初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的途徑研究

錢紅娟

[摘 要] 猜想對數(shù)學(xué)理論的建立和發(fā)展有著重要的作用，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合現(xiàn)代教育理論，積極聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗和認知基礎(chǔ)，探索并實踐培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的有效途徑，從而提升數(shù)學(xué)課堂效率.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；猜想；基本途徑

猜想能夠為科學(xué)認知的發(fā)展提供強大的推動作用，愛因斯坦就曾經(jīng)指出：相比于知識，想象力的重要性更大，因為知識畢竟是有限的，但是想象力卻能對整個世界進行概括，推動人們認識的進步，是認知發(fā)展的動力源泉. 初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準也指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該具有現(xiàn)實性和挑戰(zhàn)性，要有助于學(xué)生主動參與實驗觀察、質(zhì)疑猜想、驗證推理等數(shù)學(xué)探究活動. 主動探索、參與實踐以及合作交流應(yīng)該成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方式，所以教師要關(guān)注學(xué)生進行科學(xué)猜想和創(chuàng)造的過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)研究過程中的直覺思維和獨創(chuàng)意識.

猜想與數(shù)學(xué)的關(guān)系

數(shù)學(xué)研究思想和研究方法有一個龐大的理論體系，其中較常使用的歸納類比與合情推理都與猜想有著密不可分的關(guān)系. 眾所周知，數(shù)學(xué)思維強調(diào)嚴謹性和邏輯性，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)論證推理的基本操作和探究習(xí)慣，同時必須積極引導(dǎo)學(xué)生進行合情推理. 換言之，初中數(shù)學(xué)不僅要強調(diào)讓學(xué)生學(xué)習(xí)證明法，也要讓學(xué)生掌握猜想法.

1. 猜想是數(shù)學(xué)思維的“先知先覺”

作為學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動的一種“先知先覺”，猜想機制是對具有形式化、多樣化、抽象化等特征的數(shù)學(xué)信息所進行的一種思辨認知活動，科學(xué)性和預(yù)測性是它的重要標(biāo)志. 自然規(guī)律的探索之所以如此復(fù)雜，其關(guān)鍵就在于受到多種因素的共同影響，而猜想有助于人們借助靈光一現(xiàn)的靈感，穿透認知的迷霧，成功誘發(fā)人們發(fā)現(xiàn)，從而推動人們理性思維的進一步飛躍與升華，讓學(xué)生找到解決問題的方案.

2. 猜想是數(shù)學(xué)能力的發(fā)展動力

作為數(shù)學(xué)思維機制中最為活躍、最為積極、最為靈活的因素之一，數(shù)學(xué)猜想一旦得以證實，那就直接對應(yīng)著數(shù)學(xué)問題突破口的發(fā)現(xiàn)，同時也對應(yīng)著理想化為現(xiàn)實. 假設(shè)成為定理的過程，也將成為人們數(shù)學(xué)認知體系中的重要組成部分，它有效促成了數(shù)學(xué)理論的完善，也推動了研究方法的進步和發(fā)展.

初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的基本途徑

初中數(shù)學(xué)研究中的科學(xué)猜想有別于生活中的胡思亂想，它屬于一種高階的思維方式，而且和學(xué)生的知識基礎(chǔ)以及其他理性思維能力緊密結(jié)合在一起. 因此，在實際教學(xué)中，教師要善于創(chuàng)造機會，引導(dǎo)學(xué)生積極開展猜想訓(xùn)練，以此提升他們相應(yīng)的能力.

1. 在知識遷移中培養(yǎng)學(xué)生的類比猜想

所謂類比猜想，就是采用類比的方法，對兩個問題或?qū)ο蟮南嗨菩赃M行比較，通過數(shù)學(xué)知識的遷移運用，形成新方法或建構(gòu)新知識的猜想. 這里的“新”主要針對的是學(xué)生的思維過程，這也是一種獨創(chuàng)意識的體現(xiàn)，此種途徑往往用在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié).

