一類帶有指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的非局部擴(kuò)散方程的爆破分析

裴海杰, 楊 麗, 杜宛娟

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院, 四川 南充 637009)

一類帶有指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的非局部擴(kuò)散方程的爆破分析

裴海杰, 楊 麗, 杜宛娟*

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院, 四川 南充 637009)

研究一類帶有指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的非局部擴(kuò)散方程在Neumann邊界條件下解的爆破性質(zhì).首先證明解的存在性、唯一性和比較原則,并在適當(dāng)?shù)臈l件下,證明解在有限時(shí)刻爆破.此外還得到解的爆破速率、爆破集以及對(duì)解的生命跨度的估計(jì).

非局部擴(kuò)散; 爆破; 有限時(shí)刻爆破; 爆破集; 爆破速率; 生命跨度

1 預(yù)備知識(shí)及主要結(jié)果

本文主要在Ω×(0,T)內(nèi)研究如下非局部擴(kuò)散問題的爆破性質(zhì)

(1)

其中:奇數(shù)m>1,k>0均為參數(shù);J:RN→R是一個(gè)非負(fù)有界的徑向?qū)ΨQ函數(shù)(J(z)=J(-z)),且滿足

Ω為一個(gè)有界連通光滑區(qū)域;初值u0是非負(fù)非平凡的.

近年來,對(duì)非局部擴(kuò)散的研究已經(jīng)取得諸多成果,參看文獻(xiàn)[1-5].方程

(2)

已被廣泛應(yīng)用于對(duì)非局部擴(kuò)散過程的描述,例如人口動(dòng)力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)、動(dòng)力系統(tǒng)等.如果將u(x,t)視作種群在點(diǎn)x處t時(shí)刻的密度函數(shù),J(x-y)為某種群從y地點(diǎn)遷移到x的概率分布函數(shù),那么(J*u)(x,t)便是這個(gè)種群從其他地方遷到x處的速率[6].相應(yīng)地

便可表示該種群從x地遷到其他地方的速率.如此考慮,在缺乏內(nèi)源的條件下,將得到密度函數(shù)u滿足非局部擴(kuò)散方程(2)的結(jié)論.此外,由于種群在點(diǎn)x處t時(shí)刻的擴(kuò)散不僅依賴于其密度u在(x,t)的值,并且通過卷積項(xiàng)J*u,擴(kuò)散還與u在x鄰近的值有關(guān),因此方程(2)被稱作非局部擴(kuò)散方程.此外,方程(2)與經(jīng)典熱方程ut=△u具有許多相似性質(zhì).例如,它們的有界固定解為常數(shù),均滿足最大值原理,甚至在J是緊支的條件下,擾動(dòng)的傳播速度也是有限的.然而,在一般情況下是不滿足正則性的影響.因此,對(duì)這類非局部擴(kuò)散方程解的性質(zhì)的研究就顯得格外有意義.

文獻(xiàn)[7]研究了如下的非局部擴(kuò)散方程

(3)

其中,m>1,p>0,J:RN→R為一個(gè)有界非負(fù)函數(shù),且滿足

Ω?RN是一個(gè)有界光滑連通區(qū)域.在非負(fù)非平凡初值u0(x)的條件下,文獻(xiàn)[7]得到了解的爆破速率及爆破集.

此外,在Ω區(qū)域內(nèi)還有

定理 1.2 設(shè)u和v均是問題(1)的連續(xù)解,如果對(duì)任意x∈Ω有u0(x)≤v0(x),那么對(duì)一切(x,t)∈Ω×(0,∞),都有u(x,t)≤v(x,t)成立.

定理 1.6 (爆破集:一般情況)在一般區(qū)域Ω上考慮問題(1),其中k>1,奇數(shù)m>1.對(duì)于給定點(diǎn)x0∈Ω及ε>0,必存在初值u0(x)使得B(u)?Bε(x0)={x∈Ω:‖x-x0‖<ε}.

2 局部存在性、唯一性及比較原則

定義映射T:Xt0→Xt0為

那么,易得問題(1)的解恰好是以上映射在某個(gè)球域內(nèi)(包含于Xt0)的不動(dòng)點(diǎn).

引理 2.1 上述定義的映射T映Xt0→Xt0.令u0和v0為非負(fù)函數(shù),且u,v∈Xt0,那么存在正常數(shù)C使得

(4)

其中

其中

于是Tu0(u)在t=0處連續(xù).

因此,映射Tu0(u)在任意的t∈(0,t0]處連續(xù).

其中

對(duì)變量x積分并使用Fubini定理有

注 2.1 函數(shù)u(x,t)是問題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)

注 2.2 問題(1)的解對(duì)初值的連續(xù)依賴性:如果u和v均是問題(1)的連續(xù)解,相應(yīng)地,初值為u0與v0,那么存在常數(shù)C,使得對(duì)所有t0>0有

定理1.2的證明 假設(shè)u0(x)+δ0以及點(diǎn)x0∈Ω,使得u(x0,t0)=v(x0,t0),且對(duì)一切(x,t)∈Ω×[0,t0],有u(x,t)≤v(x,t).考察集合E={x∈Ω|u(x,t0)=v(x,t0)}.由x0∈E,所以E≠?.此外E為閉集.令x1∈E,則有

于是對(duì)任意y∈Br(x1),有u(y,t0)=v(y,t0),因此E是開集,所以E=Ω,矛盾.

對(duì)于連續(xù)的u(x,0)和v(x,0),考察遞減的C1函數(shù)列un(x,0)和vn(x,0),在L1(Ω)意義下滿足,當(dāng)n→∞時(shí)有:

且un(x,0)≤vn(x,0).

