以下題目并設(shè)計相關(guān)變式題目進(jìn)行訓(xùn)練.

已知數(shù)列a1=1，an=2an-1，求出數(shù)列{an}的通項公式.

變式1：已知數(shù)列a1=1，an=2an-1+1，①求出數(shù)列{an}的通項公式；②求證：{an+1}是等比數(shù)列.

變式2：已知數(shù)列a1=1，an=λan-1+μ，求出數(shù)列{an}的通項公式.

變式3：已知數(shù)列a1=1，an=2an-1+2n，求出數(shù)列{an}的通項公式.

變式4：已知數(shù)列a1=1，anan-1+2（n-1）·an-nan-1=0，求出數(shù)列{an}的通項公式.

同時，加強練習(xí)過程中的指導(dǎo)，如果學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程中得出的結(jié)論不正確，這樣學(xué)生可能會將錯誤的方法和答案構(gòu)建到自己的圖式中. 因此，教師在講解題目時，通過同時呈現(xiàn)圖式的正例和反例，使學(xué)生能夠辨別兩者的不同之處，對于易發(fā)生錯誤的地方進(jìn)行著重強調(diào)，從而形成對問題和知識的完整性結(jié)構(gòu)認(rèn)識，形成有效的圖式.

例如，筆者在章節(jié)復(fù)習(xí)提高課時，遇到了這樣一個題目：

已知-1

對于此題，大多數(shù)學(xué)生通常采用如下的解法.

由已知條件，-1

①②兩式相加，可得

①②兩式相減，可得-

所以，-<2x-3y<，顯然此題按照此法無法得知答案，甚至有學(xué)生理直氣壯地斷言該題本身存在著錯誤或沒有答案.

筆者在得知學(xué)生的這種做法后，并沒有及時給予學(xué)生解釋，而是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用線性規(guī)劃的方法進(jìn)行求解.

在坐標(biāo)系中畫出-1

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)2x-3y經(jīng)過點B（1，-2）時取得最大值，最大值z=2×1-3×（-2）=8，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)2x-3y經(jīng)過點A（3，1）時取得最小值，最小值z=2×3-3×1=3，對于這兩種解法，為什么會得出不一樣的結(jié)果？此時，學(xué)生非常迷惑，筆者以此為契機，提醒學(xué)生解答不等式時該注意哪些事項，第二種線性規(guī)劃的解法給我們帶來了那些啟示. 最后，引導(dǎo)學(xué)生自主思考和總結(jié)，不斷補充和完善自己的不等式圖式.

3. 創(chuàng)造良好的課堂氛圍

學(xué)習(xí)興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)動機的重要組成部分，對于圖式的構(gòu)建具有不可替代的作用，因此，教師應(yīng)將學(xué)生接受知識的意愿和學(xué)生的學(xué)習(xí)緊密地結(jié)合起來.通常情況下，學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣主要與以下幾個方面密切相關(guān)：一是符合自己的能力；二是學(xué)生關(guān)注或好奇的事情；三是通過自己的努力一定能夠獲得成功；四是自己內(nèi)心抱有成功想法的事情. 因此，教師從以上幾個方面入手，努力改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

一是注重生生和師生之間的交流.生生之間的交流既可以幫助迷惑的學(xué)生找到問題的答案，而且更為重要的是無形中完善自己的圖式；二是建立和諧的師生關(guān)系，營造出一種有利于圖式構(gòu)建的環(huán)境；三是擴大數(shù)學(xué)活動的范圍，通過開展數(shù)學(xué)辯論會、舉辦數(shù)學(xué)講座等方式激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)圖式的有效構(gòu)建.

4. 加強有意義結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問題圖式教學(xué)

完整的問題圖式具有良好的聯(lián)想和預(yù)測功能，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力，充分挖掘題目中所隱含的初始條件，為問題的高效解決提供一種新的方法、策略和思路. 同時，加強數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)圖式的應(yīng)用，指導(dǎo)學(xué)生將已經(jīng)建立的圖式合理地轉(zhuǎn)化為適用條件、結(jié)構(gòu)特征等具體的問題圖式，形成大量有意義結(jié)構(gòu)圖式，從而達(dá)到解題方法的最優(yōu)化.

例如，筆者在指導(dǎo)學(xué)生解答函數(shù)f（θ）=的最值問題時，大部分學(xué)生能夠迅速識別出問題的本質(zhì)，利用三角法進(jìn)行解決，但這種做法費時費力，若將該函數(shù)看作是以sinθ、cosθ為變量的函數(shù)，則可以將原式看作是經(jīng)過（sinθ，cosθ）、（1，2）兩點的直線斜率公式這一圖式，則問題迅速地轉(zhuǎn)化為圓到點（1，2）之間的最值問題，這種解法不僅簡單易行，而且促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用圖式對于教師的教和學(xué)生的學(xué)具有十分重要的作用，它存在于學(xué)生的長期記憶中，是關(guān)于知識的表征，并且能夠通過思維活動的方式表現(xiàn)出來. 因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)最大限度地幫助學(xué)生不斷建立和完善數(shù)學(xué)圖式，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).