例如，引導(dǎo)學(xué)生研究相似三角形的判定定理時，教師可先讓學(xué)生對全等三角形的判定方法進行回顧，然后由學(xué)生對相似三角形和全等三角形的相似性進行比較，從而引發(fā)類比猜想：怎樣來判定兩個三角形相似呢？學(xué)生從處理全等三角形的思路出發(fā)，通過知識的遷移展開猜想：兩條邊對應(yīng)成比例并且夾角相等（類比于全等三角形的判定定理SAS）、三條邊對應(yīng)成比例（類比于全等三角形的判定定理SSS）、兩個角相等且夾邊成比例（類比于全等三角形的判定定理ASA）、兩個角相等且其中某角的對邊成比例（類比于全等三角形的判定定理AAS），由此猜想出四條相似三角形的判定定理. 猜想一經(jīng)提出，學(xué)生就開始進行爭論，有人指出：ASA和AAS都不可能成立，一條對應(yīng)邊與誰成比例？學(xué)生進一步思考，對猜想進行了修正：是否可以簡化上述猜想，即兩個角相等，就可以確認三角形相似？無論學(xué)生的猜想最終能否被證實，這些都是難能可貴的探究過程，因為它們是學(xué)生采用類比思維向未知領(lǐng)域邁出的第一步.

從上述例子中我們可以發(fā)現(xiàn)，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)采用類比來誘發(fā)學(xué)生猜想，不僅能夠有效激活學(xué)生的思維，而且容易讓學(xué)生的思維保持亢奮狀態(tài)，這有助于學(xué)生通過猜想來概覽知識的輪廓，能讓學(xué)生從整體的層面了解即將探究的問題.

2. 在歸納思維中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)猜想

歸納是數(shù)學(xué)研究的重要方法，人們在研究數(shù)學(xué)問題時，由具體的對象出發(fā)，從一定的個體或特例開始研究和分析，最終形成一種有關(guān)普遍性的原理和結(jié)論的猜想，這就是歸納思維中的猜想活動. 此類方法往往運用于對新知識、新規(guī)律的探索.

例如，七年級學(xué)生在探索“多邊形內(nèi)角和的規(guī)律”時，教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生進行研究：首先，讓學(xué)生自己畫出若干種不同類型的多邊形——三角形、四邊形、五邊形等，由學(xué)生確定邊的數(shù)目，再引導(dǎo)學(xué)生對圖形進行觀察，并逐個確定多邊形的內(nèi)角和，學(xué)生對三角形早已有所認識——內(nèi)角和為180°，然后他們在分析中發(fā)現(xiàn)四邊形是360°，而五邊形的內(nèi)角和又恰恰是540°，一組非常和諧的數(shù)列呈現(xiàn)在學(xué)生面前，他們開始大膽猜想：六邊形的內(nèi)角和應(yīng)該是720°，七邊形應(yīng)該是900°，那么n邊形的內(nèi)角和就應(yīng)該是（n-2）×180°. 學(xué)生從大量的事實出發(fā)，數(shù)字之間特殊的關(guān)系激活了學(xué)生的歸納思維，最終形成猜想. 而這一猜想不僅僅是針對結(jié)論，更包括證明方法，很多學(xué)生又通過180°聯(lián)想到三角形：多邊形能否轉(zhuǎn)換為三角形來實現(xiàn)對猜想的驗證呢？進一步的思考和處理讓學(xué)生的思路豁然開朗.

學(xué)生進行猜想時需要一定的時間和空間，教師對課堂時間的分配應(yīng)該慷慨一點，讓學(xué)生能夠充分把握自己的思維節(jié)奏. 事實上，學(xué)生一旦獲得思維和討論的自由，他們的熱情就會無比高漲，他們會交流自己的設(shè)想和觀點，在彼此啟發(fā)中完善各自的猜想. 這顯然能比純粹的灌輸式教學(xué)產(chǎn)生更好的效果.

