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    對一“易錯點分析”的再分析

    2017-05-17 22:21:59蘭詩全
    關(guān)鍵詞:易錯點問題思考

    蘭詩全

    [摘 要] 對一本教學(xué)參考書給出一例的解答和它的“易錯點分析”進行再分析,并引發(fā)若干思考,旨在擊中要害,揭示本質(zhì).

    [關(guān)鍵詞] 易錯點;問題思考;再分析

    問題緣起

    一本教學(xué)參考書給出以下一例的解答并做了易錯點分析.

    題目:在△ABC中,已知a=6,b=5,A=2B,求c的值.

    解答:因為=,A=2B,所以=,解得cosB=.

    在△ABC中,由余弦定理得25=36+c2-2·6c·,即5c2-36c+55=0,

    解得c=5或c=.

    檢驗:當c=5時,c=b,則C=B. 又因為A=2B,所以2B+B+B=π,解得B=,所以cosB=,這與cosB=矛盾,所以c=5舍去,所以c=.

    易錯點分析:通過余弦定理建立方程,解方程求三角形的一條邊是余弦定理的常見應(yīng)用,其解的個數(shù)要進行檢驗.即使方程有兩個正根,三角形也不一定有兩個解,還要結(jié)合條件,利用三角形內(nèi)角和定理,大邊對大角等進行檢驗,以防增根混入. 在本例中,如果不加驗證,就會得到c=5這一增根. 在問題“已知△ABC中,a=8,b=7,B=,求c的值”中,由余弦定理建立方程可解得兩個正根c=5或c=3,經(jīng)檢驗可以斷定,c=5和c=3都是該問題的解,故該問題有兩解.

    思考:以上問題中的易錯點分析精準到位嗎?它揭示問題本質(zhì)了嗎?

    與問題有關(guān)的一個命題

    命題:已知三個正實數(shù)a,b,c,且a≤b≤c,角C∈(0,π),若滿足cosC=,則a+b>c.

    證明:因為0

    所以a>0,b>0,c>0,

    所以a2+b2-c2<2ab,a2+b2-c2>-2ab,

    所以(a-b)2c2,所以a+b>c.

    所以不難有結(jié)論:若三邊滿足余弦定理,則這三邊一定能構(gòu)成一個三角形.

    由問題引發(fā)的幾點思考

    思考一:通過余弦定理建立方程,解方程求三角形的一條邊是余弦定理的常見應(yīng)用,其解的個數(shù)不要進行檢驗. 即方程有兩個正根,三角形也一定有兩個解;若只有一個正根,則三角形只有一個解;若沒有正根,則不存在滿足條件的三角形.

    以上易錯點分析問題“已知△ABC中,a=8,b=7,B=,求c的值”中,由余弦定理建立方程可解得兩個正根c=5或c=3.“經(jīng)檢驗可以斷定,c=5和c=3都是該問題的解,故該問題有兩解”是多余的,無須檢驗!因為結(jié)合條件,利用三角形內(nèi)角和定理,大邊對大角等進行檢驗,此時檢驗的目的是三邊能否構(gòu)成三角形. 但“若三邊滿足余弦定理,則這三邊一定能構(gòu)成一個三角形”. 這一點必須清楚,要深思悟透,才能準確地解答與余弦定理有關(guān)的問題.

    思考二:問題緣起中的題目“在△ABC中,已知a=6,b=5,A=2B,求c的值”的解答為什么會產(chǎn)生增根呢?從哪里產(chǎn)生的增根?此時為什么要檢驗?

    細心研究解答中:因為=,A=2B,所以=,先解得cosB=. 但由cosB=會保證A=2B一定成立嗎?當cosB=時,可得=,

    所以=. 又因為=,所以sinA=sin2B. 所以0

    再利用余弦定理得25=36+c2-2·6c·,即5c2-36c+55=0,解得c=5或c=. 此時求出的c只能保證cosB=,而不能保證A=2B,因為也可能A+2B=π,所以要檢驗!在檢驗中:當c=5時,c=b,則C=B,也正是滿足A+2B=π這種情況,所以c=5是增根. 以上增根產(chǎn)生的根本原因是條件不等價轉(zhuǎn)化(A=2B?圯cosB=,但cosB=推不出A=2B)造成的,而不是由應(yīng)用余弦定理而產(chǎn)生的. 這點要明白!

    思考三:通過分析反思,探索研究,應(yīng)領(lǐng)悟出數(shù)學(xué)解題的內(nèi)在規(guī)律. 解題要充分關(guān)注條件轉(zhuǎn)化是否等價.已知條件的相互轉(zhuǎn)化要盡可能保證滿足等價性,弱化了條件(如以上分析cosB=只是A=2B的必要不充分條件)往往會產(chǎn)生增根,要檢驗!強化了條件往往會遺根,要找回.

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