令u(x,0)和v(x,0)分別為初值un(x,0)和vn(x,0)的解,則un(x,0)≤vn(x,0).讓n→∞,結(jié)合注2.2和一致收斂定理,便得到定理1.2的結(jié)果.

3 爆破與爆破速率

定理1.3的證明 由于

對(duì)x在Ω上積分,使用Fubini定理和Jensen不等式得

注意到∫Ωu(x,t)dx不是全局的,u也不可能是全局的.對(duì)以上不等式積分便可得到對(duì)解的生命跨度估計(jì)

由(1)式知

(5)

對(duì)不等式(5)在區(qū)間(t,T)積分有

(6)

因?yàn)閡(x,t)爆破,對(duì)某個(gè)ε>0和一個(gè)足夠大的k,存在時(shí)刻t0使得對(duì)任意t∈(t0,T)有

同樣在區(qū)間(t,T)上積分得

(7)

現(xiàn)讓?duì)拧?,結(jié)合(6)與(7)式可得

定理1.4證畢.

4 爆破集

下面給出問題(1)解的爆破集的一些結(jié)果.

假設(shè)u是問題(1)的解且在T處爆破.首先研究在對(duì)稱區(qū)域上的情形,即定理1.5的證明.為簡(jiǎn)化工作,考察一維情況,即Ω=(-L,L),徑向?qū)ΨQ情形可相似處理.

首先證明一個(gè)引理：如果初始條件在原點(diǎn)處有唯一最大值,那么對(duì)每一個(gè)t∈(0,T),問題(1)的解在該點(diǎn)處有唯一最大值成立.

引理 4.1 對(duì)任意k,按照定理1.5的假設(shè),則問題(1)的解是對(duì)稱的,且滿足ux<0,其中(x,t)∈(0,L]×(0,T).

證明 注意到u(-x,t)也是問題(1)的解,而對(duì)稱性則可通過唯一性得到.

設(shè)w(x,t)=ux(x,t),那么w(x,t)滿足方程

如果存在點(diǎn)(x0,t0)滿足w(x0,t0)=0,由J′是奇函數(shù)以及u的對(duì)稱性,易得一個(gè)矛盾.引理證畢.

定理1.5的證明 第一步,證明滿足解的生命跨度估計(jì)條件的唯一爆破點(diǎn)為x=0.

給定x0>0,設(shè)ψ(t)=u(0,t)-u(x0,t)并應(yīng)用均值定理,得到函數(shù)ψ(t)滿足

其中

且ζ∈(0,x0).對(duì)該不等式積分可得

(8)

下面利用反證法構(gòu)造一個(gè)矛盾,證明所需結(jié)論.

假設(shè)

由于

所以

因此存在ε>0,使得當(dāng)ε→0+有

此外,如果u(0,t)有界,則有

(9)

結(jié)合(8)與(9)式可得

于是

矛盾,即證明了所需結(jié)論.

第二步,證明唯一可能的爆破點(diǎn)是原點(diǎn).

考察函數(shù)

(10)

則Z(x,s)滿足

由爆破速率可知

因此

(11)

由比較原則知

(12)

故u(x,t)≤C,即u(x,t)有界.定理1.5證畢.

(13)

考慮在x0的鄰域內(nèi)的u0,且越遠(yuǎn)離x0越小.設(shè)φ是一個(gè)非負(fù)光滑函數(shù),且滿足supp(φ)?Bε/2(x0)及φ(x)>0對(duì)所有x∈Bε/2(x0)成立.

現(xiàn)在令u0(x)=Nφ(x)+δ.選取足夠大的N與足夠小的δ使之滿足(13)式.讓N足夠大,由定理1.3得

而且T可以任意的小.

再令φ(x,t)=eu(x,t),對(duì)爆破速率使用上界可得

且

(14)

這樣,φ(x,t)是下述方程的下解

(15)

(16)

只需證明在δ和T足夠小時(shí),(15)式的解w從t=0(或w(0)=eδ)到t=T均保持有界.為得到這個(gè)結(jié)論,采用文獻(xiàn)[5]的方法.

且

由于t=0,m是一個(gè)大于1的奇數(shù),δ與T都足夠小,得到

于是,對(duì)一切s>-lnT,z′(s)<0,且當(dāng)s→∞,z(s)→-∞,定理得證.

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2010 MSC：35B44; 35B51

(編輯 李德華)

Blow-up Analysis for a Nonlocal Diffusion Equation with an Exponential Reaction Term

PEI Haijie, YANG Li, DU Wanjuan

(CollegeofMathematicsandInformation,ChinaWestNormalUniversity,Nanchong637009,Sichuan)

In this paper, we will mainly investigate the blow-up properties of a nonlocal diffusion equation with an exponential reaction term under Neumann boundary conditions. First, we prove the existence, uniqueness and the validity of a comparison principle of solutions. Then we show that solution blows up in a finite time within some proper conditions. Moreover, we will also study the blow-up rate, blow-up set and obtain the estimate for the life span of solutions.

nonlocal diffusion; blow-up; blow-up in finite time; blow-up rate; blow-up set; life span

2015-05-29

國(guó)家自然科學(xué)基金(11301419)和四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目(13ZA0010和14ZB0143)

O175.2

A

1001-8395(2017)01-0078-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.013

*通信作者簡(jiǎn)介：杜宛娟(1981—),女,副教授,主要從事偏微方程的研究,E-mail:duwanjuan28@163.com