3. 通過數(shù)學(xué)實驗培養(yǎng)學(xué)生的實驗猜想

在初中數(shù)學(xué)課堂中，實驗教學(xué)也能為課堂注入無限的活力，會讓數(shù)學(xué)課堂不再是純理論化的說教. 事實上，實驗、猜想以及證明正是數(shù)學(xué)問題解決和理論發(fā)展的關(guān)鍵利器. 在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，諸如牛頓、傅立葉、亥姆霍茲等人都有物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家雙重身份，在研究中，他們正是對物理實驗進行分析的過程中需要用到大量的數(shù)學(xué)知識和方法才大力推進了數(shù)學(xué)理論的進步. 因此，我們的初中數(shù)學(xué)教學(xué)要善于采用實驗來提出問題，引導(dǎo)學(xué)生進行猜想，從而提升他們的數(shù)學(xué)認知能力和相關(guān)能力.

例如，組織學(xué)生研究三角形的三邊關(guān)系時，教師可以讓學(xué)生先準備好長度分別為3厘米、4厘米和10厘米的三根小棒，然后由學(xué)生動手操作：用自備的小棒構(gòu)建三角形. 學(xué)生屢試屢敗，這時教師再提出問題：你們能否適當(dāng)調(diào)整小棒的長度，然后拼成一個三角形？學(xué)生答道：要么將長邊縮短，要么將短邊延長. 在此基礎(chǔ)上，教師鼓勵學(xué)生形成猜想：三角形的兩邊之和大于第三邊. 當(dāng)學(xué)生形成猜想后，教師再要求學(xué)生自己對其進行證明，由于學(xué)生親自通過實驗發(fā)現(xiàn)了問題，并由實驗操作形成了猜想，所以他們的驗證異常順利.

將實驗操作和猜想融合在一起搭建數(shù)學(xué)課堂，既能促成學(xué)生融合多種感官參與到認知探究中，也能讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)問題的提出過程和知識的形成過程，能有效提升課堂效率，何樂而不為呢？

4. 通過創(chuàng)新意識的激發(fā)來培養(yǎng)學(xué)生的探索猜想

所謂探索猜想，就是人們采用嘗試探索的方法，依據(jù)自身的已有認知與經(jīng)驗，對新知識和問題形成局部性或方向性的猜想. 這一過程需要研究者充分發(fā)揮創(chuàng)新意識，敢于突破傳統(tǒng)思維的藩籬，運用科學(xué)的方法提出自己充滿建設(shè)性的猜想. 探索性是此類猜想的基本特征，即研究者需要根據(jù)研究的不斷深入，及時而適當(dāng)?shù)貙Σ孪脒M行修正，以便增強猜想的合理性和可靠性.

例如，學(xué)生在探索三角形的內(nèi)角和定理時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過折疊或剪拼的方式來尋找結(jié)論. 學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：三角形的內(nèi)角和是180°，但是為什么有這樣的結(jié)論呢？有的學(xué)生猜想是平角，有的學(xué)生從兩條平行線截出的同旁內(nèi)角進行猜想，有的學(xué)生將180°聯(lián)系到直角的兩倍或周角的一半……究竟哪一個做法才是正確的呢？這時教師要鼓勵學(xué)生大膽地進行探索和驗證，進而從多個角度證明定理.

學(xué)生在探索新知的過程中，會迸發(fā)出很多猜想，教師要給予學(xué)生充分的耐心和信任，讓學(xué)生積極驗證，引導(dǎo)學(xué)生克服盲目猜想，實施合理猜想，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.

理性思維是數(shù)學(xué)理論不斷進步的根基所在，而猜想則是這一過程的催化劑. 初中數(shù)學(xué)教師在課堂上有策略地培養(yǎng)學(xué)生的相關(guān)能力，能讓學(xué)生像科學(xué)家一樣經(jīng)歷猜想、驗證等一系列過程，并從中體驗到創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的快樂與成功.