Banach空間含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的二階脈沖微分方程的解

尚亞亞, 史靜文, 李永祥

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

Banach空間含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的二階脈沖微分方程的解

尚亞亞, 史靜文, 李永祥*

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

討論了抽象空間中非線性項(xiàng)含一階導(dǎo)數(shù)的二階脈沖微分方程邊值問(wèn)題

Banach空間; 非緊性測(cè)度; 凝聚映射; 不動(dòng)點(diǎn)定理

本文考慮Banach空間中非線性項(xiàng)含一階導(dǎo)數(shù)的二階常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題(BVP)

(1)

解的存在性,其中J=[0,1],f∈C(J×E×E,E),Ik∈C(E×E,E)是脈沖函數(shù),k=1,2,…,m,0

脈沖微分方程是描述在確定時(shí)刻其狀態(tài)發(fā)生瞬間改變的數(shù)學(xué)模型,具有廣泛的應(yīng)用背景,如生物技術(shù)、生態(tài)平衡、人口控制及經(jīng)濟(jì)發(fā)展等,成為近年來(lái)一個(gè)重要的研究領(lǐng)域[1-4].對(duì)于BVP(1)的特殊情形Ik=0,即邊值問(wèn)題

當(dāng)E=R時(shí),文獻(xiàn)[5-6]應(yīng)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論獲得了BVP(2)正解及多正解的存在性;文獻(xiàn)[7]對(duì)非線性項(xiàng)f(t,x,y)提出關(guān)于y的增長(zhǎng)條件(Nagumo條件),運(yùn)用上下解方法討論了其解的存在性;文獻(xiàn)[8]在錐上建立了一個(gè)新的泛函形式的不動(dòng)點(diǎn)定理,在f滿足一定的增長(zhǎng)條件下獲得了此問(wèn)題至少存在3個(gè)正解.

在抽象空間中,文獻(xiàn)[9]考慮了‖f(t,x,y)‖≤M(M>0為常數(shù))時(shí)BVP(2)解的存在性,條件較強(qiáng).由于有限維與無(wú)限維空間的本質(zhì)差異,BVP(2)對(duì)應(yīng)的線性問(wèn)題的解算子不再具有緊性,而且對(duì)u′的處理比較困難,因而此類問(wèn)題的研究所獲結(jié)論相對(duì)較少,發(fā)展也較為緩慢.

文獻(xiàn)[4]在抽象Banach空間中運(yùn)用上下解方法和單調(diào)迭代技巧研究了如下的二階脈沖微分方程邊值問(wèn)題

解的存在性,并建立了極大解和極小解的存在性定理,但其非線性項(xiàng)與u′無(wú)關(guān).

受上述文獻(xiàn)啟發(fā),本文在一般的抽象空間中考慮BVP(1)解的存在性與唯一性.通過(guò)選取適當(dāng)?shù)墓ぷ骺臻g及等價(jià)范數(shù),在較一般的條件下用新的非緊性測(cè)度估計(jì)技巧并結(jié)合Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理,得到了解及正解的存在性結(jié)果.此外,在非線性項(xiàng)f(t,x,y)及脈沖函數(shù)Ik(x,y)滿足Lipschitz條件時(shí),運(yùn)用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了該問(wèn)題的唯一解.

1 預(yù)備知識(shí)

PC1(J,E)=

易證,PC(J,E)與PC1(J,E)分別按范數(shù)

及

構(gòu)成Banach空間.

若函數(shù)u∈PC1(J,E)∩C2(J′,E)滿足BVP(1)中所有等式,則稱其為BVP(1)的一個(gè)解.

為了方便起見(jiàn),本文取PC1(J,E)的子空間

故

構(gòu)成Banach空間.

引理 1[10]設(shè)D?E有界,則存在D的可列子集D0,使α(D)≤2α(D0).

引理 2[11]設(shè)D={xn}?L[J,E]有界可數(shù),則存在g∈L[J,R+]使得對(duì)一切{xn}∈D,‖xn‖≤g(t),a.e.t∈J,則α(D(t))∈L[J,R+],且

引理 3[12]設(shè)B?PC(J,E)有界,在每個(gè)Jk上等度連續(xù),則α(B(t))在J上連續(xù),且

2) 對(duì)?t∈J,α(B(t))≤αPC(B′),αPC(B′(t))≤αPC(B′).

故由非緊性測(cè)度的定義易知

按非緊性測(cè)度的定義,2)成立.證畢.

由于非線性問(wèn)題與線性問(wèn)題密切相關(guān),對(duì)?h∈PC(J,E),先考慮BVP(1)對(duì)應(yīng)的線性問(wèn)題(LBVP)

解的存在性,其中yk∈E,k=1,2,…,m.

(5)

的解,其中

繼續(xù)在[0,t]上積分有

(6)

代入邊界條件有

將(7)式代入(6)式中,即(5)式成立.

且容易驗(yàn)證

因此

是LBVP(4)的解.證畢.

(8)

則Q連續(xù).對(duì)上式關(guān)于t求導(dǎo),即

(9)

引理 6 設(shè)E為Banach空間,f:J×E×E→E與Ik:E×E→E連續(xù).若f≥θ,Ik≥θ,則BVP(1)的解u(t)滿足:u(t)≥θ.

證明 由于BVP(1)的解等價(jià)于算子Q的不動(dòng)點(diǎn),又因f≥θ,Ik≥θ,G(t,s)≥0,根據(jù)算子Q的表達(dá)式,顯然u(t)=Qu(t)≥0.

定理 1(Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理)[13]設(shè)X為Banach空間,Ω?X為有界凸閉集,Q:Ω→Ω為凝聚映射,則Q在Ω中有不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果及證明

定理 2 設(shè)E為Banach空間,f:J×E×E→E與Ik:E×E→E連續(xù),若下列條件成立:

1)f把J×E×E中的有界集映為E中的有界集,Ik把E×E中的有界集映為E中的有界集,且存在常數(shù)L1,L2≥0及Mk1,Mk2≥0,使得對(duì)任意的有界集Di?E(i=1,2)有:

其中

2) 存在常數(shù)p0>0,p1,p2≥0,使得

3) 對(duì)每個(gè)Ik,存在常數(shù)ck>0及ak,bk≥0,使得

則BVP(1)至少有一個(gè)解.

(10)

再由引理1,存在可數(shù)集B1={un}?B,使得

(11)

而Q′(B1)為PC(J,E)中的等度連續(xù)集,因此

(12)

對(duì)?t∈J,結(jié)合條件1)、引理2及引理4,于是

因此

(13)

結(jié)合(10)～(13)式及引理4,則

這里

(14)

令

即

定理 3 設(shè)E為Banach空間,f:J×E×E→E及Ik:E×E→E連續(xù)且滿足條件:

5) 存在常數(shù)c1,c2>0及Nk1,Nk2>0,使得對(duì)?t∈J,x1,x2,y1,y2∈E有:

則BVP(1)存在唯一解.

那么

因此

定理 4 設(shè)E為Banach空間,f:J×E×E→E與Ik:E×E→E連續(xù).若條件1)～4)成立且滿足f≥θ,Ik≥θ,則BVP(1)至少有一個(gè)正解.

證明 由定理2,1)～4)成立,即BVP(1)至少有一個(gè)解u0(t).又因f≥θ,Ik≥θ,由引理6,u0(t)≥θ,因此BVP(1)至少存在一個(gè)正解.

注 1 若BVP(1)中Ik(x,y)=0,即不含脈沖的情形,BVP(1)便退化為BVP(2),按照本文的論述方法可得類似結(jié)論,其結(jié)果在抽象空間也是新的.

注 2 工作空間及等價(jià)范數(shù)的選取對(duì)于研究的問(wèn)題至關(guān)重要,不僅可以簡(jiǎn)化計(jì)算,而且可以得出較好的結(jié)果.鑒于對(duì)u′處理的難度,部分非線性項(xiàng)含導(dǎo)數(shù)的邊值問(wèn)題,可按本文的辦法進(jìn)行相關(guān)研究.比如,可進(jìn)一步討論問(wèn)題

解的存在性,其中

為Fredholm積分算子,K(t,s)∈C(J×J,R+).

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2010 MSC:34B37

(編輯 余 毅)

The Solutions for Second Order Impulsive Differential Equations with Dependence on the Derivative Terms in Banach Spaces

SHANG Yaya, SHI Jingwen, LI Yongxiang

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu)

In this paper, we consider the existence and uniqueness solutions for second order impulsive differential equations with dependence on the first order derivativein Banach spaces, where,f∈C(J×E×E,E),Ik∈C(E×E,E),k=1,2,…,m. By choosing proper working space and equivalent norm, while the nonlinear termf(t,x,y) andIk(x,y) satisfy more general non-compactness measure conditions, we obtain the existence results of solutions and positive solutions combining with the estimation skills of the non-compactness measure and the Sadovskii fixed-point theorem. Besides, we discuss the uniqueness of the solutions of this boundary value problem.

Banach space; non-compactness measure; condensing mapping; fixed-point theorem

2016-07-08

國(guó)家自然科學(xué)基金(11261053)和甘肅省自然科學(xué)基金(1208R-JZA129)

O

A

1001-8395(2017)01-0045-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.007

*通信作者簡(jiǎn)介:李永祥(1963—),男,教授,主要從事非線性泛函分析的研究,Email:liyx@nwnu.edu.cn

解的存在性與唯一性,其中f∈C(J×E×E,E),Ik∈C(E×E,E),k=1,2,…,m.通過(guò)選取恰當(dāng)?shù)墓ぷ骺臻g及等價(jià)范數(shù),在非線性項(xiàng)f(t,x,y)及脈沖函數(shù)Ik滿足較一般的非緊性測(cè)度條件下,結(jié)合新的非緊性測(cè)度估計(jì)技巧與凝聚映射的Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理,得到解及正解的存在性結(jié)果.此外,進(jìn)一步討論該問(wèn)題唯一解的存在性.